年    级	高一	科目	数学
主讲老师	汪春杰

 

第二讲  函数的概念与基本性质

【同步教育信息】

一. 本讲主要内容：

生活中的变量关系；对函数的进一步认识；函数单调性

二、学习目标：

1、通过一些实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系；能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系；

2、培养广泛的联想的能力和热爱数学的态度；

3、理解函数的集合对应定义，会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域；

4、会用三种表示方法表示常用的函数，包括会求一些常用的函数式；

5、理解函数符号的意义，并会求某些自变量的值和函数值；理解函数与映射的区别和联系；

6、培养对应、联系和严谨意识及一定的处理问题能力；

7、理解函数的单调性和单调函数的意义；会判断和证明简单函数的单调性；

8、培养从概念出发、进一步研究其性质的意识和能力；

三、知识要点

1、生活中的变量关系：生活中的很多变量与变量之间存在着依赖关系，我们把这种依赖关系称为“对应”关系，如：我国1988—2001年高速公路总里程与年份之间就存在着对应关系：

年份	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
里程	147	271	522	574	652	1145	1603	2141	3422	4771	8733	11605	16314	19453

再如：给全班同学编号，这样每个编号以及与之对应的体重，身高数据也存在着对应关系；

还有，如：给全年级同学编号，然后1~56号编入1班，57~112号编入2班，……，这样每个编号与班级号也存在着对应关系。

如上所述，生活中的变量关系存在着以上三种类型的对应类型：“1-1”，“多-1”，“1-多”。

思考：我们在初中学习过的函数描述了因变量随自变量而变化的依赖关系，从对应的角度来看，属于以上三种类型中的哪些类型？

2、函数定义

1）运动的观念：在变化的过程中有两个变量x,y，如果给定一个x值，就有一个相应的y的值与之对应，我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y 是因变量。

2）集合的观念：给定两个非空集合A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数，记作f：A→B,或y=f(x)，x∈A。此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域。习惯上，我们称y是x的函数。

3、对应与函数：函数关系均属于对应，但有的对应不是函数关系，所以，函数是数与数之间存在的一种特殊的对应关系，只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间存在着函数关系。所以，我们可以这样来理解函数：

函数是建立在两个数集上的、“1-1”的或者“多-1”的对应关系。

请思考：以下三个图所表示的对应关系中，哪些是函数关系？为什么？

                                                            

4、函数的两个要素：定义域和对应法则（即上述函数定义中提到的集合A和对应法则f）。在以下几个问题中我们都要研究这两个要素：

1）判断两个函数是否同一个函数：两个要素分别相同的两个函数是同一个函数；

2）确定一个函数：必须定义域和对应法则都确定下来，才能确定一个函数；

3）函数恒等变形：不改变函数定义域和对应法则的变形；

4）求函数的值域：必须明确函数的定义域和对应法则，才能求解函数值域；

5、区间：设a,b是两个实数，而且a

定义	名称	符号	几何表示
{x|a≤x≤b}	闭区间	[a,b]
{x|a	开区间	(a,b)
{x|a≤x	左闭右开区间	[a,b)
{x|a	左开右闭区间	(a,b]

这里的a,b分别称为区间的左、右端点，区间的长度都是b-a。

在数轴上，若端点属于区间就用实心点表示，否则用空心点表示（见上表几何表示各图）。

实数集R也可用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”；我们还可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x

6、函数值域：全体函数值组成的集合C称为函数的值域。

思考：若函数f：A→B的值域为C，则集合A与集合C是什么关系？

7、函数的表示法：列表法、图像法、解析法。

1）列表法：用表格的形式表示两个变量之间的函数关系的方法。比如：某天一昼夜温度变化情况如表：

时刻	0：00	4：00	8：00	12：00	16：00	20：00	24：00
温度oC	-2	-5	4	9	8.5	3.5	-1

在实际问题中常常使用列表法来描述两个变量之间的函数关系。

列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，这是列表法的优点；其不足之处在于它只能表示有限个变量间的函数关系。

2）图像法：用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法。比如：人的心脏跳动强度是时间的函数关系，医学上常用的心电图就是利用仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化而变化的曲线图。

图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测函数的整体趋势。

3）解析法：用自变量的解析表达式（简称解析式）表示一个函数的对应关系的方法。比如：设正方形边长为x，面积为y，则y是x的函数，用解析法表示为

y=x2，x∈(0,+∞).

