由1到“1”，突破抽象整体，激发数学眼光。 课始，张老师板书一个“1”字，问：“认识吗？”“1”谁不认识呢？但在五年级的课堂上，哪个老师会问这么简单的问题？看来，问题背后必有奥妙。学生的注意力在对问题背后奥妙的揣测中，一下子被调动了起来。不仅是学生，我们听课的老师也伸长了脖子。 “哪些物体的数量可以用1来表示？”这个简单的问题真正拉开了这次教学创新的序幕。果然，学生的思路先是局限在单个的物体上，“一个苹果”“一张桌子”。张老师稍一点拨，学生的思路马上打开：“1”还可以表示“一个班集体”“一群羊”“一束花”，等等。这一环节，张老师把学生对“1”的理解引向了深入，由表示基数意义的自然数的“1”，引向了表示一个集合的整体意义的“1”。这两个不同层次的“1”的意义，对应了“分数意义”涉及的不同整体：在分数初步认识阶段，把单个物质实体看作一个具象整体，把这个具象整体平均分成几份，其中的一份就是这个具象整体的几分之一；在分数的再认识阶段，把多个物质实体看作一个抽象的整体，把这个抽象的整体平均分成几份，其中的一份就是这个抽象整体的几分之一。 在“分数是一个整体平均分成几份之后其中的一份或几份”这样的“份数定义”层面，分数的本质是表示“整体与部分”的关系。而在分数的再认识阶段，学生的难点正是受抽象整体包含的物体数量的影响，而不能从“部分-整体”的角度来进一步认识分数。表现在教学中就是这样的现象：8个苹果划为4份，其中的2个，学生认为应该用2/8表示。 张老师对“1”的意义的建构，强化了把多个物体看为一个整体的数学眼光，借助对“1”的意义的建构，实际上突破的是对分数中抽象整体的认识。正是由于有对“1”可以表示一个整体的事先认识，在之后的教学中，学生才很容易地摆脱了抽象整体的一份有多个物体的干扰，把分数的意义聚焦在部分与整体的关系上。 数轴的出现，为分数的另外一种意义的引入埋下了伏笔。 作为数学教师，应该有长远的眼光，应该能看到一课教学内容之外的东西。就分数的定义而言，其实有四种：第一种就是教材上的，以份数来定义；第二种，把分数看成两个整数的商；第三种，分数是两个数的比；第四种是公理化的定义，把分数看成有序的整数对（p，q）。 分数定义中一份或几份的说法，没有逃脱自然数的“影子”，显示不出分数是一个全新的数。在教学中，有的老师借助“几份之一（份）”让学生来理解“几分之一”，如果学生始终不能丢掉“份”的单人旁，理解还是没有到位。其次，取整体中的一份或几份这样的说法，学生会误认为分数总是小于1。这就带来教学中以图像、实物来代表一个大于1的分数时，比如1又1/4，学生又会陷入 “是1又1/4还是5/8的”争论。因此，如果教师能注意到这些后续问题，那么在一堂课的教学当中就有可能“立足一点，放眼长远”。 从数学层面而言，分数的真正来源是自然数除法的推广。在自然数领域，除数比被除数大的情况是无法计算的，所以，分数就有了产生的需要。在凸显分数是一个新数这一点上，数轴这个“半抽象”的载体，比各种实物、涂色的几何图形更适合作为教学的载体。
