用公式法、分解因式法解方程的误区

  公式法、分解因式法是解一元二次方程的两种重要的方法，熟练掌握这两种方法非常重要.为了帮助你学好这两种解法，现就解题中易出现的错误分析如下：

一、应用公式法时，忽视a、b、c的符号.

例1  解方程2x²-6x=1.

错解：因为a=2，b=6，c=1，

所以b²-4ac=36-8=28>0，

所以x₁=

x₂=.

所以方程的解为x₁=，x₂=.

分析：错解在运用公式法解一元二次方程时，将b、c的符号搞错.用公式法解一元二次方程，先将方程化为一般形式，然后再确定a、b、c的值，最后代入求根公式.

正解：将方程化为一般形式为：2x²-6x=1=0，

这里a=2，b=-6，c=-1，

b²-4ac=(-6)²-4×1×(-1)=40，

所以x₁=，x₂=.

提示： 一元二次方程是解决实际问题中的一种重要的工具，而解方程又是本章的一个重要组成部分，是列一元二次方程解实际的基础，应熟练理解其解法，避免出现解题过程中的错误.

二、理解不透，公式用错

例2 解方程2x²-3x=2.

错解：因为a=2，b=-3，c=-2，

所以x=，所以x₁=1，x₂=-4.

剖析：利用公式法解一元二次方程，要熟练掌握公式的特征，错解没有理解公式的特征，当b=-3时，出现了-b=-3的错误，且分母中的2a，当a=2时，2a=4，而错解等于2了.

正解：a=2，b=-3，c=-2，

所以x₁==2，x₂=

提示：利用公式法解方程的关键是正确找出a、b、c的值，且熟练把握公式的特征.

三、解法混淆，求解不当

例3 解方程(2x-1)(3x+2)=1.

错解： 由方程，得2x-1=1或3x+2=1，解得x₁=1，x₂=-.

剖析： 错解在对分解因式法解决一元二次方程理解不对.用分解因式法解一元二次方程，右边必须为0，左边是两个一次因式积的形式.而已知方程是右边是1.本题要将方程化为一般形式，然后选择恰当的解法.

正解：方程化为6x²+x-3=0，

利用公式，得x₁=，x₂=.

提示： 解一元二次方程的基本方法有三种，根据方程的不同特点可选择恰当的方法.无论用哪种方法求解，最好把求到的解代入原方程检验一下，这样可以避免错误.

违背性质，出现失根

四、违背性质  出现失根

例4  解方程2x(x-3)=3(x-3).

错解：方程两边都除以x-3，得2x=3，所以x=，即原方程的解为x=.

剖析：我们知道一元二次方程若有实数根，则实数根有两个.错解在解方程两边同除以含有未知数的整式.求到方程的一个根，造成失根现象.

正解： 方程化为(x-3)(2x-3)=0，解得x₁=3，x₂=.

提示：一元二次方程的根一般分三种情况：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.当求到一个实数根时，应考虑可能出现失掉一个根.