玻利亚解题理论在高中数学教学中的应用研究
来源： 管理员 发表时间：2013-10-16 浏览量：2296
目前,在高中阶段，传统教学方式存在一个弊端——过分重视 “解题术”，而对问题求解的思维过程重视得不够。教学中教师不是把数学作为生动活泼的思维训练去教，而是把数学作为对教师总结出的“现成的”套路去强化训练。造成学生数学学习的负担过重、解题效益不高、压抑学生的创新精神和创造能力等问题。有关的教育学、心理学原理对于解决上述问题无疑是十分有益的,但是这些理论不能直接用于指导中学数学教学实践。一线的数学教师,都渴望找到一种可以直接用于指导中学数学教学实践的理论,呼唤用带有数学教育特征的理论去浇灌数学教育教学的实践。波利亚数学教育思想就是这样的一种理论。
波利亚的解题理论主要体现在他的《怎样解题》一书中，《怎样解题》于1944年写成，一经发行，便立即风靡世界，被译成17种文字出版。在美国经历两回合数学教育现代化运动失败后，挽救了美国的数学教育。第一回合是20世纪50年代末至70年代初的新数运动。新数运动的核心是把中小学数学教学内容现代化，要求从中小学起就要用现代数学精确的数学语言去传授公理化的数学体系。但是十年以后，即70年代初，当新的数学课程在美国大多数学校推开以后，它逐渐受到各方面日益强烈的谴责，走向衰败。从那时起，回到基础（Back to Basics）的呼声四起。因此，在1973年后美国数学教育理论中又出现了一个诱人的口号“回到基础”（Back to Basics）。 “回到基础”强调“最低基本要求”，重视“计算技术”。但这种做法矫枉过正，它全面抛弃了以往数学教育改革所取得的成果，引起有识之士的忧虑。美国国家课程测试（NAEP）主席曾说：“一个时期以来公众特别强调基础，而评估数据都表现学生的数学能力下降了，解决问题、理解概念的能力下降得尤其多。”为了防止这种倒退，又试图纠正过去数学教学改革中过于偏重理论结构、忽视应用的倾向，1980年4月，NCTM出版一份名为《行动议程——80年代数学教育的建议》（An Agenda for Action）的报告。提出必须把解决问题作为80年代中学数学的核心，波利亚解题理论登上历史舞台，在美国取得巨大成功，并迅速波及全世界。
波利亚解题理论在80年代相继译介到我国，在知名数学家徐利冶教授的大力倡导下，我国掀起了数学方法论和波利亚数学教育思想研究的热潮。1989年在北京召开的“全国首届波利亚数学教学思想研讨会”，倡导将数学方法论用于数学教学。同年，无锡市教研中心的特级教师徐沥泉设计了“贯彻数学方法论的教学方式，全面提高学生素质”的数学教学实验(mm课题)。它高效低耗，具有可行性，深受广大师生的欢迎，在教学方法上取得了丰硕的成果。同时，利用波利亚解题思想指导学生解题也受到普遍的重视，几乎每一个解题过程的分析都可以看到波利亚解题理论的影子。
二十一世纪初，我国教育部颁布的《新课标》中明确提出了“解决问题”和“数学思考”两项课程目标。要求在数学教学过程中既要培养学生的演绎推理能力，又要培养学生的合情推理能力。我国的基础教育进入一个崭新的时代——课程改革时代。基础教育应顺应时代的发展，需要扭转传统应试教育的弊端，培养学生健全的个性和完整的人格，构建符合素质教育要求的新的基础教育体系。如何开发学生的非智力因素领域，如何培养学生的创造性思维能力等，已成为当前中学数学教育所急待解决的重要问题。
二、研究意义
本课题力争把哲学与数学结合起来，从哲学的角度启迪学生的思维，提高学生的心智发展水平，使学生掌握题海中的“游泳术”， 切实改变“轰轰烈烈抓教改，扎扎实实搞题海”的尴尬局面。
通过本课题的研究与实施，改变学生对数学的片面看法，提高学生的学习兴趣，变“要我学”为“我要学”，变“怕学数学”为“享受数学”。
目前，从理论研究方面来看，将波利亚的理论与新课标进行对照研究是空白。从中学数学教学实践的现状来看，与波利亚的解题观还存在很大差距：在很多学校，波利亚思想还没有“进入校门”。为此，徐利治先生早就指出，为了搞好中学素质教育，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教材和教学方法，要加大力度传播波利亚思想。
可见，理论方面本课题可望填补一项空白；实践方面本课题力争在教师的教法和学生的学法上取得一些突破，改变“题海战”的现状，推进素质教育。
三、研究目标
本课题打算通过研究著名数学家、数学教育家波利亚先生的解题理论，探讨波利亚的教育理论与《新课标》之间的内在联系，探索操作性较强的解题教学模式，并在教学实践中加以应用，以达到从根本上提高学生的解题能力、把数学教育改革推向前沿阵地、把提高学生的数学素养落到实处的目的。同时，通过本课题的研究，提高教师的教科研能力，促进教师的专业发展。
四．研究内容
