摘要: 函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型,也是初中数学里代数领域的重要内容,它在初中数学中具有较强的综合性。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型, 不但体现了“数形”结合的重要思想,同时还为高中阶段学习“一元二次不等式”提供基础。初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质,用二次函数的观点审视一元二次方程,用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。其图像因为是曲线,关系式变化形式多,应用比较复杂,学习难度较大。教学中,应抓住重点组织教学,立足整体设计教法,帮助学生系统把握二次函数的图像和性质,明晰二次函数应用的方法。
关键词:二次函数教学中的常见误区,教学策略
九年级数学下册《二次函数》一章,在整个初中数学阶段占有非常重要的作用,起着承上启下的“桥梁”作用。不但体现了“数形”结合的重要思想,同时还为高中阶段学习“一元二次不等式”提供基础。二次函数在中考命题中一直是“重头戏”,也是教师教学的重点内容之一,那么如何上好二次函数显得很重要。下面本人结合多年来的教学实践和学生的学习情况浅谈几点心得:
一、清醒认识经验与误区。
初中函数所考察的题目,大家公认二次函数最难。因此老师在教授这个函数时,也是最卖力,配备了大量的习题练习。但是老师教的辛苦,学生学得也不轻松,不但要理解那么难的曲线函数,还要做更难的习题。所以最后得到的结论是,“二次函数太难了,不是所有学生都能掌握的”。从而形成一些教学的误区。
误区一:“只见树木,不见森林”的断裂式教学
把二次函数孤立起来,一棵参天大树高不可攀,是因为你忘却了函数是片森林,二次函数应该根植在“函数森林”中。
函数这一章最重要的解题方法就是待定系数法,学习正比例函数时就学习了,一次函数再次学习,反比例函数、二次函数又再次使用,但是我们发现,因为缺乏归纳待定系数法的本质,“断裂式”的教授此方法,让学生并没有掌握该解题方法,仅仅是会求解析式而已。函数是一个整体,各个具体函数是函数的特例,研究方法应是相同的,通过类比和数形结合的方法,对比性质的差异性,将具体函数逐步纳入到整个函数学习中去,这也符合教材设计的螺旋式上升的理念。这样自然使二次函数变得难着不难,水到渠成。
关于待定系数法,首先要让学生理解感受到待定系数法的本质:对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式,得到以待定系数为元的方程或方程组,解之即得待定的系数。待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的作用,不论是正、反比例函数,还是一次函数、二次函数,确定函数解析式时都离不开待定系数法。因此我们要重视简单的正比例函数、一次函数的待定系数法的应用。要在简单的函数中讲出待定系数法的本质来,等到了反比例函数和二次函数及综合情况,学生已能形成能力,自如使用此方法,这时就是技巧的点拨。
误区二:忽视对学生基本数学素养与技能的培养
在《二次函数》教学中,一位老师是这样讲解y=x2函数图像和性质,事先准备了一块小黑板,把列表、在平面直角坐标系中描点这些工作在上面都做好了,然后只是口头叙述过程,没有在黑板上引导、学生动手画图这一过程,就要求学生来归纳小结,教师进行总结归纳后面就是例题和练习题的讲解。(以上的分析讲解不到10分钟,在例题讲解、练习与分析的过程中,学生也积极参与交流、踊跃发言)课后评课时,上课教师直言,没有什么好讲的,有时讲与不讲做题效果差不多,这样做也是为了节省出更多时间来解题.其他的一些听课教师也表示能理解这一观点.二次函数的图像是研究二次函数的重要工具,也是二次函数的教学难点所在,在教学中要注意引导学生把握二次函数图像的特点。二次函数的图像教学中应用了从特殊到一般的教学规律,这一教学过程是学生“独立思考、自主探索、师生互动”的学习过程.通过这样的学习过程,学生经历的是探索的过程,领悟的是数学学习的方法,得到的是自己探究的成果,体验的是成功的喜悦.因为学生在学习中获得的自信、科学态度和理性精神,比单纯拥有知识更有价值.让学生体验学习的进程,实现“知、能、情、法、行”的有机统一,让课堂更好地为学生的成长服务。这位教师上课为了突出“重点”、节省时间、提高“效率”,直接将结论“告知”给学生,我以为这是一中急功近利的思想,从短期看,可能效果(这里指学生解题)不会差,此做法也许不无道理,但从落实新课程教学理念,从有利于学生的长远发展、提高学生的数学素质来看,结论也许就是相反的了,对于函数性质以及本质的认识,最终要还原到数的层面,所以在函数教学中,以“形”促数固然重要,但应同步培养学生从数的角度观察、分析、归纳、证明能力的培养。
二、注重观察与思考,发现解决问题的方法。
有的老师担心如果学生真的动起来,教师觉得难以控制,许多想不到的问题会突然冒出来,的确,这会给教师的课堂调整带来很大的挑战,但课堂活跃起来了,就迫使教师更精细地钻研教材、研究学生,设计多套预案,提高解题能力。事实证明,以往那种纯粹的老师讲、学生听,老师示范、学生模仿的教学模式,不利于促进学生自主发展。课堂教学要正确处理“知识与技能”与“过程与方法”的关系,能力培养要渗透在知识落实的过程中,“冰冷的、无言的”数学知识只有通过“过程”方能变成“火热的思考。学生学习二次函数的图像和性质的障碍主要体现在解析式、图像、性质的对应上,应用的主要障碍则是建立二次函数解析式,并利用解析式解决问题。
例1:在同一平面直角坐标系中画出下列函数图像并观察其有何变化规律?
