摘要：分类讨论思想是一种重要的数学思想,它能提高学生的数学解题能力，促使学生全面而严密地分析问题，促进并提升思维的逻辑性和严谨性，有效地克服思维的片面性；它是解决部分初中数学问题的重要策略，它在简化研究对象、发展思维方面起着重要作用。

关键词：初中数学；分类讨论思想；原因与原则 ；步骤与运用

引言： 分类讨论思想是初中数学中最常见和重要的数学思想之一，它能训练学生思维的逻辑性和严谨性，它也有利于考查学生的数学综合知识和灵活运用的能力。本文从分类讨论思想的概念,引起分类讨论的原因，分类讨论所遵循的原则和步骤，以及分类讨论思想在初中数学教学中的应用等内容展开，全面地介绍了分类讨论思想。

一、分类讨论思想的概念

  分类讨论思想是解决问题的一种方法和思路。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据研究对象的本质属性的相同点和不同点，将研究对象化分为若干个不同种类，然后逐类进行分析研究各个击破，最后综合各类分析结果而得到整个问题的解决，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用。 

二、引起分类讨论的原因

   初中数学中能运用分类讨论思想解决的数学问题，它们都有一些共性，通过分析发现，其引起分类讨论的原因一般有以下几个方面：

1.概念本身是分类型定义的。如实数的绝对值分式的分母不为零等。

2.问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的。如同底数幂除法负指数幂中底数不等于零等。

3.含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。

比如一次函数自变量的系数和截距是字母时探究函数图象的位置和单调性等。

4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置，不确定的结论等都要进行分类讨论。如圆与圆或圆与直线的位置关系等都要分情况进行讨论。

三、分类讨论思想所遵循的原则

分类讨论思想遵循三个基本原则，即同一性原则、层次性原则和互斥性原则，那就是“每级分类按同一标准进行、分类应逐级进行、同级互斥不得越级”的原则，通俗地说，就是数学题目中明确的对象要与讨论标准相一致；要一步一步逐级有序地进行分类；要有层次地解决多次分类问题及相互矛盾的问题。在遵循这三个原则的情况下，再用分类讨论思想解决数学问题就具有一定的科学性和全面性，达到的发展能力效果也会更好。

四、解答分类讨论型问题的步骤

 分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识，和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯。在用分类讨论思想解决初中数学问题时，不仅要遵循以上三原则，保证解题流程的科学性、严谨性、全面性，还要依据分类讨论的具体步骤操作，解答分类讨论型问题的一般步骤是：

1、确定分类对象。必须明确需要讨论的对象及讨论对象的本质属性和取值范围；

2、正确选择分类的标准，进行合理分类。　对问题中的某些条件进行分类时，要遵循同一标准，进行科学严谨合理地分类。我们需要理清分类的界限，选择好分类的标准，并做到不重复，补遗漏。

3、逐类进行分析讨论解决。有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。

4、对逐类分析讨论的结果进行归纳并加以整合而作出结论。运用分类讨论思想解决问题时要在确保正确的基础上尽量减少分类，使问题解决过程简洁化。

五、分类讨论思想在初中数学教学中的渗透与应用举例

初中数学教学中处处都渗透着分类讨论思想，应用分类讨论思想解题对学生的能力要求较高，除了在课堂教学中渗透、提炼外，还要有意识地增加平时应用这一思想方法的机会，得到强化。克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生的综合运用此种数学思想解题的能力。下面我主要从上面提到的引起分类讨论的原因在教学中的应用举例说明。

1、由概念引起的分类；有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值等），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。有些数学概念在下定义已经对所考虑的对象的范围作了限制（如分式，要求分母不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。

案例分析：已知等腰三角形的两条边长分别是5cm和7cm,那么这个等腰三角形的周长是多少？

分析：题目中等腰三角形的两边长分别是5cm和7cm，它的腰长可能是5cm也可能是7cm,所以本题要分类讨论,腰长可以是5cm，也可以是7cm,所以它的周长就会有两种不同的结果17cm和19cm.

2、问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的。比如零不能作除数，不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑正负等等，若在运算中要突破该运算的限制条件，就必须进行分类讨论。

案例分析：  求不等式  （2k-4）x > 6 的解集。

    分析：本题我们不能直接就化系数为1，根据不等式的基本性质，不等式的两边同乘以或除以同一个正数时不等号方向不变，不等式的两边同乘以或除以同一个负数不等号方向改变，因此此题要考虑2k-4 的三种情况。

解：   （1） 当 2k-4>0时，即当k>2时， x > 6/2K-4.

（2） 当 2k-4=0时，即当k=2时， x无解；

（3） 当 2k-4<0时，即当k<2时， x <6/2K-4.

综上所述，当k>2时， x >6/2K-4；当k=2时， x无解；当k<2时， x <6/2K-4。

3.含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。

案例分析：   解方程  (m-2)x=n+4

分析：如果我们不加以区分，直接得x =n+4/m-2，那就错了，因为解方程在系数化为1时要分析系数和后面取值的不同情况，m-2≠0时和m-2= 0时，不同的情况下会有不同的答案。正确的解答过程如下：

解：（1）当m-2≠0时，即当m=2时，则x =n+4/m-2。

（2）当m-2=0 ，n+4=0时， 即当m=2，n=-4时，方程的解为全体实数。

（3）当m-2=0 ，n+4≠0时，即当 m=2,  n≠-4时，方程无解。

综上所述：当m=2时，则x= n+4/m-2；当m=2，n=-4时，方程的解为全体实数；

当m=2,  n≠-4时，方程无解。

4、某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置，不确定的结论等都要进行分类讨论。有些几何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须进行分类地分析讨论。比如一、二次函数及反比例函数图像相关问题等。

案例分析：已知线段AB=10cm,线段BD=6cm,点M、N分别是线段AB、BD的中点，若点A、B、C、D在同一条直线上，则MN的长度等于多少？

分析:此题不知道两条线段的位置关系，所以在解答时就要讨论两条线段的位置关系。当点D在线段AB的延长线上时，MN =1/2  AB +1/2  BD = 5 + 3 = 8 (cm)，当点D在线段AB上时，MN = 1/2AB- 1/2BD = 5-3 = 2(cm) 。

从上文不难看出，分类讨论思想在初中数学的运用中占有非常重要的地位。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，分类讨论思想能够提高学生的数学解题能力，促使学生全面而周密地分析和思考问题，促进并提升思维的逻辑性和严谨性，有效克服思维的片面性。通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来学习至关重要。

这就要求我们在学习数学的同时要不断积累数学知识，形成知识网络，领悟其中蕴含在数学教学内容中的数学思想方法，以提高学生自身的数学解题能力。所以在教学中要对分类讨论思想，有意识地加以渗透，对于蕴含在数学知识中的思想适时予以揭示，反复强化以优化学生的思维品质，我们只有多研究、多实践、多探索，才能让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想。