极限思想在小学数学教学中的渗透
胡金贵
（霍邱县河口镇中心小学 hujg311212@）
摘 要：小学数学教学既要教授知识技能，也要重视小学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。极限是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法。教师在日常数学教学中需要积极挖掘体现极限思想的知识点，根据教学内容的差异，选择不同的渗透策略，以促进学生的感悟。
关键词：小学数学教学，极限思想，渗透策略
众所周知，小学数学知识是教材的一条明线，而数学思想是教材的一条暗线，隐藏在教材之中。而极限是描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念[1]，极限思想是微积分的基本思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，它也是其他相关数学分支，如级数、复变函数、实变函数的理论基础，它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”[2]的一种运动辩证思想。极限作为一种数学思想方法，是事物转化的重要环节。因此，我们在日常数学教学中要积极挖掘体现极限思想的知识点，积极渗透、灵活借助极限思想，培养学生的逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
一、重难点——大张旗鼓地渗透
所谓重难点，即极限思想是探究新知的基础，没有对极限思想的感悟，就不可能深刻把握新知的内涵[3]。在小学阶段，这样的知识点比较多，如“圆面积公式”“循环小数”“角的认识”等。笔者认为，在教学这些知识点时要大张旗鼓地进行渗透，让学生在探究新知的同时体验极限思想的无穷魅力。
【案例】“圆的面积”
在教学“圆面积公式的推导”一课时，有的教师是这样设计的。
师：我们过了一些图形的面积计算公式，今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗？
生：可以把圆转化为我们学过的图形。
师：怎么转化？
生：分一分。
演示把圆平均分成了2分，把两个半圆地拚起来，结果还是一个圆。
生：多分几份试一试。
演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拚成正方形。从平均分成4个、8个、到16个……
师：你们有什么发现？
生：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
课件继续演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。教师适时说“如果一直这样分下去，拼出的结果会怎样？
生：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。
这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。
学生有了这个基础，到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办法，从而再一次加以利用解决问题，在不断的应用中学生的极限思想会潜移默化地形成。
以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。
二、细微点——潜移默化地渗透
所谓细微点，就是教材中涉及的某些知识点与极限思想联系不是太紧，但如果运用极限思想来解决就可以让学生容易得到更深刻的认识。对于这些知识点，需要教师教学智慧与经验的支撑。如果教师能够把握这些知识点，并进行潜移默化的点化，就可以让学生体验到极限的妙处，从而让学生的数学素养得到提升，对数学本质的认识也就更加准确。
教学《分数的意义和性质》时，一位教师在学生掌握分数大小的基本比较方法后，设计了如下几个有价值的数学问题进行引领──
师：你能举出一个比3/4小、但又与3/4很接近的分数吗？
生：29/40、299/400、2999/4000……
师：（指着投影上表示3/4的数轴）你们刚才所举的数，如果在数轴上表示出来，应该在哪儿呢？
学生感受到这些数与表示3/4的点越来越近了，但始终还在3/4的左边。
师：下面，请同学们举出比3/4大的数。
生：301/400、3001/4000……
师：刚才大家所举的分数都在3/4右边，而且与3/4越来越接近。现在能否举出离3/4略远一些，但又小于1的分数呢？
生：7/8、15/16、23/24……
师：刚才我们联想到的分数都比1要小，那比1要小的分数，我们又叫它什么数呢？
生：真分数。（教师板书：真分数＜1）
师：你们还能联想到假分数、举出假分数吗？