①y=x² ②y=x²+2 ③y= (x-3)² ④y=(x-3)²+2
引导学生认真观察→思考,从图像上可以很容易发现它们之间的变化规律:
从它们的图像上可
知其形状大小一致
都是抛物线,只是
位置改变了,其变化规律为:
其方法:就是用x →x-h 即设 x=x-h
∵y=ax²的对称轴是y轴即直线 x=0
∴当x=0时 有 x=x-h=0
即y=a(x-h)²的对称轴是直线 x=h 顶点是(h,k)
例2:求二次函数 y=2(x-3)²+2的对称轴及顶点
解 :由 x-3=0 ∴对称轴为直线 x=3
当x=3时 y=2 即顶点为(3 , 2)
通过引导学生观察,勤思考后会更容易理解,再不用死记硬背公式。
三、发现亮点,及时鼓励。
一位老师在讲解一道例题:“已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值0,求m的值。”老师想让学生自己练习后提问,提问时学生们七嘴八舌,教师点名,甲说应为
,已说等于1,丙说等于 1,教师说“对,请坐下”。接着教师顺利做完本题。而对于那些错误的答案不予理睬,没有与他们交流、订正,我估计那些答错的同学也不知道自己错在哪里。暴露错误的过程,能提高纠错的针对性,但题目只是例子,是训练学生思维的目标,还应再进一步引导学生反思错误的成因,通过自查自纠、反思交流、自我评价等各种形式,纠正错误,这并不意味着削弱教师的主导作用,而是要求教师从更高的观点去指导学生把评议引向深入,以提高学生的“元认知”能力,引领学生走出固有认知的“迷宫”,体验数学学习给人带来的成功喜悦感.从这一意义上讲,来自学生的错误,确实是一笔宝贵的课程资源,有待于我们做深入的开发和研究.
著名科学家爱因斯坦指出:提出一个问题往往比解决一个问题更重要,因为解决一个问题也许是一个数学上或实验上的技能而已,而提出新的问题、新的可能性、从新角度去看旧
的问题,都需要有创造性的想象力,而且标志着科学的真正进步。无论在课堂上还是课外,我们总要认真的倾听学生的表达,鼓励学生发表自己的观点,鼓励学生质疑,允许学生出错,充分肯定学生的独立见解,对学生的思想、观点、表达的正确程度以及表达方式予以观察和指导。
四、化解难点,形成系统
(一) 将二次函数的一般形式化为顶点式
学生对二次函数常见的四个形式:y=ax2 (a≠0),y=ax2+k(a≠0),y=a(x+h)2(a≠0),y
=a(x+h)2 +k(a≠0)画图像、说性质相对比较容易,对后两个形式的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),y=ax2+bx(a≠0)画图像、说性质,难度就大得多。因为要将它们转化为y=a(x+h)2 +k(a≠0)的形式,其中涉及配方的问题。而配方又涉及完全平方公式——这在一元二次方程解法的教学时已有所涉猎。因此,教学一元二次方程解法时,就必须注重配方法的教学,到了这个阶段再增添求二次三项式的最值问题,学生因为掌握了配方的方法,就容易理解和接受了。
(二) 列二次函数关系式和应用二次函数关系式
比如,最大效益问题是一元二次方程的利润类应用问题的迁移,关键是把握关系式“每亩(件、千克)效益(利润)×亩数(件数、千克数)=总效益(总利润)”;面积类问题,关键是面积公式;给二次函数图像列二次函数关系式解决问题,关键是设二次函数关系式;建立直角坐标系,求出二次函数关系式解决问题,关键是建立适当的直角坐标系、设二次函数关系式;应用二次函数关系式,关键是理解关系式中的字母的意义,看清问题中要求的是关系式中的哪一个问题,从而确定方法。