论在高中数学课堂中如何用类比法组织教学

数学家波利亚说:“类比是一个伟大的引路人”。在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。它是大自然中各种事物之间的一种相似，当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系统进行类比，从而可以从一个对象系统得到的某些结果去猜测和发现另一系统的相应的新结果;在我们分析问题解决问题的过程中则可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法。在我们平时的学习与生活中处处充满着类比。比如：“仿生学”就是典型的类比。可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。

 如果A,B是两个在某些方面类似的事物，从A具有某些性质推想B也有类似的性质，这种思维叫做类比思维。如学生在学不等式的加减移项法则时，应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题。但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误。有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”，根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除"这样的错误结论来。这也说明类比的结果不一定正确。类比推理只是一种可能性的合情推理，而不是一种必然性的正确推理；要得到正确的结论，我们还必须经过严格的证明才行。

一、运用类比方法温故知新

    类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人们联想的思维工具。在学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新。

    如：在教学三棱锥的体积时，教师应引导学生与三角形的面积进行类比：因为三角形的底边长a对应三棱锥的底面积S，三角形底边上的高h对应三棱锥的底面S上的高，而二维空间里的三角形的面积公式，所以由类比方法推测，三维空间里的三棱锥的体积。再比如证明三角形面积公式可以把三角形补成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形的面积的一半。类似地，要求三棱锥的体积，应把它补成一个三棱柱，然后再分割成三个等体积的三棱锥，这就是课本上的方法——如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考，那么他们对这种方法的理解就会毫无困难。另外如等差数列的求和公式的推倒方法----倒序相加法，就是利用补形的方法，它的公式形式与梯形的面积公式的形式完全相同。这样进行一一类比，可以加深学生的理解和记忆,同时拓宽了视野。

    二、利用类比发现规律，探讨新结论.

 1、数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出来的。事实上，在平面几何和立体几何中，通过类比推广，可以得到一系列相近或相似的结论：

   （1）三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于它们的对应边的平方比。

   （2） 棱锥被平行于它底面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于它们的对应高(或对应侧棱)的立方比。

 2、在高中数学中，可以通过类比法引入的规律十分多。如：对球的概念教学可与圆的概念进行类比。
　　“平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。”
　　“与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，定点叫做球心，定长叫做球的半径。”
　　教师在教授“球”这一概念时，可先让学生复习“圆”这一概念。然后设问，“如果我们将概念中的‘平面’换成‘空间’会得到什么样的结果呢？”让学生进行想象、讨论，充分调动同学们的积极性。新概念的建立，完全可以由学生自己完成。通过这样的类比设问，将知识建构的主动权还给学生。能更好地激发学生学习数学的积极性。
　　将类比用于定理的教学，可加深学生对定理的理解和记忆，使所学知识系统化。

如：在球这一节中对球的性质“一个平面截一个球面，所得的截线是以球心在截面内的射影为圆心。以（R为球的半径，d为球心到平面的距离）为半径的一个圆。”若将此性质与圆中的垂径定理进行类比则它的证明就是一件十分容易的事情。而且通过类比，以旧引新，学生对性质的记忆也会更加牢固，理解也更为深入。

 三、利用类比寻找解题的思维方向

类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法。这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用，教学中应引起足够的重视。

 1）几何中，有这样的一个问题曾难倒了部分学生：“求证正四面体A-BCD内的任意一点P到各个面的距离之和等于常数”。其实只要与平面几何的问题进行类比：“求证等边三角形内的任意一点P到三角形的三边的距离之和等于常数”。由于平几中该命题的证明采用的“面积法”，类似地，这个立几问题应采用“体积法”，于是问题迎刃而解，达到了“出奇制胜”的良好效果。

2）事实上，当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候，如果能构造一个类似的熟悉问题，从这个熟悉问题的解答过程中得到启发，那么就很有可能悟出原问题的解法。下面的这个问题是非常典型的：“设A=｛1，2，3，4，5｝，B={6，7，8}，从A到B的映射中，满足：f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射一共有多少个?”乍看起来，有些学生感到这个问题好象无从下手。你见过一个类似的问题吗?启发学生进行对比联想：“方程x+y+z+u=100总共有多少组正整数解?”这个问题你是怎么解决的?立即有学生想到:相当于用三块隔板将l00个排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一个球，有多少种方法?显然是有种方法。由此，从A到B的映射，共分为三类:①五对一的映射有个;②五对二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成两部分，这两部分而分别与6、7、8中选出两个元素对应，共有个;③五对三的映射，先把1、2、3、4、5用两块板分成三部分，分别对应6、7、8 三个元素，共有个。因此这样的映射总共有21个。问题获解。

    类比思维在数学知识延伸和拓广过程中常借助于比较、联想用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内容，以帮助理解和记忆。在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，都是产生猜测、获得命题的推广和引伸的原动力。因此，类比方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法，其思维作用包含着整理性和探索发现性两个方面。许多形式不同的数学习题具有相同或相似的特征，只要理解、掌握了一个问题的特征和解法，应用类比，这类问题就迎刃而解了。从一定意义上说，这是一个把学生从题海中解放出来的有效方法。

    在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在这些新知识中多少都会带有旧知识的痕迹。在授课时，有意识地引导学生对旧知识进行回忆、类比，给学生创造“最佳思维环境”。可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法。激发学生的积极性，变被动听为主动学。虽然这样类比的结论不一定正确，但它却教会学生一种探索问题的方法，这也正是目前我们要把学生从“学会”转化为“会学”的一种有益的尝试和手段。因而在教学过程中充分运用类比法培养学生的思维能力，有不可估量的作用。