基于波利亚解题理论改进课堂教学，提高学生解题能力，进而提高学生的思维能力。
1、将波利亚的《怎样解题》表进行重新整合，细化成四个解题程序，并对每一个程序中启发式过程分析、开放型的念头诱发、探索性的问题转换等设置若干具体的提问
2007年3月至2008年2月，我们对解题教学模式进行了初步探索。
第一阶段，首先，向学生渗透波利亚解题思想。在波利亚解题理论教学研究的初始阶段，我们着重加强教学设计，尤其是解题教学的设计。根据学习经验，我们尝试运用解题表的“提示语”，着力通过对学生比较自然的帮助，反复经常地提出“提示语”，促使学生自己想出一个好念头。在课后，我们通过与学生的交流反馈，不断调整提示语，使其更贴近学生的自然思维。同时在教学中，我们从个体学生的指导研究入手，尝试找到最恰当的方法指导学生学会主动运用“提示语”，并密切观察教学个案，回顾反思，总结得失。
第二阶段，组织学生系统学习波利亚解题思想。为了让学生更系统全面的掌握波利亚先生的提示语，在约经过半个月时间的渗透后，按照安排，各子课题组将课题组整合的“怎样解题表”发给实验班的学生，并组织学生利用课余时间对波利亚解题理论进行学习，激发学生对于波利亚解题理论学习和运用的兴趣，促使学生按波利亚的解题模式进行思考。
第三阶段，解题教学过程程序化。为了波利亚解题理论环节在问题教学中深入实行，我们对典型问题解决的教学按照波利亚的解题教学思想，将解题教学过程划分为程序化的四步，并按解题表有针对性地尝试以下的分析（经常是有针对性的选择各步骤的一部分）：
第一步：弄清题意；即审题。教学生弄清未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?必要时画张图，引入适当的符号。
第二步：拟定计划；即探求解题思路。是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程。分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题；看着未知数，回到定义中去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等。积极诱发念头，努力变更问题。
第三步：实施计划；即检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
第四步：回顾反思。即提炼升华。
验算所得到的解——你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?
你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?
第四阶段，形成较为清晰的解题教学模式。
在教学研究中，结合对学生的访谈，对问卷的分析，对阶段性教学试验数据的对比、分析，不断调整波利亚解题理论在教学应用中的具体措施，进而逐步形成较为清晰的程序化的解题教学模式——“四步模式”。
以波利亚解题过程的四个步骤为依据，经过精心整合，我们将解题教学过程相应的分为四个步骤：
第一步，弄清题意；即审题；
第二步：拟定计划；即探求解题思路；
第三步：实施计划；即检验每一步骤；
第四步：回顾反思。即提炼升华。
2、对 “四步法”教学模式的有效性进行试验验证
课题组成员分别从不同侧面就 “四步法”教学模式的有效性进行试验验证做了实证研究。课题组分别在理科好班、理科平行班、文科平行班分别实证研究了其有效性。（“四步法”教学模式的实效性与学生学习成绩的关系实验研究、“四步法”教学模式在文科平行班的实效性实验研究、“四步法”教学模式在理科平行班的实效性实验研究等具体实验及其具体结论略）实证研究表明，无论是文理科平行班还是文理科重点班，运用这一模式都可以显著的提高实验班学生的整体成绩，而且成绩好的学生更能够适应这种模式，也能够更多的从这一模式中获益。
.1、形成了对波利亚解题思想应用价值的基本认识
（1）形成了对波利亚解题思想及其与《新课标》的一致性基本认识
数学新课程目标的结构大致可表示为：
通过对波利亚的解题理论和《新课标》的深入学习及对比分析，我们发现波利亚的解题理论和《新课标》的精神具有一致性。具体见下表：
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《新课标》的两个 课程目标 |
“解决问题” |
“数学思考” |
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波利亚的解题理论要解决的两个基本问题 |
“问题解决” |
“教会思考” |
