给学生机会，师生可走得更远
—一堂课的教学实践及反思
又是一个秋高气爽的上午，我怀着忐忑不安地心情走近教室（高三理科班），今天我尝试“流感”教学法（抛出（或创设）问题，交流解法，引发探究，又获新问，互相感染，共同提升），给学生创设一个交流、探究、感染、提升的平台，不知结果会如何？本节课以三角形的心为载体复习平面向量数量积，我准备三道题：1.在中，若，那么点在的什么位置？（人教版数学组第题，回归教材，巩固数量积公式及分配律，较易）；2.已知为平面上的一个定点，是该平面上不共线的三个定点，动点满足条件，则动点的轨迹一定通过的（ ）重心 垂心 外心内心（深化向量数量积与线性运算，中档）；3.在中，分别为内角所对的边长，，为的内心，求（学生在处理中会遇到计算困难，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，通过交流，引发探究，互相感染，获得几何解法（利用三角形内切圆的切线长定理），共同提升，本节课的亮点安排在此题的引导与解决，从而训练学生的思维能力、分析问题解决问题的能力，提升学习能力等）。先给出第1题。
教师：同学们认真思考，待会我们交流解法好吗？（6分钟）
班长：因为，所以，所以，所以向量与向量在向量方向上的投影相等，所以.同理，，，所以点是的垂心.
学生1：因为，所以，所以，所以.同理，，，所以点是的垂心.
教师：此题的两种解法交流的很好，同学们若没有疑问，我们将进入下一题.
数学课代表：慢！我有结果展示：结论辅助条件探索，如图，先设为锐角三角形，因为是的垂心，，所以
，所以，同理，
，，所以.当
为钝角三角形时，可得到. 图1
综上，我模仿正弦定理，给出斜三角形垂心的余弦定理：.
学友们惊呼，为数学课代表喝彩.突然，一位女生站起来高呼：学友们醒一醒，探索之旅go on.此比值是否与正弦定理的比值（外接圆直径）相同呢？
教室特别宁静，片刻的宁静会让学生的脑海在沉默中爆发出海啸.（教师指导）
大部分学生快速获解：先设为锐角三角形，如图，因为，所以在中，，所以，即，所以.太和谐！太刺激了！
当为钝角三角形时，可得到.
综上，我们得到斜三角形垂心的余弦定理：. 简称垂心余弦定理.（已过30分钟）
教师：同学们的探索之旅值，收获颇丰，值得赞赏.同学们还有问题吗？能进入下一题吗？
一位男生很激动地站起来说：太给力了，平时我不爱发言，今天我得说一说.一个定理若没有应用价值，就不能美其名曰“定理”，老师，你能给出展示此定理应用价值的两个例题吗？
我懵了，课前只准备此题的两种解法，结论的得出都是我的意外收获，怎么办？我在大脑的题库中输入“三角形、垂心”等关键词快速搜索，只得一题，又编一小题，勉强过关.
例1 在中，是钝角，是垂心，，求的值.
例2 设是等腰垂心，在底边保持不变的情况下，让顶点到底边的距离变小，这时的值变小，变大，还是不变？证明你的结论.
学生解题展示：
例1的解法：由垂心余弦定理，得.由正弦定理，得.所以，所以，所以，从而有.故.
例2的解法：设等腰的外接圆半径为，则由正弦定理，得，，所以.由垂心余弦定理，得，所以.所以，而，所以，所以.
由于是不变的，所以当顶点到底边的距离变小时，的值是不变的.
教师：垂心余弦定理与正弦定理的完美结合，彰显解题魅力，开拓解题新局面……，下课铃响了，我没有完成预设的教学内容，但师生思维收获颇丰，学生的学习能力得到提升，达到新教学法的预期目标.
欣喜之余，愿记录与同行共享.与此同时也带出我的几点反思.
其一，教学的本质在于思考的充分自由，最精湛的教学艺术就是使学生自己提出问题和见解，因此我们在课堂教学中遇到学生“意外”发言，千万不可断然否定或轻描淡写地一语带过，搪塞过关，一味地依照自己已有的教学设计，按部就班地机械教学，而应发扬民主，积极鼓励学生发言，善待学生发言，并能根据学生的发言，灵活机智地调整自己的教学设计，因势利导地开拓教学，以“理解数学、理解学生、理解教学”为指导，通过学生“穷则变，变则通，通则久”引领学生自主构建，毕竟学生才是课堂的主体，教学的最终目的是为了不教.
其二，教育的本真在于促进学生学生的发展.高中数学除了它的基础性和应用性外，在学生形成理性思维、发展智力和创新意识等方面具有积极的作用.因而，数学教学不等同于数学知识的教学，而是通过知识的教学实现数学教育的价值.创新教育、能力培养是当前教学的基本要求，但并不是每节课都有机会培养学生的这种能力.教学时机与所有的机会一样，有时是可遇而不可求的，教师在教学实践中要敏锐的抓住时机.这就要求教师要想方设法的为学生创设探索的空间，素质教育不应该有固定的模式，它应该体现在每一节课中，每一个问题的处理中.
其三，学生未必不如师，教师不应唯我独优，单向输出.教师虽必须有高于学生的学识，也难免有较重的思维定势.局部思维与具体解题中，学生常会有不同的思考.学生的解法不同于或优于教师为寻常事.学生众多，思维方式也多种多样，正是可利用的教学资源.师生在一起交流，就会有无限的创造与收获，每个人都可“取长补短”何乐而不为呢？正所谓“交换1个苹果，得到的任是1个苹果，而交换一种思想，得到的将是无限的愉悦！
其四，这次意外的教学案例不正体现了“教学相长，师生双赢”吗？我应该以此次经历为契机，转变观念，与时俱进，加强新课程理念的学习和实践操作，树立终身学习的理念.否则，我会落伍，会被淘汰！
其五，若每节课都完不成教学内容，行吗？肯请专家给予指导.
爱因斯坦说过，解决一个问题好比是在干草堆中寻针，别人往往寻找到一根针时即停止不再费力气去做了，但我自己（爱因斯坦）却会去遍寻干草堆中的所有藏针，不达最终目的绝不罢手.我们应向爱因斯坦那样把一道题变成“一只产金蛋的母鸡”，探析其解法及推广.人们常说“一种习惯会孕育一种思维方式”，如果教师能长期在引导、启发学生思考和提出问题上形成一种习惯和模式，学生就会养成遇事自己开动脑筋，自己寻找解决问题的途径和方法，不依赖他人的好习惯，那么课堂就会成为研究问题的课堂.数学家克莱因曾说过：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上一切.”
