复杂问题教学中的“四化”
[摘要]:山重水复疑无路,柳暗花明又一村。在初中数学的学习中经常出现这样的情境。本文主要探讨了初中数学教学中复杂问题的解决办法。把复杂问题图形化、数据化、简单化、图表化,可以有效地做到化繁为简,对培养学生的学习兴趣,提高他们解决实际问题的能力等方面有事半功倍的效果。
关键词:复杂问题;四化
兴趣是最好的老师。初一学生正处于中小学的衔接阶段,抽象思维尚未形成,学生学习兴趣的培养显得格外重要。学生学习兴趣的培养和保持是每一个数学老师都必须高度重视的问题。数学教学中,难免出现一些较为复杂的内容,教师在教学中,必须想办法把这些问题化繁为简,变抽象为形象,才能提高学生的学习兴趣,让他们保持较高的学习效率,让学生在学中乐,在乐中学,达到最优化的课堂教学目标。
一、复杂问题图形化
所谓图形化,就是把实际问题中涉及的数量关系用简明的图形表示出来,把实际问题图形化,便于发现规律和找到其中的等量关系。著名数学家华罗庚先生说:“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。如初一年级数学教学中的列车完全通过隧洞(或者桥梁)问题,物质的配送问题,其都可以通过画图形的方式,把各种复杂的等量关系直观化,形象化,取得最佳的教学效果。如果缺少了图形的支撑,很难想象学生接受起来是何等的难受,会收到什么校的教学效果。
初中数学中涉及到物质调运的实际问题,本来是一个很有趣的实际问题,但在实际的教学中学生对这种题往往是望而却步。因为这种题中含有两种以上关系,各种关系又紧密联系:总物质等于各分量物质之和,总费用等各分量运费之和,运费又与物质总量有关系。学生面对这些复杂的问题,通常是不知所云,不知所措。如果能借助图形来分解各种复杂的数量关系,此题却又变得很简单。
如:光华农机租赁公司共有50台收割机,其中甲型20台,乙型30台。现将这50台收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:
设派往A地区x台乙型收割机,租赁公司这50台收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的关系,并写出x的取值范围。
如果我们能够把本题的意思,用一个图形表达出来,就能做到化繁为简。为了更加简单地解决这个问题,我画了以上的示意图,表示出各部分之间的数量关系,学生就能轻松解决这个问题的。所以教学中,把复杂的问题图形化,会取得事半功倍的效果,大家不妨一试!
著名数家高斯在他9岁时便轻松计算出老师布置的作业:求1到100自然数的和。他所使用的方法是这样的,把1到100的自然数构成50对101,结果便得到5050。在数学教学中还多地方都要用到高斯的这个发现,可是我发现学生应用的效果不是很好。我发现高斯这个发现与梯形面积有非常大的关系,而梯形的面积学生却能很好地理解。
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
…………
观察以上图形,第一层有1个数字分别是1,第2层有2个数字,分别是2,3,以下每层增加一个数字,问12层的最后一个是多少?题目的意思很清楚,第一层有1个数,第二层有2个数,则第12层应该有12个数,那么一共应该有(1+2+3+4+……+12)=(1+12)×12=78。学生对抽象的数很难理解,我们可以用梯形(图二)的面积来计算。最上面一层有一个数,可以成梯形的底为1,最后一层有12个,可以看成是梯形的下底为12,一共12层,中间的层数就相当于梯形的高,那么12层的最后一个数就变成梯形的面积:(1+12)×12÷2=78,学生掌握起来很清楚明了。
图二
当然图形化能够解决的问题还有很多,如行程问题,工程问题等,这些问题能做到数形结合,真的不是一个很困难的问题。图形化的功能非常强大,长期对学生进行图形化的训练,对数形结合思想逐步形成有着重要的推动作用。
数形结合巧解题:有一批正方形瓷砖,如果拼成长与宽比例为5;4的长方形,则余34块, 如果拼成长与宽各增加一块在长方形,则少57块。这批长方形共有多少块?
当我是你年龄的时候你是10岁,当你是我年龄的时我30岁,求你我现在分别是多少岁?
二、复杂问题简单化
复杂问题简单化,指的是把复杂的问题看成一个整体,找到其中的本质规律从而加以简化。现实生活中的有些运动变化很复杂,但也有自己一定的规律,抓住了规律,其实也很简单。如小明和妈妈在一条大街上散步,他们相向而行,街道长2千米,小明每小时走2千米,小明的妈妈每小时走3千米,小明同时牵着一条小狗,每小时走3千米,当狗碰到小明的妈妈时立即返回,当碰到小明又立即返回,如此反复,问小明和妈妈相遇时,小狗走了多少千米?表面看这是一个复杂的运动问题,如果把小狗走的路一段一段地割裂开来,的确有点复杂。可是我们可以简单一点来处理这个复杂的运动问题。从整体上来讲,小狗走的路程,与小狗走的时间和小狗的速度有关系,而小狗的速度已经知道了,是一个已知量,现在只要知道小狗走的时间,就能知道小狗走的路程了。而小狗走时间,恰好是小明和妈妈相遇的时间,这样思考这个题目又变得格外的简单了。所以有时我们可以把一些复杂的问题分解成若干简单的问题,最后彻底解决它。
又如:一张圆桌周围有20个箱子,依顺时针方向编号1~20.小明在1号箱子中丢入一颗红球后,沿着圆桌依顺时针方向行走,每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球:
(1)若前一个箱子丢红球,经过的箱子就丢绿球.
