论初中数学“说题”策略及功效

一、概念界定 

“说题”，简言之就是“说”数学题。即教师在教学中，对布置给学生练习的数学题目，能说清楚该题目的出处（本题目所蕴含的数学知识及与该题前后相联系的数学内容）和解决该问题的思考途径（包含解题的数学方法、技巧和数学思想）。“说题”时，教师不但要说清题目，还要说明怎样解，为什么这样解；该题与新课程理念、标准有什么联系；对培养学生的数学素质所起的作用；与有关的数学教育理论是怎样联系的等。 

数学“说题”，在形式上就是通过分析数学题目，说清楚“如何解题”和“解题的作用”；在表面看来，是教师在“说”数学知识间的前后联系、如何解出这个题目的方法和策略，其实质展现的是教师自身的数学教育的理论功底、数学知识的掌握程度、数学方法的理解能力及数学教学的前瞻性理念。 

二、“说题”的功效 

1.有利于提高教师素质 

在“说题”前，教师必须认真学习有关的理论和资料，深刻研究数学知识结构与分类。长期坚持“说题”，必然促进教师自身的数学知识的熟练，其理论学习变得越来越广博而深刻，理论应用变得熟练而有效，从而促进教师业务素质产生飞跃性的变化，即由经验型教师逐步变为理论型教师、科研型教师。 

2.有利于理论联系实际与实践的结合 

课程标准的实施，为“说题”提供了广阔的空间。教师在“说课”时，体现的是教师的数学教育理论功底的深厚，数学知识掌握程度的生熟、数学方法理解能力的强弱、数学教学前瞻性理念的探求。数学“说题”为现在的课堂教学的改革提供了良好的教育平台。在课改中，各类教研活动会更加活跃，“说题”这种教研方式将发挥更重要的作用。 

3.有利于营造教研气氛 

“说题”活动往往和课堂教学实践活动结合在一起进行。通过“说”，发挥了“说题”教师的作用。通过课堂的具体实践，又使教师自身的教育理论得以提炼，也给旁人提供参考，集体的智慧得以充分发挥。“说题”者要努力寻求现代教育理论的指导，评价者也要努力寻求“说题”教师的特色与成功经验的理论依据，说评双方围绕着共同的课题形成共识，达到取长补短、优势互补的效果，“说题”者得到反馈，进而改进、提高和完善自己的教学方案；听者从中得到比较、鉴别和借鉴，得到案例示范和理论滋养两方面的收益，营造了较好的教研氛围。 

三、“说题”的策略 

1.说所给题目的内涵 

题目的内涵，就是题目所包含的内容。至少应该体现在以下这些方面： 

（1）具有启发学生进行数学思考，培养学生创造意识的多种因素及形式； 

（2）不是闭塞的学习，通过问题解决的过程及结果，发现问题的一般性、规律性； 

（3）能够产生解决问题的紧迫感，并利用所掌握的数学知识及技能进行训练的内容； 

（4）产生一个个的问题，具有进行连续学习探讨的可能性； 

（5）要使解决的结果具有吸引学生的魅力。 

许多习题的条件表述是隐性的，所以教师在“说题”的时候，一般要能说出关键词，诸如碰到“恰好”、“最大( 小) ”、“不考虑”之类，就必须通过逐层剥离，使条件明朗化，这是说题的重要内容之一。 

2.说题目蕴含的数学思想 

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。具体而言，一般有： 

（1）函数思想。把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。 

（2）数形结合思想。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种“数形结合”方法是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。如在初中数学教材中，数轴上的点与实数的一一对应的关系，平面上的点与有序实数对的一一对应的关系等内容就体现了这种思想。 

（3）分类讨论思想。当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。集合的分类，有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。 

（4）方程思想。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。 

（5）归纳类比思想。利用归纳类比思想可以对某种相类似的问题进行研究并得出他们的共同点，总结出解决这些问题的一般方法。 

（6）转化归纳思想。转化归纳思想是把一个较复杂问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳。 

（7）概率统计思想。概率统计思想是指通过概率统计解决实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析，等等。 