关于“问题解决”。《新课标》明确规定了“解决问题”的课程目标：“要求学生初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，养成综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，不断解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神;学会与人合作，养成与他人交流思维的过程和结果，初步形成评价与反思的意识。”
波利亚解题表中的很多“提示语”实际上就是帮助学生理解问题和诱发灵感。如：他要求学生弄清未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来?必要时画张图，引入适当的符号。这些“提示语”无疑会提高学生从“数学的角度”理解问题的能力，进而提高学生提出问题的能力。
波利亚解题思想具体指明了对于数学解题活动有着重要启示作用的思维模式或解题策略，如：笛卡尔模式，递归模式，叠加模式，合情推理模式，分解和组合，一般和特殊化，画图法，考虑相关问题，变更问题等。不难看出，中学数学所蕴涵的主要数学思想方法——函数与方程思想，转化与化归，综合和分析，归纳和类比，演绎和特殊化，数形结合，分类讨论等与波利亚的解题思想模式或解题策略如出一辙。学生掌握了波利亚解题思想实际上也就掌握了解决问题的基本策略。
波利亚解题理论中有朴素的元认知意识，元认知是对认知的再认知，包括元认知知识，元认知体验和元认知监控．虽然元认知概念提出较晚，但元认知思想早就存在，在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念。波利亚解题表的大量问句或建议，都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我诘问、自我反思。比如，“你以前见过它吗?”“你是否知道一个与此有关的问题?”“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?”等等，都不涉及问题的具体内容，都是针对解题主体、对其解题思维活动的反思，都属于元认知提问，而不完全是认知提问。
波利亚解题表中的“回顾”也并不完全是常规解题中的“检验”，主要是有分析地领会所得的解法，它包含着把“问题及其解法”(认知)作为对象进行自觉反思的元认知意图．至于解题表本身所给出的解题程序(一种程序性知识)，所体现的解题策略(一种策略性知识)及所进行的元认知提问，都属于元认知知识．波利亚对具体范例的分析，基本上是对“问题及其解法”的再认知，已反映出开发元认知的朴素意图。
波利亚的另一些问句，如“你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?”“你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?”(接近度)，“你能不能一下子看出它来?”(题感)等，则属于朴素的元认知体验．
至于解题表本身，则自始至终体现着元认知调控。
元认知是形成评价与反思意识的必要前提，而且随着学生元认知能力的提高，评价与反思意识也必然得到提高。因此向学生渗透波利亚解题理论，是培养学生评价与反思意识的重要手段，也是实现这一课程目标的这一依托。
关于“数学思考”。《新课标》要求在数学教学过程中既要培养学生的演绎推理能力，又要培养学生的合情推理能力。《新课标》在其前言部分就强调：“通过数学课程的学习发展学生的数感……应用意识与推理能力。”推理能力则主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例。即学生获得数学结论应当经历合情推理到演绎推理的过程。
清楚了问题的来龙去脉才有可能在此基础上进行创新。《新标准》没有刻意强调问题的结果，却非常重视问题解决的过程。运用归纳、类比思想解决问题则让过程成为问题解决的有机组成部分。在得出数学结论之前，学习者必然对两个对象进行比较，找到它们的对应部分，并明确其具有的某些一般特征，即发现可类比的对象，把观察到的结果加以综合类比，清楚类比对象中结论的来源，然后对想要得到的结论进行猜测，推测证明的思路，最后证明或推翻猜测。
类比、归纳揭示了解法的发现过程，与抽象地告诉学生一个结论相比，让学生在已有知识的基础上去发现一个结论更容易让学生接受。因此，它们都有利于培养学生的问题解决和创新能力。
传统的数学学习往往忽视合情推理，忽视数学学习过程中猜测的力量。这导致了学生数学能力发展不平衡，尤其缺乏创新精神与实践能力。长期以来，人们对数学能力的理解也主要停留在逻辑思维能力的层面上。随着时代的发展，这种数学能力观的局限性越来越明显。