解析法表示函数关系时，便于通过计算等手段研究函数的性质；但是一些实际问题很难找到它的解析式。

8、分段函数：如果一个函数在定义域内不同的区间上的对应法则不同，那么用解析法来表示这个函数时就要分段表示，如：

                      A，

其中，区间A1，A2，……任何两个均不相交（交集为空集），它们的并集为函数y=f(x)的定义域。

注意：分段函数是一个函数。

9、映射：给定两个集合A，B，如果对于A中的每个元素x，按照某种对应法则f，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，就称这种对应关系为从A到B的映射，记作：

f：A→B.

其中，A中的元素x称为原像，B中与x对应的元素y称为x的像，记作：

f：x→y.

1）作为一种特殊的对应，映射仅限于“1-1”和“多-1”两种对应；

2）从映射的观念考察，函数是建立在两个非空数集上的映射；其中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域；

3）在实际中，我们经常研究一种特殊的映射，它满足三个条件：A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；A中的不同元素的像也不相同；B中的每一个元素都有原像。我们把这种特殊的映射称为一一映射，也叫一一对应。

9、函数的单调性：

1）用数学语言表达函数值的增减变化：

在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2，当x12时都有f(x1)2)，那么就称函数y=f(x)在区间A上是增加的（或递增的）；

在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2，当x12时都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y=f(x)在区间A上是减少的（或递减的）；

2）单调性与单调区间：如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或者是减少的，那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性；这个区间A称为函数的一个单调区间；

3）单调函数：如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的（或是减少的），我们就称这个函数为增函数（或减函数），统称为单调函数。

4）单调函数的图像特征：在单调增区间上，函数的图像是上升的；在单调减区间上，函数的图像是下降的。

四 考点分析与典型例题

考点一：对应、映射与函数的关系

变量之间常见的对应关系有三种：即“多-1”的、“1-1”的、“1-多”的。其中前两种类型的对应可以形成映射，如果映射是建立在两个非空的数集上的，那么这样的映射就是函数。所以，函数与映射在本质上都是对应，它们之间的关系如下：

         

例1（2008年南京）下列对应中，f是A到B的映射的是（）

A、A={1}，B={1，2，3}，f:x→y>x

B、A=[0，2]，B=[0，1]，f:x→y=x/2

C、A={x|x∈R},B={0,1},f:x→y=1/x

D、A=[0,2],B=[0,1],f:x→y=(x-2)2

解：判断对应关系能否形成映射，首先要看是否是“多-1”或“1-1”的对应，如属“1-多”的对应，则不是映射；其次要看A中是否有“多余”的元素，如有，则不是映射。故选B。

例2 下列图形中，不可能是函数图像的是（）

解：函数本质作为一种对应，只能是“多-1”或“1-1”的，而A图中，一个x的值对应着两个y的值，属“1-多”的关系，不能形成函数关系，故选A。

考点二  对函数两要素的考查

1、函数的两要素是定义域与对应法则，变量本身并不是函数的要素，故变量可以用任何一个字母来代替（常用x 表示自变量，用y表示因变量）。

2、两个函数相同只要两要素一致即可。

例3 下列四组函数中，表示同一个函数的是（）

A、f(x)=x2和g(t)=t2

B、

C、

D、

解：只须考察和比较这两个函数的定义域和对应法则。选择支B和C中的两个函数定义域不一样，D中的对应法则不一样，故选A。

考点三：对表格所反映的函数关系的认识

近几年高考十分注重学生对表格的阅读和分析，随着统计、概率、线性规划等知识走进新教材，对表格的阅读和分析能力的要求还会进一步提高。

例4（2007北京）已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x	1	2	3
f(x)	1	3	1
x	1	2	3
g(x)	3	2	1

 则f[g(1)]的值为                   ；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是                   。

解：由于这两个函数的自变量与函数值均由表格给定，所以计算时直接在表格中找到对应值即可。因为g(1)=3，所以f[g(1)]=f[3]=1；由于f(x)的函数值只有两个值：1和3，而g(x)的函数值最小是1，故欲f[g(x)]>g[f(x)]成立，只能令g(x)=2，使得f[g(x)]=3，此时x=2。当然，对这个不等式的求解也可分x=1，x=2，x=3三种情形分别检验。

答案：1；2。

考点四：对图像所反映的函数关系的认识

函数图像是研究函数性质的重要工具，很多函数性质都可以通过其图像直观地反映出来。另外，通过函数图像研究其性质也是数形结合思想方法的重要方面，各种类型的数学试卷中都会有大量的此类题型。

例5（2006江西）某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令C（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，C（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（    ）

   

   

解：本题对读图能力的要求较高，属较难的题目。

由已知，全年平均温度为10度，故排除D；由图1可以知道，0—6月份的平均温度应接近零度，排除C；又由图1知12月份的温度低于10度，故12月份前的平均温度应高于10度，故选A。

考点五：对解析式所反映的函数关系的认识

这种题型实际上就是通过函数解析式研究变量之间的对应关系，要注意：第一，变量的选择不影响函数关系；第二，注意变量代换法的使用。

例6 已知f(x-2)=3x-5，求f(3)、f(x).