（8）用字母表示数的思想。这是基本的数学思想之一。在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。 

3.说题目考察的学习目标 

怎样来“说”数学题目所体现的学习目标呢？ 

学习目标一般有：（1）知识目标（智力目标）；（2）能力目标（技能目标）；（3）德育目标（情感目标）； 

例如：2009 年浙江省中考杭州市数学试卷第15 题填空题：已知关于x的方程2x+mx-2=3 的解是正数，则m 的取值范围为。 

知识目标：①了解正数的概念；②会解一元一次方程；③知道如何解分式方程；④能运用方程根的意义判断参数m的取值范围。 

能力目标：①培育学生能运用方程根的性质分析、解决实际问题的能力；②增强用转化归纳思想分析解决问题的意识。 

情感目标：①体会转化归纳思想，感受方程的应用价值；②提高根据题意解决问题的缜密思考的自觉性和习惯。

4.说题目解决的策略

数学题目的解决策略，是指探求数学题目的答案时所采取的途径和方法。方法是有层次性的，题目解决的策略是最高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识。 

根据著名数学家波利亚“怎样解题”表的提法，数学题目的解决过程可以分为四步：①弄清问题；②拟定计划；③实现计划；④回顾。

以2009年浙江省中考杭州市数学试卷第9题为例说明解题策略的产生过程。

两个不相等的正数满足ａ+b=2，ａb=t-1，S=（ａ-b）²，则S关于t的函数图象是：

A.射线（不含端点） B.线段（不含端点） C.直线D.抛物线的一部分

第一环节，分析思考：

求“S 关于t 的函数图象”就是要写出“S 关于t 的函数解析式”，就是把(ａ-b)²用t来代替。 

因为，由S=(ａ-b)²可以得到S=（ａ+b）²-4ａb；又由已知ａ+b=2，ａb=t-1，就可以得到S=4-4（t-1），即S=-4t+8，这是一个一次函数解析式。

第二环节，清晰思路：

通过前面的分析思考，已经知道了S 关于t 的函数图象是A、B、C 中的一个，是哪一个呢？

再回过来看题目中的已知：“两个不相等的正数”这个已知条件还没用过，也就是告诉的ａ＞0，b＞0 还没用上。这里又考查了正数的概念和性质，是本题目的第二个考查的知识点。据上述条件可以得到：ａb=t-1＞0，即t＞1。

第三环节，验证思维：

有许多人在得到：“一次函数解析式S=-4t+8 中的自变量t＞1”后就认为万事大吉，就选了A。在对于“两个不相等的正数”中只考虑了“ａ＞0，b＞0”，而还没考虑到“ａ≠b”，即S= (ａ-b)²＞0 还没用到。

所以由S=-4t+8＞0 又可以得到t＜2（这是这个题目考查的又一条知识内容）。

通过这样的思考，本题目才算正式完成。教学中经常会碰到某些概念、规律、方法或已做过透彻分析并重点阐述的问题，学生却在回答问题、作业训练及检测考查中仍表现出不明白、不掌握甚至茫然，解题时张冠李戴、死搬硬套、表达无序且不够严密的现象。造成这一现象的主要原因是教师包办太多，缺乏能力培养，没有充分调动学生学习的积极性等诸多因素所致。 

5.说题目解决后的延伸方法 

内涵是对一切外延特征的概括，外延是内涵表述的具体化。所以教师在“说题”时，在说清楚题目的内涵的基础上还可以让学生再说它的外延。 

教师在进行“说题“时，要尽量从学生的认知水平出发，并展现思维的全过程，进而使教师和学生联合起来说，互动穿插，互相补充。教师在“说题“的过程中主动发现学生的正常的、一般的思维，要尽可能地与学生的思维相吻合。教师“说题”，应由简单到复杂，也可以由单一逐渐转向全面，并按关键词→隐含条件→转移成明朗化的表达顺序进行，突出习题的侧重点，达到举一反三的教学效果。在教学中“说题”有利于解题，也有利于培养学生观察、分析及表达能力，并进一步激发他们学习的兴趣。说题更对发挥教师的主导作用和学生的主体作用、调动其学习的积极性具有重要意义。说题也有利于改变教师传统的讲课模式，有利于创造全新的教学氛围，促使教师进行新型教学方式的探求。