数学分类思想的方法在教学中的渗透
推行素质教育,培养面向新世纪的合格人才,使学生具有创新意识,在创造中学会学习,教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法;要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括;会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养,对学生进行思想观念层次上的数学教育。
数学分类思想,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学逻辑方法。
所谓数学分类讨论方法,就是将数学对象分成几类,分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。
分类讨论思想,贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化。分类的过程,可培养学生思考的周密性,条理性,而分类讨论,又促进学生研究问题,探索规律的能力。
教学中可以从以下几个方面,让学生在数学学习过程中,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括,形成对分类思想的主动应用。
一、 渗透分类思想,养成分类的意识
每个学生在日常中都具有一定的分类知识,如人群的分类、文具的分类等,我们利用学生的这一认识基础,把生活中的分类迁移到数学中来,在教学中进行数学分类思想的渗透,挖掘教材提供的机会,把握渗透的契机。如数的分类,绝对值的意义,不等式的性质等,都是渗透分类思想的很好机会。
例如在讲解绝对值的意义时,引导学生得到如下分类:
通过对正数、零、负数的绝对值的认识,了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
又如,两个有理数的比较大小,可分为:正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较,而负数和负数的大小比较是新的知识点,这就突出了学习的重点。
分类讨论的时候注意一些基本原则,如分类的对象是确定的,标准是统一的,如若不然,对象混杂,标准不一,就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为:正数、负数、整数,就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后,还要注意分清层次,不越级讨论。
二、 学习分类方法,增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时,应让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类,而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法,就成为解决问题的关键所在。
分类的方法常有以下几种:
1、根据数学的概念进行分类
有些数学概念是分类给出的,解答此类题,一般按概念的分类形式进行分类。
例1,化简解:
这是按绝对值的意义进行分类。
例2、比较 与 易得 的错误,导致错误在于没有注意到数 可表示不同类的数。而对数 进行分类讨论,既可得到正确的解答:
〉0 时 ,= 0 时 ,< 0 时 ,2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类
学习一元二次方程 , 根的判别式时,对于变形后的方程
用两边开平方求解,需要分类研究 大于0,等于0,小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题 的符号决定能否开平方,是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。
例3、解关于x的不等式:ax+3>2x+a
分析通过移项不等式化为(a-2)x>a-3的形式,然后根据不等式的性质可分为a-2>0,a-2=0,和a-2<0三种情况分别解不等式。
当a-2>0,即a>2时,不等式的解是x>
当,a-2=0,即a=2时,不等式的左边=0,不等式的右边=-1
因为01-1,所以不等式的解是一切实数。
当a-2<0,即a<2时,不等式的解是x<
3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类
如三角形按角分类,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为:直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
例如 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,底边长为a,则其腰上的高是 分析:本题根据图形的特征,把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD,如图,可得腰上的高是 或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类
在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部,角的外部三种不同的情况,因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上,这种最容易解决的情况,然后通过作过圆周角顶点的直径,利用先证明(圆心在圆周角的一条边上)的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上,弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。
三、引导分类讨论,提高合理解题的能力
初中课本中有不少定理、法则、公式、习题,都需要分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到这些问题,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误。在解题教学中,通过分类讨论还有利于帮助学生概括,总结出规律性的东西,从而加强学生思维的条理性,缜密性。
一般来讲,利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类:;其一是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,逐一讨论解决问题
利用现有教材,教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法,结合其它数学思想方法的学习,注意几种思想方法的综合使用,给学生提供足够的材料和时间,启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高,收到事半功倍的教学成效。
怎样提高学生的学习兴趣
葛广玲
学习是一种个性化行为。作为教师,应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的“场所”,让学生的个性在宽松、自然、愉悦的氛围中得到释放,展现生命的活力。然而长期以来,我们的课堂忽视了学生个性的发展,过多地强调知识的记忆、模仿,压抑了学生的主动性和创造性,最终使教学变得机械、沉闷、缺乏童心和灵性,缺乏生命活力。
一、让学生成为课堂的主人
人的能力并不是靠“听”会的,而是靠“做”会的,只有动手操作和积极思考才能出真知。因此,我们不能让学生在课堂上做“听客”和“看客”,要让学生做课堂的主人,动口、动手、又动脑,亲身参与课堂和实践,包括知识的获取、新旧知识的联系,知识的巩固和应用的全过程。要强调凡能由学生提出的问题,不要由教师提出;凡能由学生解的例题,不要由教师解答;凡能由学生表述的,不要由教学写出。数学课堂不再是过去的教师“一言堂”,教师在教学活动中应主动参与、积极引导、耐心辅助,与学生平等合作、努力探研,充分发挥教师的主导作用,真正地把学生解放出来,使学生真正成为课堂上的主人。
二、营造宽松的课堂气氛
要唤醒和增强学生的主体意识必须营造平等、民主和和谐的课堂气氛。一个良好的课堂气氛,能促进师生双方交往互动,分享彼此的思考、见解和知识,交流彼此的情感、观念与理念,能真正把教师转变为学习活动的组织者、引导者、合作者,把学生转变为真正学习的主人。营造宽松的课堂气氛,必须用 “情感”为教学开道。夏丐尊曾经说过:“教育之没有感情,没有爱,如同池塘没有水一样;没有水,就不成其为池塘,没有爱,就没有教育。”所以教师首先要爱生,这种爱是多方位的。既有生活上关怀学生的冷暖、喜恶之爱,更有学习上了解学习情况,填补知识缺陷,挖掘学生身上的闪光点,多鼓励,而不轻易否定,恰当指引,想学生所想,急学生所急。这样才能让学生真正感到老师既是良师,更是益友。
三、在数学教学中培养学生学习数学的兴趣
在教学过程中可通过“读一读”、“想一想”、“试一试”、“做一做”等栏目,结合教学内容并辅以一些与现实生活紧密联系的知识,锻炼学生动手实践、自主探索、合作交流等能力。
利用“读一读”可以激发学生的学习兴趣,让学生感受到学以致用。“数学来源于实践,又反过来作用于实践”,只要我们在教学过程中注意创造合适的情景,使抽象问题形象化、具体化,学生学习由外而内、由浅入深、由感性到理性,使学生不断产生兴趣。新教材的“读一读”里安排了一些与数学内容相关的实际问题,既可以扩大知识面,又能增强教材的实用性。
利用“做一做”,指导学生动手操作,从中体会学数学的乐趣。
充分使用新教材中“做一做”的内容,指导学生利用硬纸、木条、铁丝等材料制作一些简易的几何模型,可以激发学生的学习兴趣,提高学生的动手操作能力,培养学生的思维能力和空间观念,有利于全面提高学生的数学素质,体现了课程标准的要求:“能够由简单的实物想象出几何图形,由几何图形想象出实物形状。”
利用“想一想”,开发学生的思维、培养学生的学习兴趣。
教材安排的“想一想”对开发思维、培养兴趣有极大的帮助。
利用“试一试”,培养学生探究知识的能力,从而进一步提高学生的创新能力。
总而言之,中学课堂不再是封闭的知识集中训练营, 不再是单纯的知识传递, 课堂上我们的学生自主学习, 合作探究,思维得以飞扬,灵感得到激发