摘要：初中数学建模教学意义重大，它的模型众多，有多种培养它的方式。

关键词 ： 数学建模教学  意义  主要模型   培养方式

引言：数学教育界中数学建模理念在不断地完善深化，重视数学建模教学势在必行。初中数学建模教学的重要意义明显，通过数学建模能力的培养，既能使学生可以从熟悉的情境中引入数学问题，拉近数学与生活、生产的联系，激发学生学习数学的兴趣，又能培养学生的数学应用意识和创新意识以及分析和解决实际问题的能力。初中数学建模有几种主要的模型，我们在教学中可以从多方面培养学生的建模能力。

一、初中数学建模教学的重要意义

1、激发学生学习数学的兴趣

数学建模就是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称，数学建模是数学学习的一种新的方式，它有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识，它拉近了学生与日常生活的距离，因为它具有应用价值，显而易见有助于激发学生学习数学的兴趣。

2、培养学生的应用意识和创新意识

随着数学教育界中“数学应用意识”教育的不断深入，提高数学应用性的教育迫在眉睫。数学应用性包括两个层次：一是数学的精神、思想和方法；二是数学建模。而通过数学建模教学，既可以培养学生的数学应用意识、巩固学生的数学方法，又可以培养学生的创新意识以及分析和解决实际问题的能力。

3、数学建模教学改善了教和学的方式

教师通过对数学建模有目标、有层次的教与学的设计和指导，影响学生的学习过程，改变传统的学习方式，实现激发学生自主思考，促进学生合作交流，提高学生学习兴趣，发展学生创新精神，培养学生应用意识和应用数学的能力，最终使学生提升适应现代社会要求的可持续发展的素养。教学中注意对原始问题分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法、模型的选择和分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的循环过程。数学建模学习成为再发现、再创造的过程，教学过程由以教为主转变为以学为主。

二、初中数学建模教学常见的几种模型

1、方程（组）模型

方程（组）是研究现实世界数量关系最基本的数学模型，现实生活中广泛地存在等量关系，如利息和税率、百分比、工程施工、行程问题等，通常都需要建立方程（组）的模型来解决问题。求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等关系，但要注意验证结果是否符合实际问题的意义。

例1：今年爸爸的年龄比儿子大15，当儿子有爸爸这么大岁数时爸爸就已经有50岁了，问儿子今年几岁？
[简析]：设儿子今年x岁，当儿子有爸爸大时就是过了15年，可得方程x+15+15=50。解方程可得x=20。

2、不等式模型

现实世界中不等关系是普遍存在的，主要体现在市场营销、生产决策、统筹安排等方面，对于此类实际问题可以考虑通过建立不等式（组）的模型来解决.。

例2、某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：

（1）该采购员最多可购进篮球多少只？

（2）若该商场能把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？

解：（1）该采购员最多可购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，

依题意得：130x＋100（100－x）≤11815

解得x≤60.5

∵x是正整数，∴x＝60

答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只。

（2）该采购员至少要购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，

依题意得：30x＋20（100－x）≥2580

解得x≥58

由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球平均每天销售40只，

商场可盈利（160－130）×60＋（120－100）×40=1800＋800=2600（元）

答：采购员至少要购进篮球58只，该商场最多可盈利2600元。

3、几何模型

诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。

例3：如图1（台风）某次台风中心在O地，台风中心以25千米/时的速度向西北方向移动，离台风中心240千米的范围内都会受台风影响，某A市在O地的正面方向320千米处，问A市是否会受此次台风的影响？若会，将持续几个小时？

[简析]：这是综合解直角三角形的问题，画出示意图：如图1，先计算出AB的长，比较得：AB＜240，确定会受此次台风影响，而后计算出CD的长，进而就可求出持续的时间。

4、函数模型

函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。学生在学习了正、反比例函数、一次函数和二次函数后，他们的头脑中已经有了这些函数的模型。因此，一些实际问题就可以通过建立函数模型来解决。

