一节数学习题课的反思

【摘要】数学习题课教学，例题教学是关键。例题与习题的关系是纲目关系，纲举则目张。在例题教学中，教师要指导学生学会思维，启迪学生有效思维，提示数学思想，归纳解题策略。

【关键词】案例　分析　反思

案例：习题课，内容是“特殊的平行四边形”。

教师设计了如下习题：

题1 （例题）顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是怎样的四边形？并证明你的结论。

题2  如右图所示，△ABC中，中线BE、CF交于O, G、H分别是BO、CO的中点。

（1）求证：FG∥EH;

（2）求证：OF=CH.

题3  当原四边形具有什么条件时，其中点四边形为矩形、菱形、正方形？

（1）求证：AF与DE互相平分；

（2）当△ABC具有什么条件时，AF = DE。

（3）当△ABC具有什么条件时，AF⊥DE。

教师先让学生思考第一题（例题）。教师引导学生画图、观察后，进入证明教学。

师：如下图，由条件E、F、G、H是各边的中点，可联想到三角形中位线定理，所以连接BD，可得EH、FG都平行于BD且等于BD的一半，所以EH平行且等于FG,所以四边形EFGH是平行四边形，下面，请同学们写出证明过程。

只经过五六分钟，证明过程的教学就“顺利”完成了，学生也觉得不难。题２教师让学生独立思考自主探究或者小组合作交流共同探究，结果只有几个学生会做，无奈之下，教师只能引导学生分析问题，与学生共同探究解决问题的思考方法，说明解题过程，再让学生写出证明过程。而题３对学生而言困难更大，有的学生模仿例题画图观察，但却得不到矩形等特殊的平行四边形；有的学生先画矩形，但矩形的顶点却不是原四边形各边的中点。后来，教师只好加以引导：应探索原四边形的对角线的数量和位置关系；并带领学生一齐探究得出结论。对于题４，能独立思考自主解决问题的学生也很少，也是教师进行分析才顺利解决的。

分析：本课习题的选择设计比较好，涵盖了三角形中位线定理及特殊的平行四边形的性质与判定等数学知识。运用的主要方法有：（1）通过画图（实验）、观察、猜想、证明等活动，研究数学；（2）通过添加辅助线沟通条件与结论的联系，实现数学知识的转化；（3）由于习题具备了一定的开放性、解法的多样性，因此在训练学生的思维方面也具有一定的深度和广度。

为什么学生仍然不会解题呢？学生基础较差是一个原因，但教师在教学方法和问题的引导上有没有原因呢？经过认真思考，我认为主要存在这样三个问题：

（1）学生思维没有形成。教师只讲怎么做，没有讲为什么这么做。教师把证明思路都说了出来，没有引导学生如何去分析，剥夺了学生思维空间，没能充分调动学生学习的主动性和积极性；

（2）缺少数学思想和数学方法的归纳，没有揭示数学的本质，没有总结解决问题的方法策略。出现讲的这道题会做，换一道题不会做的状况；

（3）题3是动态的条件开放题，相对于题1是逆向思维，思维要求高，学生难把握，教师缺少必要的指导与点拨。

在不能顺利解决问题的学习环境中，学生学习的积极性和创造性都会受到极大的挫伤，久而久之，学习兴趣会大大降低。

根据上述思考，我对教学设计做了如下改进：

首先，对于开始例题证明的教学，提出“序列化”思考题：

（1）平行四边形有哪些判定方法？

（2）本题能否直接证明EH∥FG , EH=FG? 在不能直接证明的情况下，通常考虑间接证明，即借助第三条线段分别把EH和FG的位置关系（平行）和数量关系联系起来，分析一下，那条线段具有这样的作用？

（3）由E、F、G、H是各边的中点，你能联想到什么数学知识？

（4）图中有没有现成的三角形及其中位线？如何构造？

设计意图：上述问题（1）激活知识，为学生提供解决问题的知识准备；问题（2）暗示辅助线添加的必要性，渗透间接解决问题的思想方法；问题（3）、（4）引导学生发现辅助线的具体做法，同时使学生在潜移默化中发现了解决问题的思路。

其次，证明完成后，教师做引导和归纳：

我们把四边形ABCD称为原四边形，四边形EFGH称为中点四边形，得到结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；在解决问题时，辅助线沟通了条件与结论的联系，实现了转化。原四边形的一条对角线沟通了中点四边形一组对边的位置和数量关系。这种沟通来源于原四边形的对角线同时又是以中点四边形的边为中位线的两个三角形的公共边，由此可感受到，起到这种沟通作用的往往是图形中的公共元素，因此，在证明中一定要关注这种公共元素。

然后，增设“过渡题”：原四边形具备什么条件时，其中点四边形为矩形？教师点拨思考：

怎样的平行四边形是矩形？结合本题特点，你选择哪种方法？考虑一个直角，即中点四边形一组邻边互相垂直。一组邻边位置和数量关系的变化，原四边形两条对角线的位置和数量关系也随之变化。有了题３的顺利解决，再把这种逆向思维解决问题的方法应用到题４中就水到渠成了。

根据改进后的教学设计换个班重上这节课，这时效果明显，大部分学生获得了解题的成功，几个题都出现了不同的证法，学生在愉快的思考中体会到了学习成功的兴奋和喜悦。

反思：习题课教学，例题教学是关键。例题与习题的关系是纲目关系，纲举则目张。在例题教学中，教师要指导学生学会思维，揭示数学思想，归纳解题方法策略。可以尝试以下方法：

（1）激活、检索与题相关的数学知识。知识的激活、检索缘于题目信息，如由条件联想知识，由结论联系知识。知识的激活和检索标志着思维开始运作，这对分析问题和解决问题至关重要；

（2）在思维的障碍处启迪思维。思维源于问题，数学思维是隐性的心理活动，教师要设法采取一定的形式，凸显思维过程，如：设计相关的思考问题，分解题设障碍，激发学生的学习兴趣，启迪学生有效思维，让学生在实践中获取知识，让学生在问题解决的过程中收获成功的喜悦，通过分析归纳培养学生的创新思维。

（3）及时归纳思想方法与解题策略。从方法论的角度考虑，数学习题教学，意义不在习题本身，数学思想方法、策略才是数学本质，习题仅是学习方法策略的载体，因此，数学思想和方法策略的总结是很有必要的，这也是数学教学和主要目标。教育名言“授人以渔”讲的就是这个道理。题1的归纳总结使题2迎刃而解，题2是将题1的凸四边形ABCD变为凹四边形ABOC，两题的实质是一样的。学生在解题3时，试图模仿题1，这是解题策略问题。题1条件确定，可以通过画图、观察发现，题3必须通过逆向思维，推理发现后才可画出图形，得出结论。教师把这些思想方法给学生说明白了，长此以往，学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力就会大大提高。