波利亚解题思想就非常强调合情推理，波利亚指出：“一个认真想把数学作为他终生事业的学生必须学习论证推理，这是他的专业也是他那门科学的重要标志。然而为了取得真正的成就，他还必须学习合情推理，这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理。”
合情推理的核心是类比、归纳，类比、归纳有利于学生经历和体验创造性解决问题的过程。
波利亚解题理论中有大量类比实例，为我们在教学过程中进行类比提供了丰富的素材， 如勾股定理、海伦定理进行类比，可得到一系列的类比结论，另外与“平行四边形的对角线互相平分”类比，可得到结论“平行六面体的对角线交于一点，且互相平分”；与“等腰三角形的高通过底面中点”类比，可得到结论“正棱锥的高通过底面的中心”；与“在同一三角形中两边之和大于第三边”类比，可得到结论“在同一三棱锥中三个面的面积之和大于第四个面的面积”；正如波利亚说：“……对平面几何和立体几何作类比，……是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉。”
无论是在初等数学还是在高等数学中，类比都呈现出它特有的魅力。另外，心理学研究表明，学习内容应处于学生“最近发展区”的范围之内，让成功感始终伴随学生的学习旅程，以保证学生不会因过多的失败而放弃他们的努力，失去发现的机会。学生在已有知识的基础上，去发现新结论，构建新知识，这也符合建构主义的学习理论。
由此可见，合情推理的过程是一个数学活动的过程，合情推理的实质是发现与创新，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神，提高学生的创新能力。
《新课标》对于合情推理的强调和波利亚的解题思想是一致的。
综上所述，《怎样解题》中的数学“问题解决”和“教会思考”和新课程标准中“解决问题”和“数学思考”这两项课程目标具有惊人的一致性！
波利亚的数学教育目的既重视智力因素的培养，又重视非智力因素的培养，既重视基础知识的培养，更重视解决实际问题能力的培养。波利亚的数学启发法，数学发现观和对数学问题解决的一些数学教育思想、方法、结论，尤其是关于重视解题过程，重视思维方法，重视数学猜想，重视直觉思维和灵感思维等一系列数学教育观点对于我们今天的数学教育研究，数学教育实践和数学教育改革仍具有较高的参考价值和指导意义。
运用“特殊化”数学思想可以提高问题解决能力。特殊化是从考虑一系列给定对象构成的集合过渡到考虑此集合的一个子集或者仅仅一个对象。特殊化常常有助于解题。(l)特殊化可以证明一个命题是假命题。(2)特殊化特别具有启发性，我们在教学中要对学生加强这种特殊化数学思想的渗透，培养学生的思维。8.1．2.2利用“辅助问题”可以培养学生数学问题解决的能力
波利亚的解题表中的“辅助题目”可以提高学生的解题能力。波利亚指出：“辅助题目是我们考虑的一个新题目，并非为了它本身，而是因为我们希望考虑它可能有助于解决另一道题目，即我们原来的题目。这道原题才是我们要达到的目的。而这道辅助题目则是我们试图达到的目的的一种手段。”关于辅助题目的重要性，波利亚认为：“想出一道辅助题目是一项重要的思维活动，”能够提出一个有助于另一个题目解答的一道明确的新题目，能够清楚地将达到另一个目标的手段设想为一个新目标，这是一种智力上的卓越成就。学习如何能聪明地处理辅助题目是一项重要的任务。辅助题目不仅利于解题过程，而且可以锻炼学生的思维能力，也可以发展学生的智力，是教学中的一项重要的任务。
通过考虑辅助题目可以获得各种好处：一是可以利用辅助题目的结果；二是可以用辅助题目的方法；三是有助于形成知识体系。
在数学教学工作中，要培养学生掌握一些典型的题目和一般的方法，积累解题的经验，从而运用辅助题目提高学生的解题能力。如：在进行章节复习时，我们经常要求学生总结出这一章最具有代表性的4～5个典型题目，效果很好。
运用“回到定义上去”可以培养学生数学思考能力。波利亚指出，回到定义上去是一项重要的思维活动。波利亚强调：经过回到一个专业术语的定义上去，我们就去掉了这个术语，而代之引入新元素和新关系。由此在题目的概念中产生的变化可能很重要。无论如何，某种重新叙述、某些变化对问题的最终解决起着非常重要的作用。波利亚在其《解题表》用例子：“己知一条给定的直线和一条给定焦点及准线的抛物线，求它们的交点。”来说明回到定义上去的重性及怎样通过回到定义上去来变化题目，从而使问题得以解决。帕斯卡也强调回到定义上去对于检验一个论证的有效性是很重要的，他提出了这样一条规则：“在心里面用定义中的事实来代替被定义的术语。”
在教学过程中，我们发现，很多学生学不好数学，最主要的原因就是没有弄清定义或概念的本质，造成只会生搬硬套，只要题目稍微变化一点，便会束手无策。这样的学习无疑是低效甚至是无效的。解决这一问题的根本办法就是要教学生弄清定义或概念的本质，“回到定义上去”。久而久之，让学生养成“回到定义上去”的思维意识和习惯，才能有助于学生的思考，有助于培养学生的思维，有助于问题的解决。
