注：本文发表在《中学数学月刊》07年12期

论开展“数学实验”研究与实践的

意义与方法

江苏省中小学教研室   董林伟

一、 数学也可以做实验吗？

谈到做实验，一定容易联想到物理实验、化学实验、生物实验等等；谈到学数学，自然会联想到做数学题，题海战术几乎成为数学学科的代名词。难道数学也可以做实验？

我们不妨先看一个初中数学中“等比定理”的教学片段： 

教师：同学们，你们在物理课和化学课上经常做实验，今天我们在数学课上也来做一个实验。请看，这里摆着一缸清水、一瓶红糖，还有大大小小的一批玻璃杯。当我将红糖放入水中时，就得出糖水。糖水有浓度，计算公式为：浓度=溶质/溶液。

下面，我们作一个糖水浓度的试验。

（教师把糖放进一个大玻璃杯，添上水得出一大杯糖水，然后随意分倒在3个小杯中，记每一杯糖水的浓度为a1/b1，a2/b2，a3/b3，这里ai，bi，ci（i=1，2，3）为正数。）

教师：我这三小杯糖水的浓度有什么关系？

学生（众）：相等。

教师：对，应有a1/b1=a2/b2=a3/b3。                           ①

    现在，我把这3小杯糖水全部倒进一个空的大玻璃杯中，那么混合后的糖水浓度与原先3小杯糖水的浓度有什么关系？

学生（众）：相等。

教师：对，是相等。我们把大杯倒成小杯又合成大杯，好像是重复或循环，其实这里有数学道理。大家能根据这一显而易见的生活常识，提炼出一个数学命题吗？

（思维情境的创设已经完成，学生思维的闸门也已经打开。学生先独立思考，而后进行了讨论）

学生1：混合后的糖水浓度为

        （a1＋a2＋a3）/（b1＋b2＋b3）                           ②

        它与原先的3小杯糖水浓度相等，故有等式

         a1/b1=a2/b2=a3/b3=（a1＋a2＋a3）/（b1＋b2＋b3）           ③

         这就是等比定理：若①则③

教师：很好，从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，两者之间有质的区别。把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！但舍去了糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系——等比定理，这就成为数学了。现在我问，作为“糖水情境”中的ai，bi，与作为“等比定理”的ai，bi，有区别吗？

（有的学生说有区别，有的说没有。气氛很热烈，教师适时作出引导：如果有区别，那么区别在哪儿？针对教师的引导，学生沉思一会儿后，交流场面再次热烈起来。）

学生2：“糖水情境”中的ai，bi只能为正数，并且bi＞ai＞0，而作为“等比定理”中的ai，bi不需要这么多限制，

有bi≠0并且b1＋b2＋b3≠0就够了。

学生3：是的，等比定理“中的ai，bi既允许ai≥bi，又允许取负数。而在范围扩大的同时也增加了一个新的风险：分母为零。

教师：很好。这是在使用等比定理时要特别注意的问题。……

这节以糖水浓度为背景的数学实验课，由浅入深、由表及里、由现象到本质、由具体到抽象地再现了“等比定理”的发现。在课堂上，教师由学生熟悉的数学实验激发学生的好奇心和求知欲，在教师的引导下观察实验过程，做出分析和归纳。

纵观数学发展的历史，从古代埃及、巴比伦、希腊以及中国的古典数学到现代数学都是产生于实践，服务于实践的。人们从计数（例如结绳计数）开始就在进行实验，并通过实验不断地发展自己，同时也使数学学科本身得到建构和发展，即数学来源于实践，并不断地受到实践检验，得到建构和发展。

在发达国家中，数学实验已经成为数学课堂常见的教学内容与教学形式。美国的中学里有专门的数学实验室，英国的中学教材中有许多数学实验材料。著名数学教育家G·波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，它是创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”，同时他指出："抽象的道理很重要,但要用一切办法使它们能看得见摸得着."。大数学家欧拉也曾说过：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。

二、开展“数学实验”研究与实践的意义

1．“数学实验”与课程改革

《基础教育课程改革指导纲要》把“以学生发展为本”作为新课程的基本理念，提出“改变过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于研究、勤于动手”。《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.”