（教师板书：假分数≥1）
学生的思想不单单是对数与数之间的联想，而是借助于数轴，形象地描述了数轴上的点与数对应的关系。通过这样的联想，学生进一步认识到了任何不同的两个数之间存在着无数多个数（数轴两点之间有无数个点），也进一步认识到要向一个数无限地靠近，可以利用分数的基本性质把一个分数的分子与分母不断地去乘一个比较大的数，然后把这个分数的分子减去1或加上1，就可以得到与这个数很靠近的数了，这就是极限思想的渗透。这种渗透需要教师的精心预设并刻意引导，但对学生来说却是潜移默化的。
三、联结点——深入浅出地渗透
所谓联结点，就是各知识点联结的地方。因此，联结点往往在复习知识点时碰到。复习课就是把平时相对独立进行教学的知识，特别是其中带有规律性的知识，以再现、整理、归纳等办法串起来，进而加深学生对知识的理解、融会贯通，并使之条理化、系统化[4]。而能把这些知识串起来的主线往往就是知识的联结点。如果联结点蕴含极限思想，我们就要进行深入浅出地渗透。
笔者听过一些六年级“平面图形的整理与复习”的课，这些课的目的在于能对学生所学过的长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆的面积公式做出整理。
从实际的教学情况看，参与这一教学活动的学生应当说都已较好地掌握了相关的知识，从而大多能梳理出如下的逻辑线索：
图1 平面图形的关系
但在这些课中普遍存在的问题是：学生的活动主要是一种回忆的工作，是相关公式的推导过程的再现，即使注意到了这些公式间的联系，而这种联系在此也主要表现为线性的、单向的逻辑关系。教学工作的主要目标并非是使学生建立起关于相应逻辑结构的牢固记忆，而是应当帮助学生形成适当的认识结构。因此，对于上述复习课而言笔者以为，除去以长方形为核心这一“标准”做法以外，我们也完全可以以梯形的面积公式为核心，将其他各个图形联系起来。实现两种方法的“互补”帮助学生建立更为丰富和合理的认识结构。
而以梯形为核心进行梳理的主要手段可以借助极限的思想将公式进行联络。利用极限思想得到三角形的面积计算公式，方法是让梯形的上底趋于0，梯形即趋于三角形，梯形的面积计算公式当上底趋于0时的极限就是三角形的面积计算公式 。我们甚至可以把长方形、正方形、平行四边形面积计算公式都看成是梯形面积计算公式的极限形式。于是可以构建出下面的知识网络系统。
图2 几种平面图形的面积公式
从教学的角度看，我们除了要重视知识的逻辑结构还要重视学生的认知结构，而认知结构与上述逻辑结构所具有的线性和单向性不同，认知结构不仅具有双向性，还主要地表现在一种网状的结构与内在联结。由此可见，在联结点渗透极限思想是教师深思熟虑的结果，可以更好地完善学生的认知结构。
四、强化点——有理有据地渗透
所谓强化点，即在新课巩固环节需要对一些知识进行强化的点。因此，强化点往往在新课练习中体现。一些教师在练习设计时往往侧重于对基础知识的巩固，针对培养学生数学思想方法的练习题则相对较少。然而，学生的数学思想是靠不断的积累、不断的运用形成的，能够自主运用数学思想解决问题是学生数学素养的高水平体现，它应该贯穿于数学学习的始终[5]。练习作为学生数学学习的重要环节，也应该承担这方面的任务。因此，教师在设计练习题时要根据数学知识的特点，有理有据地渗透极限思想。
如在教学《商不变的规律》时，一位教师这样组织教学──
出示：（32÷□）÷（8÷□）＝4。
师：这题怎么填？
生：填4。
师：有不同答案吗？
生：可填1～9各数。
生：可以填任何数，只要相同就可以了。
师：你们明白他的意思吗？
生：0除外的任何相同的数都可以。
如果单从解题的角度看，上述这道题，学生很容易找到答案，而且费时不会太多，但学生们却得不到此题的精髓，也就是题中所包含的规律和体现的数学思想。因此，教师应想办法让学生自己挖掘出这些规律和思想。“有不同的答案吗？”激起了学生的思维欲望，思路迅速打开，从而使学生感受到答案的无穷，而答案的无穷也就是极限思想的具体表现，可以使学生头脑中产生朦胧的极限定义。当然，这种无穷是商不变规律的本质体现。可见，在强化点渗透极限思想，可以让学生更好地、有理有据地认识数学本质。
当然，这这些极限思想的渗透应以学生能够感悟为前提，否则将会事倍功半。教师应在教学中潜心挖掘极限思想，并抓住适当的时机进行渗透。这样，学生沉淀下来的就不只是数学知识，更主要的是一种数学素养，为他们以后建构新的数学知识体系夯实基础。
参考文献：
[1]邹煊享：《小学数学教学建模》，广西教育出版社2003年版，第177页。
[2] 刘明远：《极限思想在解题中的应用》，济南教育学院学报2008年第4期。
[3]白淑珍：《对极限思想的辩证理解》，中国校外教育第2008年第2期。
[4]叶林：《哲学与数学史领域中的极限思想探析》，山东大学2008年
[5]教育部：《义务教育数学课程标准（2011年版）》，北京师范大学出版社，2012年版