(2)若前一个箱子丢绿球,经过的箱子就丢白球.
(3)若前一个箱子丢白球,经过的箱子就丢红球.
已知他沿着圆桌走了100圈,求4号箱内有几颗红球?( )
这个问题对初一学生来说的确有点困难。不过通过仔细地观察我们发现它其实可以转化成一个非常简单的数学问题:要让第4号箱子里有红球,就是相当于1号箱子里有红球,把4号箱有子红球个数问题转化成1号箱子里有红球个数问题,这样20个箱子,只要取1、2、3,19、20号箱子就可以了,把原来的19号、20号重新编成4号箱和5号箱,5个箱子按红球、绿球、白球的规律依次排下去,第一圈第1号箱子红球,第二圈第2号箱子红球,第三圈第3号箱子红球,第4圈第4号箱子红球,就可以发现第1,4,7,11……圈中,4号箱子里都有红球,第100圈4号箱子共有33+1=34个红球。这样通过把具有相同规律的几组箱子省略,便可以做到化繁为简。
三、复杂问题数据化
数和形是数学的重要研究对象。数学教学中,数和形是统一的有机体,一个图形必然反应数量关系。如初中学生对找规律的题掌握得不是很好,因为他们往往把数和形机械地割裂开来,看形就是形,看数就是数,没有把他们很好地结合在一起。如按下列图形摆下去,第4个图形中有4个黑色六边形,请问第2015个图形中有多少白色的六边形?观察本题,我们可以得到以下数据:
第一个图形有:6=4×1+2
第二个图形有:10=4×2+2
第三个图形有:14=4×3+2
……
通过这样的数据分析,学生很容易发现第n个图形的规律就是:4n+2。那么第2015个图形有:8062=4×2015+2。通过这样的数形结合,学生便能轻松解决这个问题,为他们数形结合思想的形成奠定一定的基础。
四、复杂问题表格化
电话已经成为每个家庭重要的通讯工具,关于电话的收费问题也成为每个家庭关注的问题。但对于仅有一元一次方程经验的初一学生的来说,怎样选择合适的方案还是有很大的难度。但只要我们合理的借助表格,学生就能轻松解决这个问题。例如:两种移动电话计费方式
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月使用费/元
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主叫限定时间/分
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主叫超时费(元/分)
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被叫
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方式一
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58
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150
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0.25
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免费
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方式二
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88
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350
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0.19
|
免费
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1. 对于某个本地通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗?如果有这一时间,那么如何分别表示收费表达式呢?(等量关系“收费相等”)
2. 你能根据表格判断两种收费方式哪种更合算吗?
为了更好的解决这个问题,我们可以借助下列表格。
1、学生充分讨论后完成表格。
主叫时间t/min
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方式一计费/元
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方式二计费/元
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t<150
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58
|
88
|
t=150
|
58
|
88
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t=270
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88
|
88
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270<t<350
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58+0.25(t-150)
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88
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t=350
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58+0.25(350-150)=108
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88
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t>350
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58+0.25(t-150)
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88+0.19(t-350)
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观察完成后的表格,可以看出,主叫时间超出限定时间越长,计费越多,并且随着主叫时间的变化,按哪种方式的收费少也会变化。
② 当t<150,按方式一的计费少
②当t从150增加到350时,按方式一的计费由58元增加到108元;而方式二的收费一直是88元,所以方式一在变化过程中,可能某一主叫时间,两种方式的计费相等都是88元。
解:设当通话时间为t分钟,方式一与方式二的收费相同,列方程 58 + 0.25(t —150)= 88, 解得t=270
故当t=270时,两种计费方式相同,都是88元,当150<t<270时,按方式一计费少于按方式二计费,当270<t<350时,按方式一计费多于按方式二计费
③当t=350时,按方式二的计费
通过观察表格,我们可以轻松得出:
当 t<270 min时,选择方式一省钱;当 t>270 min时,选择方式二省钱;
当 t=270 min时,选择方式二,方式一的费用是一样的;
表格把数据进行分类整理,能够清楚地知道数据的增减变化,为方案的选择提供最直接的依据,具有较高的说服力,学生容易理解和接受。
总之,数学教学的目标,就是让学生轻松愉快地解决现实生活中的实际问题,解决问题的方法多种多样,图形化、数据化、简单化、图表化只是众多方法中一部分,我们教师应该引导学生找到解决问题的最优方法,给数学学习带来更多的乐趣。