“数学实验”是为了探索数学知识、检验数学结论（或假设）而进行的某种操作或思维活动。 数学实验一般具有可操作性和实践性，注重实测与直观,让数学在"实验"的过程中对所研究的内容"可视化",让学生从中获得对数,形的观念,并逐步对其适度抽象,进行更高层次上的"再实验",进而体会数学的研究方法和构成体系，使学生在活动中认识并改造着自己的数学知识结构。因此，数学实验可以使学生逐步学会数学思维的物质实践方法,掌握数学研究的规律,培养理性思考问题的习惯,能够解决学科的和实际生活的问题,并检验和论证问题的结果.这是新课标所倡导的数学素养和数学的人文价值所在！

2．“数学实验”对学生数学学习的影响

数学实验，是学生通过观察、操作、试验等实践活动来进行数学学习的一种形式。这种学习方式，不是学生被动接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的“数学现实”出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程。

2．1   激发兴趣

数学实验能很好地激励学生的求知欲与好奇心。

例如：频率的教学，现在的试验新教材设计了一个抛图钉的实验，让学生亲自实践一下。经过实验，学生发觉“钉尖朝上”的频率随着试验次数的增加，的确是在0．65左右摆动。学生在信服之余，至少在以下三方面能激起他们强烈的好奇心。
（1）“钉尖朝上”的概率为什么是0．65呢？尽管得不到回答，但这个问题已经引起了学生强烈的好奇心
（2）“频率为什么可以作为概率的估计值？”这个问题使学生对概率论充满了求知的欲望。
（3）部分学生会产生追求更大的试验次数的好奇心，这种好奇心实际上已是对实验数学的好奇心了。

一般地说，在数学实验中，学生由于亲自动手操作，从一个旁观者和听众变成了一个参与者，因此更容易对实验结果、产生结果的原因、新的知识、新的学科以及新的方法等等产生强烈的好奇心。爱因斯坦在1935年的一次演讲中这样说：做同样的工作，其出发点，可以是恐怖和强制，可以是追求威信和荣誉的好胜心，也可以是对于对象的诚挚的兴趣和追求真理于理解的愿望，因此也可以是健康儿童都具有的天赋的好奇心。长期以来，我国学生对考试以外的题目丧失兴趣，缺乏好奇，这和我们的以“苦读＋考试”为核心的教育传统是分不开的。而数学实验则超越了“苦读＋考试”，在课堂教学中创设探究的情境，激励学生的好奇心，使学生具有更高的追求。

２．２   学会思考

在数学课堂教学中，常常会碰到学生解题时因为找不到突破口而困惑，此时我们可以引导学生通过数学实验来发现规律，从而获得解题方法。

例如：客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米.如果两车相向而行,那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒.求两车的速度.

学生看完题目后，紧皱眉头，一脸的迷茫，两车的两种运动方式搞得晕头转向，不知所措，这时让学生就地取材，拿出计算机和文具盒，模拟两车的行驶方向进行实验，然后问：两种行驶方法，两车行驶的路程之间的关系是什么？学生个个兴致勃勃，专心实验，都想尽早发现规律，这时学生的思维完全活跃起来，都主动参与到探求规律的过程中去.（在两车同向行驶时，学生犯难了，可以适时引导，假设货车不动.）经过一番实验讨论，得到了规律：相向行驶时，客车行驶的路程与货车行驶的路程之和等于两车车身长之和；同向行驶时，客车行驶的路程减去货车行驶的路程等于两车车身长之和，这时问题迎刃而解.

３．３   容易真懂

数学概念是抽象的，但抽象的概念是来源于现实的生活实践，是从现实中概括出来的，因此在概念数学中，应注意从现实中寻找实物模型或通过演示实验帮助学生对概念形成感性认识。

例如，在学习空间的两条直线的位置关系时，首先让学生观察教室，找出两条直线相交、平行，还有两条直线既不相交也不平行。然后再让学生与同桌一起，利用两支笔表示两条直线，一本书表示平面，要求学生动手操作演示，只有两条直线相交或平行能够放在同一个平面内，而既不相交又不平行的两条直线无论怎样变换位置都不能放在同一个平面内。学生通过观察对实物的操作演示能对异面直线的概念形成感性认识，这种感性认识与学生头脑中已有的平面几何知识相互作用，重新组合构筑成新的知识结构，加深对“异面直线”新概念的理解。

我们再来看一个高中数学中“数学归纳法”的教学片段：准备一些形状大小一样的长方形木块和石块，实验过程如下：（1）竖起所有木块，让第一块倒下，余下的木块也全部倒下；（2）把第三木块移开一些距离，让第二块倒下时，碰不到第三块，重复（1）实验；（3）将第三块木块换成石块，重复（1）实验。