例4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

   解：（1）y=90－3（x－50） 化简，得y=－3x＋240

（2）w=（x－40）（－3x＋240）

=－3x²＋360x－9600

（3）w=－3x²＋360x－9600

= －3（x－60）²＋1125

∵a=－3＜0 ∴抛物线开口向下

当x=60时，w有最大值，又x＜60，w随x的增大而增大，

          ∴当x=55时，w的最大值为1125元，

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润

5、统计或概率模型

在当前的经济生活中，统计知识的应用越来越广泛。而数学建模思想的应用在统计学方面的研究得到很好的体现。统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用，诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决，统计与概率是数学在生活，生产中应用的重要方面。在教学中应注重所学内容与日常生活，自然等领域的联系

例5 （2007年后湖北省荆州市中考试题）为了了解全市今年8万名初中毕业生的体育升学考试成绩状况（满分为30分，得分均是整数），从中随机抽取了部分学生的体育生学考试成绩制成下面频数分布直方图（尚不完整），已知第一小组的频率为0.12。回答下列问题：

（1）在这个问题中，总体是                    ，样本容量为    

      。

（2）第四小组的频率为          ，请补全频数分布直方图。

（3）被抽取的样本的中位数落在第       小组内。

（4）若成绩在24分以上的为“优秀”，请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的人数。

解：（1）8万名初中毕业生的体育升学考试                                成绩，=500。

（2）0.26，补图如图所示。

（3）三． （4）优秀率为：

100％=28％ 

∴估计8万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为28％×80000=22400（人）。

。
    三、初中数学建模教学的方式

数学建模应结合平常的教学内容切入，把培养学生的应用意识落实到教学过程中，使学生真正掌握数学建模的方法，培养学生的数学建模能力。
    1、以课本知识为基础，培养数学建模能力。

数学建模能力的培养是一个渐进的过程。因此，从七年级开始，就应有意识地逐步渗透建模思想。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。

2、以课堂教学为平台，培养数学建模能力

在课堂教学中想培养数学建模能力不是简单把实际问题引入，而应根据所学数学知识与实际问题的联系，在教学中适时地进行培养。

（1）课堂教学中还学生以动手能力

新课程的教材中有大量让学生动手操作、制作的问题，我们在教学的过程中就应该让学生动起来，能让学生做的、操作的，就给学生动手的机会，让学生动手做一做，操作着试一试。科技革命常以工具变革开始，同样，工具也是数学建模的基本手段，我们不但要让学生认识、制作、操作教材所介绍的工具，有条件的活，还应该让学生见识一些现代工具，增加微机操作的实际训练。

（2）课堂教学中组织适当的讨论。

课堂讨论常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论。实践证明，课堂讨论为师生之间、同学之间的多向交流提供了一个很好的环境。

在解决问题时，应鼓励学生大胆提出自己的建模方法，然后再补充。当学生自己找到建模方法后，就会获得成功的满足，产生愉快的学习情绪。

3、以生活性问题为基点，培养数学建模能力。

数学就是生活，生活离不开数学，大量与日常生活相联系(如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面)的数学问题，大多可以通过建立数学模型加以解决。例如：某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润．

[简析]：设每件售价提高x元，则每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润y＝(2＋x)(200－20x)＝－20(x－4)²＋720．故当x＝4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润720元。只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深对数学知识的理解和运用。

4、以实践活动为媒介，培养数学建模能力

在平时的教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，培养建模应用能力。

教师在教学中如果注意联系身边的事物，让学生体验数学，并尝到成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣、培养学生的数学应用能力是非常重要的。 

5、以相关学科为链接，培养数学建模能力

数学是学生学习其它自然科学及社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此我们教师在实际课堂教学中，应以学生为主体，充分引导学生注意观察生活中的各种现象，创造性使用教材，努力创设合适的问题情境，让学生投入到解决问题的实践活动中，自己去探索，经历数学建模的全过程，初步领会数学模型的思想和方法，增强数学应用意识，养成良好的思维品质，使学生学到有用的数学。

数学建模思想的教学顺应了当前素质教育和新课程标准改革的需要，数学建模教学必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。

参考文献：

 [1]沈文选.《数学建模》湖南师大出版社，1999年7月第1版

[2]黄立俊、方水清.《增强应用意识,增强建模能力》中学数学杂志,1998年第5期

例5

图2