解：令x-2=3，则x=5，代入f(x-2)=3x-5可得f(3)=10；

令x-2=t，则x=t+2，代入f(x-2)=3x-5可得f(t)=3(t+2)-5=3t+1，故得f(x)=3x+1。

考点六：对分段函数的认识

对分段函数应注意：第一，这是一个函数，而不是几个函数； 第二，在定义域内不同的区间上，其对应法则是不一样的，常表现为函数解析式不一样；第三，分段函数的定义域是这几个区间的并集。高考中考查的难度一般较小，属容易题。

例7（2005浙江）

 

解：先求得，再求得，故选B。要注意，这里两次计算是在不同的区间上、按照不同的法则进行的。

答案：B。

考点七：研究函数单调性

单调性是函数的一个重要的性质，反映了函数值随着自变量变化而变化的趋势；判断函数的单调性主要根据单调性的定义，也可从函数图像进行定性判断。另外，利用单调性可以解决很多与函数有关的问题，如最值（或值域）问题、解不等式等。

例8（2007福建）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（    ）

A、（-1，1）        B、（0，1）        C、（-1，0）∪（0，1）

D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

解：由于f(x)为R上的减函数，故不等式，从而解得x∈（-1，0）∪（0，1），选C。

五、本讲涉及的主要数学思想方法

1、数形结合的思想方法：本讲的学习内容蕴含着丰富的数形结合的内容，有些函数性质就是函数图像的性质，或通过图像来研究极其直观，如单调性。我们一定要认识到数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，所以，在学习中同学们一定要培养数形转换的意识和方法，培养从多个角度认识同一个事物的习惯。

2、分类讨论的思想：在分段函数或者一些含有参数的函数的研究中，我们常常要进行分类讨论，以便将一些比较抽象的、复杂的问题分解成一些具体的、简单的问题进行处理。同时，通过此类题型的训练，可以培养同学们思维的严谨性。

3、函数与方程的思想：函数解析式与方程在形式上并无区别，所以很多函数问题可以转化为方程问题进行研究，如函数图像交点问题。

【模拟试题】

一、选择题

1、下列过程中，变量之间是都存在依赖关系，其中哪些不是函数关系（    ）：

　A、汽车匀速行驶时，路程与时间之间的关系；

　B、铁球的体积与重量之间的关系；

　C、某地某一天的气温与时间之间的关系；

　D、乘坐某次航班的旅客姓名与国籍的关系。

2、下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ）

3、已知F(u)=u,M(t)=6t2+t-3,则F(3)+M(2)的值为（    ）

A、5；    B、57；    C、25；    D、26

4、设函数y=f(x)是定义在区间[-1，3]上、值域为[-3，5]的单调增函数，则下列说法不正确的是（    ）

A、存在-1

B、F(3)=0;

C、F(-1)=-3;

D、函数的解析式可以是f(x)=2x-1

5、设A={x|0≤x≤2}，B={x|1≤y≤2},在下列各图中表示从集合A到B的映射的是（    ）

6、

A、1    B、2    C、3    D、4

7、某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)=t3-3t+60，时间单位是小时，温度单位是oC，t=0表示12：00，其后t 值取正值，则上午8：00的温度是（    ）

A、8oC    B、112oC    C、58oC    D、18oC

二、填空题

8、设函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是减少的，则按从小到大的顺序是                       ；

9、（2007山东）设函数                           ;

三、解答题

10、

11、已知f(x)=x2+ax+b，且f(1)=3,f(-1)=5，求f(5)及f(3a-1).

12、作出下列函数的图像：

1）y=2x2-4x-3，x∈[0,3)

2）y=|x-1|.

13、已知函数y=f(x)是R上的增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x). 

1)判断并证明F(x)在R上的单调性；

2)证明F(2-x)=-F(x)。

参考答案：

一、DDDBD CA

二、8、

9、

三、10、解：

联立这两个方程，消去可得.

11、解：由f(1)=3,f(-1)=5可求得a=-1,b=3，故可求得:f(5)=23，f(3a-1)=f(-4)=23.

12、略。

13、1）解：若x增大，则-x减小，则2-x减小，从而f(2-x)减小，从而-f(2-x)增大；又当x增大时，f(x)增大，故当x增大时，f(x)+（-f(2-x)）增大，即F(x)=f(x)+（-f(2-x)）的函数值随着x的增大而增大，故为增函数；

2）略证：F(2-x)=f(2-x)-f[2-(2-x)]=f(2-x)-f(x)=-F(x)。