根据以上实验，让学生探究“全部倒下”的条件。教师根据学生回答，与学生一起总结：（1）第一块必须倒下（递推基础）；（2）第K块倒下，则第K+1块也倒下（递推关系）。如果每一块代表一个数学命题，那么若第一个命题成立，并且有“第K个命题成立，则第K+1命题也倒下”，则所有命题都成立。从而引出数学归纳法。这样便能使学生生动形象地理解和掌握数学归纳法的本质。

上述数学实验，为学生创设一个形象思维的情境，并为学生顺利构建新的认识结构奠定了直观形象的思维背景，帮助学生进行思维，使学生能生动形象地理解数学归纳法的涵义，因此在教学中教师应注意通过生动形象的数学实验解释抽象的数学理论。

许多数学概念是抽象的，只能借助于感觉和想象来描述，直观和具体是理解数学概念的重要方法和手段，在教学中通过实验变数学抽象为具体，使学生很好地理解新的概念知识，增强学生的概括抽象能力。

2．4    培养情感

有调查显示，学生对数学的评价是抽象、枯燥、伤心、离实际远等。数学实验课的开展使学生认知方式有所改变，认知途径得到拓展，许多科学结论不再以完成、完满的形式出现在学生面前，他们需要参与教学活动，亲身体验数学知识发生、发展的过程，每个学生都可以自由地、大胆的猜想和实验验证，享受数学发现的喜悦，感知数学思想形成的生动历程，实现了从“学数学”到“做数学”再到“玩数学”，从被动学习到主动学习再到创造性学习的飞跃。随之而来的是学习态度的转变和由静态的、绝对的机械反映论的数学观向动态的、（拟）经验的、模式论的数学观的转变。因此，数学实验教学对发展学生的积极数学情感是大有裨益的。

三、“数学实验”的几种形态

1．操作实验——建立在实物直观上的数学理解

抽象的自然数概念在学生头脑中是怎样形成的？学生形成数概念的初始阶段，总是依赖实物作为理解基础，不伴随着实物（铅笔、苹果、手指、算珠等），自然数概念是无法认识的。例如学生初学数学加法时，就可与实物（或手指）对照起来加。

“三角形的三个内角和等于1800”可以让学生经过以下操作实验获得初步经验：

（1） 自己画一个三角形，用量角器量出它的三个内角。求其和；

（2） 将一个三角形的三个角剪下来，拼成一个半平面。

操作实验是指通过对一些工具、模型的动手操作，创设问题情境，学生自主探索数学知识，检验数学结论（或假设）的学习活动。

在数学教学中所运用的测量、手工制作、实物或教具演示等形式属于操作实验形式，其主要目的在于帮助学生获得、理解和把握数学概念、定理，其形式可以是教师示范式，也可以由学生动手操作式的。如利用直尺和三角尺画平行线探索直线平行的条件（如下图）；

又如，在探究正方体的截面图形时，可以让学生用刀切正方体萝卜，一刀所切得截面可能是几边形？ 

2． 思维实验——建立在实物模拟下的数学思考

从认识的过程来说，直观是在事物的作用下，学生在头脑中形感性知识的过程。尽管直观只能形成感性知识，但它是思维的起点，是感性知识转化为理性认识开端。这里的事物，不一定是事物本身，也可以是模型、图表、幻灯、电影等，借助直观（不一定是让学生用手摸，用眼看，也可以是通过对具体事例的描述、演示让学生在头脑中恢复和建立起事物的形象）来帮助学生进行思维。

    例如，“三角形的三个内角和等于1800”，教学时可以设计以下的实验帮助学生进行思考和理解。用铅笔在纸上所画的一个⊿ABC上做实验：

第1次将笔尖指向A点（铅笔与AC边平行）；

第2次旋转∠A后，笔尖指向A点；

第3次旋转∠B后，笔尖指向C点，但铅笔与BC边平行；

第4次旋转∠C后，笔尖指向A点。

经过4次旋转后，笔尖正好掉转一个方向，这说明∠A+∠B+∠C=1800。

    又如，关于用一元一次方程解决实际问题时，所采用的线型图示就是将实际问题“图示化”，进行“纸上”的“实验”帮助学生进行理解和探究的活动形式。

3． 计算机实验——建立在信息技术平台上的数学探究

借助于计算机（包括图形计算器）的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，可以引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的学习活动。