【活动目标】

(1)通过分析数据、寻找规律，发现并验证f、m、n三者关系.

(2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验，积累直接经验.强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动.

(3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验观察、探索、猜想、验证的数学思维方式，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法.

【活动重点】经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想.

【活动难点】f、m、n三者之间关系的探究.

【活动过程】本活动分为两个阶段.

第一阶段：课内活动

一、提出问题

在由个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数与、之间的关系.

二、认识概念

何为直线“穿过”正方形？

动画演示，学生观察并表述.

三、探究矩形一条对角线所穿过的小正方形个数与、的关系

问题1：你们准备怎么做？

板书：探索方法——从特殊到一般.

问题2：你们有什么发现？

板书学生的发现.

问题3：你是怎么发现的？请说出几组m、n的值和对应的f值.

板书：将学生所选的m、n值以及由此得到的f值填入表中:

问题4：有没有不同的方法？

板书：探索方法——控制变量.

启发学生思考：m一定，探索f与n的关系或n一定，探索f与m的关系.

（设计意图：通过探究活动，培养学生发现问题、提出问题的能力，帮助学生不断积累数学活动经验.）

四、提出猜想

五、验证猜想

你能再举几个例子验证猜想吗？

六、拓展猜想

在由个小矩形组成的矩形网格中，它的一条对角线所穿过的小矩形个数与、之间仍有上述关系吗？若小正方形变为小平行四边形呢？验证你的猜想.

（设计意图：通过问题拓展，培养学生的创新意识.）

七、活动小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？

八、课外活动

1.完成《数学综合实践活动评价报告》

2.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形（如图）.设S为格点多边形的面积，N为格点多边形内部的格点数，L为它边上的格点数，试探究S、 N、L三者之间的关系.

在活动中学习数学

——对“观察、探索、猜想”的教学思考

义务教育数学课程标准（2011年版）把“综合与实践”作为课程内容之一，提出“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它为学生的自主学习，合作交流提出了一个思考和探究的平台，学生通过主动观察、实验、猜测、验证、推理、探索、交流等数学活动，形成自己对数学知识的理解，形成自己有效学习知识的方法.以2012我省一道中考题为背景，设计的“观察、探索、猜想”的教学，目的是使学生在活动中体验问题解决的数学思维过程.为此，教学中我做了如下尝试.

1.拓展探究空间，增加问题开放度

原题中分m、n互质与不互质两种情况并且给出了5个基本图形和表格，问题指向明确，坡度小.为了使问题变得自然、开放.这里我舍弃了m、n互质与不互质两种情况以及基本图形和表格，把问题抛给学生：为了探究f与m、n之间的关系，你准备怎么做？学生画图、列表、交流，得到若干组不同的m、n值以及相应的f值.此时，学生已在不自觉中运用了“从特殊到一般”的数学方法.由于三个变量，学生不知从何处着手，寻找探究方法立刻摆在学生的眼前.

2.突出活动过程，积累活动经验

为了便于观察 f、m、n三者之间关系，学生中出现了列表，这是活动经验积累的开始.在我的试教过程中，就有学生提出以下处理方法.生1：利用函数探究（模型思想出现）.我问：函数是研究两个变量之间的对应关系，而这里有三个变量，如何处理？生1：可以把m、n看成一个整体（整体思想出现）.我又问：m、n如何组合成一个整体？生1：我发现f的值不小于m、n的值，我猜想f一般不会是m、n相减；f是正整数，我猜想f一般不会是m、n的商；从表中看某些m、n的积要比f的值大得许多，所以我猜想f应与m+n之间存在某种函数关系.生2：既然有三个变量，我们可以限制一个变量.如m都取1然后观察f与n的关系（转化思想出现）.生3：可以用比较法，把有相同规律的放在一起研究（分类思想出现）.生4：当m是n的倍数时，f=m.生5：当m=n时，f=m=n等等.学生在观察、探究中迸发出来的这些思维火花，真是令人兴奋不已！这些宝贵的活动经验推动着课堂向纵深发展，使课堂精彩纷呈.

 3.把握问题实质，鼓励学生创新

我认为这个问题的本质不是“小正方形组成的矩形网格”而是组成网格的线要互相平行.所以提出“在由个小矩形组成的矩形网格中，它的一条对角线所穿过的小矩形个数与、之间仍有上述关系吗？在由个小平行四边形组成的平行四边形网格中，它的一条对角线所穿过的小平行四边形个数与、之间仍有上述关系吗？”.其用意有二：一是培养学生的创新意识；二是教学生学会提出问题的一种方法——改变关键词.

4.课内课外结合，升华活动成果

整个活动分两部分：课内和课外.“综合与实践”活动实际上是一种小课题，长作业.它更多关注的不是结果而是过程；关注的是数学活动经验的获得；关注的是活动中学生情感、态度和价值观的形成.设计第二阶段：课外活动《数学综合实践活动评价报告》，目的是想在这些方面作些尝试.

初中数学“综合与实践”是一种激发学生主动探求知识、重视问题解决、促进学生形成终身学习的课程.它体现了创新教育改革的方向，其内容的丰富性和实施模式的多样性值得我们深入研究和广泛实践.这里我只是抛砖引玉，恳请各位专家、同行批评、指正.谢谢！

2017年9月18日