找规律(简单图形覆盖现象中的规律)
安徽省蚌埠新城实验学校 赵劲松
教学内容:
苏教版五年级数学下册第55、56页例1、“试一试”和“练一练”,练习十的第1、2题。
教学目标:
1.使学生能够在有序列举的基础上,用平移的方法探索并发现简单图形覆盖现象中的规律,并能解决相应的简单问题。
2.能运用比较的方法深化对所学内容的理解,进一步培养发现和概括规律的能力。
教学准备:
为每位学生准备一张数表,框2格、3格、4格的透明塑料片各一个。
教学过程:
一、感知规律
1.成语引入
出示“一石二鸟”,请学生说说成语的意思。
出示:
如果要选两只相邻的来打,可以选哪两只? 8只鸟,选2只相邻的,一共有多少种不同的选法呢?
2.尝试解决
3.交流点评
教师展示学生的几种典型的解法。
(1)一一列举、连线、画图……
(2)平移,引导思考:操作得怎么样?有序体现在哪里?有几种选法和什么有关?
4.回顾整理
二、发现规律
1.质疑
如果是100只鸟呢?这几种数量之间是否存在规律?
2.一石三鸟
提问:你想用哪种方法来寻找答案?如果用平移的方法,你觉得平移次数会比刚才多还是少?
3.一石四鸟
操作前先观察,你认为这回要平移几次?有几种选法?你是怎样想的?
4.归纳总结
学生独立思考,小组交流后汇报。
追问:几个数量之间为什么会存在这样的关系?
5.一石几鸟
让你出题,你出一石几鸟呢?
三、运用规律
1.玻璃问题
学生解答、核对,把这道题和例题进行比较。
改编题目,比较:为什么总数乘2,选法没有乘2呢?
2.座位问题
出示:有18个座位排成一排,小芳、小英姐妹俩要坐在一起,并且小芳在小英的右边。一共有多少种不同的坐法?
学生解答,交流,改变题中的条件,改编成新的题目。
比较改编前后有什么不同,规律的运用是否完全一样。
四、回顾规律
今天我们一起研究了什么内容?我们是怎样发现这一规律的?如果换一个角度来观察我们的列举过程和结果,你能用新的方法来解决今天的问题吗?
思考:
教师对教材认识的深刻程度决定了学生对教材的理解程度。对本课教材内容的研读,我经历了一个从否定到回归再到创造的过程。
一、于否定后回归
1.三种解法如何取舍?
解决这样一个问题,教材中给出的是“平移法”。此外还有两种解法,一是“开头法”,即看哪些数能开头,哪些数不能开头,二是“结尾法”,即看哪些数能结尾,哪些数不能结尾。这三种方法,后两种可以不借助长方形框学具的操作,仅靠列举便有可能发现。教学中发现,开头法是学生最有可能发现的方法,平移法和结尾法,如果没有老师的引导学生几乎是想不到的。
那么这三种解法该如何取舍?首先,结尾法似乎可以首先排除掉,因为过于“偏僻”,那么平移法和开头法呢?教学过程中,个别学生提出了开头法,我引导学生发现了平移法,但在后来的学习过程中,发现学生在两种解法的切换中似乎有些混乱,事实上真正掌握的只是其中一种解法。饭要一口一口吃,看来重点要和学生探讨的应该是其中一种解法。选哪一种呢?与多位老师商讨后,我们认为,在实际运用的过程中,还是平移法更符合思考的习惯,所以最终回归了教材。而根据波利亚“问题解决”第四阶段“回顾”中所提出的“你能否用别的方法导出结论”,把学生有可能自己发现的“开头法”在课尾的时候作一提示,让学有余力的学生课下再去思考。
2.是“解决问题”还是找规律?
什么是规律?有两种理解,一种是“事物之间的内在的必然联系,决定着事物发展的必然趋向”,另一种是“蕴含在大量同类现象背后的共同本质”。
本节课所探讨的规律如果从第一个层面来理解的话,显然,无需罗列同类的现象,仅靠一个例子便能找到各种数量之间的联系。从这一点上说更符合“应用题”的教学思路,即通过一个例子的研讨,找到解决问题的方法,然后在后面的模仿和变式练习中加以强化。
正是基于这样一种认识,最初教学本课时是这样尝试的:在框两个数的环节,引导学生思考----如果不动手操作,你能看出来要平移几次吗?(后面有8格,所以需要平移8次)8格是数出来的吗?还可以怎样得到?当年,学生是对答如流的。然而这一设计却在两年后的学生那儿碰壁了。多数学生无法在框两个数的环节完成对几种数量之间关系的认识。由此我认识到,当年的教学,很可能是一部分思维能力强的孩子的声音,提前戳破了那层窗户纸,掩盖了其他孩子内心的不解。从孩子整体思维水平来考虑,他们是需要有一定实例操作经验的支撑的。所以,最终的教学定位回归了教材,即从一类共同现象中去加以概括,找出规律。
3.放与扶的度在哪里?