运用解题回顾，可以训练学生的反思性思维能力，提高元认知水平，提高问题解决能力。数学“反思性思维”能力的培养是《新课标》的要求。《新课标》明确规定了“解决问题”的课程目标：“……初步形成评价与反思的意识。” 在波利亚程序化的解题系统的四个阶段中，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，关于解题回顾波利亚认为：“即使是相当优秀的学生，在得到了题目解答，并将整个论证简洁地写下来以后，就会合上书，去找别的事去做。他们这样的做法，遗漏了解题中一个主要而且有益的阶段，通过回顾完整的答案，重新斟酌，审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力。一个好的教师必须理解这些，并使他的学生深刻地认识到：没有任何一个题目是彻底解决的，总还会有些事情可以做，在经过充分研究和调查以后，我们可以将任何解题方法加以改进。而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解，对于波利亚的解题回顾，我们在数学教学中要结合教学内容不断的渗透给学生，使学生受益。”
在高中数学教学过程中，我们可以结合数学教材中的典型的定理证明或例题的解答过程，加强解题的回顾反思，培养学生的反思能力。并引导学生发现新的解法(证法)或对结论的推广，从而加深对知识的理解。
以波利亚解题过程的四个步骤为依据，经过精心整合，我们将解题教学过程相应的分为四个步骤：
第一步，弄清题意；即审题；
第二步：拟定计划；即探求解题思路；
第三步：实施计划；即检验每一步骤；
第四步：回顾反思。即提炼升华。
“四步”教学模式源于波利亚解题理论，但有不囿于这一理论，是对这一理论的创造性应用和发展，我们主要做了以下方面的再创造：
（1）优化提示语。优化提示语，使其更符合学生的语言习惯，但又能达到原提示语的效果。
（2）弥补了这一理论过于强调问题解决的过程，而忽略了对学生情意领域的关注。我们在解题过程中注意情境的设置，以激发学生对问题探究的愿望，培养学生的学习兴趣，变“要我学”为“我要学”，变“怕学数学”为“享受数学”。
（3）改变了学生的学习方式，提高了学生问题解决能力。在波利亚解题理论的影响下，学生的学习状态有了明显改观。摆脱了题海战，提高了学习效率，由被动学习变为了主动学习，由害怕数学、讨厌数学变成了喜欢数学、享受数学。
学生的解题思维过程明显得到了优化。在“四步”法解题教学模式的影响下，他们审题、探究解题思路的能力得到了很大提高，解题过程更加科学化、程序化，提高了解题效率。
学生的解题思维能力得到了明显提高。由于波利亚解题理论中蕴含了丰富的解题思想，如：函数与方程思想，转化与化归，综合和分析，归纳和类比，演绎和特殊化，数形结合，分类讨论等，无疑会提高学生的思维能力。另外，波利亚解题理论中有朴素的元认知思想，对提高学生的反思思维能力也大有裨益。
七、讨论与思考
本课题试图把波利亚的解题理论同中学数学教学实践结合起来，找到有利于素质教育和体现《新课标》要求的，具有一定理论指导的教学经验与方法。研究过程既要将波利亚的解题理论与新课标进行对比，又要进行实证研究，难度非常大。由于数学老师教学任务非常繁重，能投入的精力有限，加之研究水平的局限，我们的研究在某些方面有些欠缺。比如，实验的对比分析时间跨度过大，造成邹玉海老师的实验失败后，没有时间进行调整。同时，虽然我们尽力避免，但诸如调查表本身的信度、学生做调查表的认真程度等因素还是对实证研究的客观性会产生一些影响，这些都是值得讨论的问题。而且随着研究的深入，我们越来越觉得有很多东西值得思考。
1、学生的学习经验与已有的学习经历会对波利亚解题理论的认识及运用产生影响或制约。优秀学生大都更愿意关注学习方法的改变，通过学习，他们大都认为波利亚解题理论对自己有很大的帮助，实证研究部分可以清楚的看到波利亚解题理论对这部分学生的影响较大；而大多数成绩不好的学生都认为波利亚解题理论没有什么作用，甚至曾经有一个成绩不好的学生直接提出：“老师，你讲这些东西一点用都没有，不如多讲些题”。因此，我们应该清醒的认识到，按波利亚解题理论进行解题教学，不一定对所有人都有显著效果。为什么会出现这种情况呢？是不是波利亚解题理论本身有局限性呢？我认为不是波利亚解题理论本身出了问题，一个重要原因是，在应试教育的长期影响下，这部分学生已习惯于填鸭式的硬灌，习惯于被动的接受，平时解题时就很少独立思考，往往就只会照例题的形式套，几乎是死记硬背。对于他们来说更重要的是如何调整对待问题的态度，使他们更愿意主动思考。
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