等腰三角形探究
关于等腰三角形的探究问题,是对等腰三角形这部分知识的综合应用问题。现在我们就一起走进下面的几个关于等腰三角形的探究问题吧。
一、等腰三角形顶点个数的探究
例1. 已知点A和点B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,则一共可作出( ).
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
解析:本题没有指明AB的腰还是底边,所以需分类讨论.
(1)以AB为底边,有C1、C2两个点符合要求,如图1所示;
(2)以AB为腰,有C3、C4、C5、C6四个点符合条件,如图2所示.
综合(1),(2)可知一共可作出6个等腰三角形,所以C选项正确.
图1 图2
二、关于等腰三角形构造的探究
例2.如图3所示,在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△PBC、△PAC都是的等腰三角形,你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置.
分析:如图4,△ABC三条边的垂直平分线的交点满足条件,分别以点A、点B为圆心,AB为半径画圆弧,交AC的垂直平分线于、两点,
则△也是等腰三角形,同样可以在AB、BC的垂直平分线上再找到4个点P,使△PAB、△PBC、△PAC是等腰三角形.所以共有7
个点.画出的图形如图3所示.
点拨:此题乍一看只能确定在△ABC内一点,关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边.分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点,克服方法是解题时常提醒自己是否还有其它情况。
三、关于等腰三角形的构图那就
例3.在平面上有且只有四个点,这四个点有一个独特的性质:每两点之间的距离有且只有两种长度.例如:正方形ABCD(如图4所示),有AB=BC=CD=DA≠AC=BD.请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形,并标明相等的线段.
分析:根据题意,显然4点中不存在3点在同一条直线上的情况,则连接平面上不同位置的线段有6条,不妨设可取的两个距离为a、b,且a<b,其长度有以下几种情况:
(1)5条为a,1条为b;如图5所示,AB=BC=CD=DA=BD≠AC
(2)4条为a,2条为b;(如图6所示,OA=OB=OC=BC,AB=AC
(3)3条为a,3条为b;如图7所示,AB=AD=DC,BC=BD=AC,如图8所示 ,AB=BC=CA,OA=OB=OC
(4)2条为a,4条为b;(如图9所示,AB=AC=AD=BD,BC=CD
(5)1条为a,5条为b;(这种情况不存在)