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第三讲求函数的定义域与值域的常用方法

作者：汪春杰发表时间：2014年08月19日浏览量：250 分享到空间

年级	高一	科目	数学
主讲老师	汪春杰

第三讲求函数的定义域与值域的常用方法

【同步教育信息】

一、本讲主要内容：

求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值

二、学习目标

1、进一步理解函数的定义域与值域的概念；

2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；

3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变数函数的定义域和值域和最值；

4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；

5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题；

6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。

三、知识要点

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y=f(x)，不能把它写成f(x,y)=0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

3）换元法：若给出了复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的表达式时可以令t=g(x)，以换元法解之；

4）构造方程组法：若给出f(x)和f(-x)，或f(x)和f(1/x)的一个方程，则可以x代换-x(或1/x)，构造出另一个方程，解此方程组，消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式；

5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，所以最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解，应先由y=f(u)求出u的范围，即g(x)的范围，再从中解出x的范围I1；再由y=g(x)求出y=g(x)的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

（三）求函数的值域

1、函数值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数f:A→B中，集合B未必就是该函数值域，若记该函数值域为C，则C是B的子集；若C=B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

（四）求函数的最值

1、设函数y=f(x)定义域为A，则当x∈A时总有f(x)≤f(xo)=M，则称当x=xo时f(x)取最大值M；当x∈A时总有f(x)≥f(x1)=N，则称当x=x1时f(x)取最小值N；

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；

3、闭区间的连续函数必有最值。

四、考点分析与典型例题

考点一求函数解析式

1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1 已知函数y=f(x)由满足xy<0,4x2-9y2=36，求该函数解析式。

解：由4x2-9y2=36可解得：

。

说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。

2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。

例2 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

解：设，代入x,y的值可求得反比例系数k=780m3/s，故所求函数关系为.

2、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例3 已知,试求。

解：设，则，代入条件式可得：，t≠1.故得：。

说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

3、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

例4 1）已知，试求；

2）已知，试求；

解：1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。

2）由条件式，以-x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

4、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。

例5 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

解：由题意知：当x∈[0,1]时：y=x；

当x∈（1,2]时：；

当x∈（2,3]时：；

故综上所述，有

考点二求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例6 求的定义域。

解：由题意知：，从而解得：x>-2且x≠±4.故所求定义域为：

{x|x>-2且x≠±4}。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。

例7 已知函数由下表给出，求其定义域

x	1	2	3	4	5	6
y	22	3	14	35	-6	17

解：{1，2，3，4，5，6}。

3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f(u)的定义域可以确定内函数g(x)的范围，从而解x∈I1，又由g(x)定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

解：

又由于x2-4x+3>0 **

联立*、**两式可解得：

例9 若函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log2x)的定义域。

解：由f(2x)的定义域是[-1，1]可知：2-1≤2x≤2，所以f(x)的定义域为[2-1，2]，故log2x∈[2-1，2]，解得，故定义域为。

4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。

例10 求函数定义域。

解：若,则x∈R；

若,则；

故所求函数的定义域：

当时为R，当为，当时为。

说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。

考点三、求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。

1、分离变量法

例11 求函数的值域。

解：，因为，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}.

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。

2、配方法

例12 求函数y=2x2+4x的值域。

解：y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2，故值域为{y|y≥-2}。

说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y=af2(x)+bf(x)+c。

3、判别式法

例13 求函数值域。

解：可变形为：(4y-1)x2+(5y-2)x+6y-3=0，由Δ≥0可解得：。

说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

4、单调性法

例14 求函数,x∈[4,5]的值域。