众所周知,找规律重在“找”。要让学生明白为什么找规律,并经历“找”规律的过程,感受“找”的方法。显而易见的是,教材呈现的探究线索,暗示性是非常强的。所以,在我认为,最畅快的思路应该是这样的:先给学生一道有很大难度的题目,如“有1至153连续的自然数排成一行,要选相邻的5个数,有多少种不同的选法?”让学生独立去尝试,在有困难的情况下,给他们提供一个“锦囊”----一个包含1到10的数表,2格、3格、4格的透明塑料片,让他们看看这些材料对解决问题能否有一些启发,最终在这些学习材料的帮助下发现规律,并解决开始的问题。这样既明白了为什么要找规律,又真真切切地经历了找规律的过程。
然而,在我找了一个班最优秀的几位同学小规模试验以后,发现这个思路对于五年级的孩子来说太有难度了。面对这样一道难题,他们首先想到的已经不是一一列举,他们想到的是列式计算(即使不能确定是否正确),因为数目太大。同样,他们想不到化大为小,用特殊化的方法去寻找规律。因为,在他们看来,这道题“长得”并不像有规律的样子。的确,怎能说包含有大数据的问题背后就一定有规律呢?最终,即使是在我的提示下,利用学习材料研究,也是在后期的引导中才发现“总数-框几格+1=几种选法”,而至于为什么几种数量之间会有这种关系,则无法得之。表面上的自主探究,关键处实际上仍是老师“告诉”的。
一节课的时间是有限的,学生的思维水平是有差异的,这种放得太开的教学思路最终被自己否定了,将完全的放手调整为教材中的扶放结合。
二、在理解中创造
1.兼顾形式,用新瓶装老酒。
同样的酒以不同的包装出现,其价值是不一样的,对消费者的吸引力也是不一样的。“新瓶装老酒”其实有时也未尝不是一个好方法。教学也是如此,同样的教学内容,同样的数学思想,以不同的形式呈现出来,对学生的吸引力是不一样的。
教材中是借助数表来探究规律的。那么,对于一节有着浓浓数学味的内容,对于已是小学高年级的孩子,是否需要设置情境呢?2010年的那节家常课带给我的感受是----需要!
当年的设计,首先在黑板上画出:
谈话:某路边有10间门面房。(生哄笑,觉得这门面也太简陋了。)赵老师想买2间。(生哗然:房价这么贵,还买2间?)要方便管理,你有什么建议?(生:买连在一起的2间)那可以买哪两间呢?有多少种买法?交流的过程中给房间编上序号,从而转化从例题。
就是这样一个“小成本”情境的创设,简单,却极大地调动了学生的参与热情。一节课谈笑风生中,即使是几位平常“身在课堂心在外”的孩子也给予了极大的关注。课尾,我的一句“本故事纯属虚构”虽多少让孩子们有点扫兴,但快乐的感觉早已浸润了他们的心田。
然而,时隔几年后借班上课再次面对这一内容,同样的设计却遭遇了“尴尬”。学生对我“买房”并不感兴趣。想来也是,毕竟是一个陌生的老师,买房和他们又有什么关系呢。
“一石二鸟”本是后面的一道练习,在“买房”失利的情况下,提到了新授环节。因为,根据课堂中学生的反映,这是他们感兴趣的内容。这里的鸟是“愤怒的小鸟”。为何会用到“愤怒的小鸟”这一形象?其一,毕竟是“打鸟”,多少有点不环保,而愤怒的小鸟来自游戏,是一个久经“沙场”的角色。其二,无疑,这是孩子们和我都很喜欢的一个卡通形象。
2. 运用比较,心有灵犀一点通
比较是一种十分重要的数学思想方法,通过研究对象之间的异同点,深入分析事物的内在本质。著名教育家乌申斯基说:“比较是一切理解和思维的基础,我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”
苏教版“找规律”内容正是通过比较让学生从一类共同现象中找出规律的。而我认为可以在教材已有线索的基础上,进一步挖掘、强化,将比较作为推进教学的一条暗线。教学中,我有意识地引导学生在各个环节去运用比较的方法:一石几鸟之间的比较,撞玻璃与例题的比较,一列玻璃与两列玻璃的比较,座位改编题之间的比较等等,透过表面的不同看到内在的联系,透过表面的相似看到内在的区别。希望能够通过这些活动让孩子们对规律有一个逐步深入的认识,使所学知识由点成线,由线成面,从而形成对整体的理解和领悟;更希望能够通过这节课让孩子们能够对“比较”这种数学思想方法有进一步的体会。
3.发现问题,于无声处听惊雷。
备课的过程就是解决问题的过程,而发现一个问题比解决一个问题更为重要。如能在看似平常的内容中看到被掩盖的、被忽略的问题,这样的教学必然是深刻的。
按照教材的思路,一般会采用这样的教学方式:给学生提供长方形框进行操作,得出有几种方法,然后让学生数一数平移了几次,接着质疑平移次数和有几种方法为什么不一致?
细细想来,上面的几个问题都是有问题的!为什么要用“长方形框”进行平移?为什么要研究平移的次数?为什么要质疑平移次数和几种方法的不一致?因为之前没有哪个教学环节说这两种数量有关系而且应该是一致的。是否问得有些不讲理,有些莫明其妙?
如何让我们的教学更“有理”?
首先,为什么要用“长方形框”进行平移?让学生借助已有的知识经验去解决一石二鸟的问题时,学生会出现一一列举、连线、画圈等多种方法,在评价的过程中学生感觉画圈是比较乱的,然而并不是方法乱,是表现的形式乱,在此基础上提供一个可以活动的圈(也就是框)便是自然之举了。
其次,为什么要研究平移的次数?在学生实际操作后,放慢镜头引导他们回味:有序体现在哪里?从而得出“一次平移一格得到一种选法”。可以说正是这样一个学生习以为常的操作,当我们引导学生梳理总结之后,平移次数、剩下的格数、几种选法之间的关系便呼之欲出了。接着追问:平移两次呢?平移三次呢?这么说来有几种选法和什么有关系?这个时候展开对平移次数的研究才是“名正言顺”的。在此基础上再去质疑为什么平移次数和几种选法之间有差异才真正是有疑可质的。
教学要讲理,我想这个“理”应该就是与学生已有知识经验的一个衔接,让教学成为一个自然而然的过程。
何谓创造性地使用教材?我以为,很多时候,“创造”并不是另辟蹊径,而是当别人走到一百米的时候,我们走到了第一百零一米。