以问题为专题,促进高三二轮复习
——以“直线的参数方程中参数t的几何意义”为例
杨露露 张金龙
(单位:安徽省亳州市亳州一中南校 邮箱:1259155652@)
摘 要:本文作者从学生在日常学习中的问题为思考起点,以提高高三二轮复习的效率为目的,尝试了以问题为专题的二轮复习教学,经过与学生的交流互动,形成了一种适合本班学生的二轮复习教学模式。
关键词:问题,专题,二轮复习,参数方程,几何意义
引 言
传统的高三二轮复习多以类似知识点为模块进行专题复习,这种复习方式虽然能使学生形成知识网络,但对于学生解决问题能力的提高并没有起到显著的作用。而以学生在平时学习中的问题为专题,将学生的问题作为课堂教学内容的复习方式会更有针对性,且有相同问题的学生在课堂上会产生共鸣。这样以来,二轮复习的课堂气氛就不再沉闷,学生解决类似问题的能力也会得到提高,二轮复习将会更有活力和效率。
下面以学生在平时学习中遇到的“直线的参数方程中参数的几何意义”为例,展开对该问题的教学思考。
一、问题的发现及分析
经过一轮地毯式的复习之后,学生对北师大版选修4-4坐标系与参数方程中的相关知识已经有了一定的理解,对一些简单的题目也有了自己应对的方法。比如直角坐标系与极坐标系下点的互化、方程的互化,以及将参数方程化为普通方程等都能做得很好。但在模拟考试中有时会遇到考察参数的几何意义的题目,学生对这类问题的解法还只是停留在用直角坐标系下的方程联立求解,解得很复杂,大部分同学的解答还不能得到最终的结果。
现将某次模拟考试出现的问题呈现如下:
问题:在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标中,圆的方程为.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值.
这是高三一轮复习结束,二轮复习进行中我校周考测试中的选做题,意在考察坐标系与参数方程的相关知识,特别是第(Ⅱ)问,重在考察学生对直线的参数方程中参数的几何意义的理解。
但最终学生第(Ⅱ)问做的情况很差,有些学生在直角坐标下直接求解显得有些复杂。现将学生做出来的三种方法呈现如下:
解法一:(Ⅰ)直线的普通方程为,圆的直角坐标方程为
(Ⅱ)
设则
代入直线方程解得:,则
评价:该解法是直接在直角坐标系下求解,计算量虽不是很大,但对于部分同学来说用此法解出正确答案还是很困难的,若遇到计算量再大一点的题目,用此方法来解答必定是困难重重。
解法二:(Ⅰ)直线的普通方程为,圆的直角坐标方程为
(Ⅱ)将代入
,由韦达定理得
又
评价:这种解法用到了参数的几何意义,并借助韦达定理使问题得到了简化。
解法三:(Ⅰ)直线的普通方程为,圆的直角坐标方程为
(Ⅱ)将代入
,解得
评价:这种解法用到了参数的几何意义,观察到的值可以直接求出来,就直接求解,没有借助韦达定理,也很好。
考虑到我们班学生对该类问题解决的不太熟练,于是就以该类问题为专题上了一节复习课。
二、以此问题为专题的教学
(一)考试说明对“极坐标与参数方程”的要求
(1)了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
(2)了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化。
(3)能在极坐标中给出简单图形表示的极坐标方程。
(4)了解参数方程,了解参数的几何意义。
(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
(二)近几年新课标Ⅰ卷“极坐标与参数方程”的考点分析
年 份
|
2010
|
2011
|
2012
|
2013
|
2014
|
2015
|
考
点
|
参数方程:
直线与圆的交点,轨迹参数方程
|
参数极坐标:
参数与平移变换,两点距离
|
参数极坐标:
圆的极坐标方程,参数方程的应用
|
参数极坐标:
参数与极坐标方程互化,交点坐标
|
参数极坐标:
普通与参数方程互化,点间距离最值
|
参数极坐标:
直角化极坐标方程,直线与圆相交
|
分析:通过对高考真题考点对比发现,近几年的真题还没有直接考察到用参数的几何意义去求解问题,但考纲和考试说明中都有这部分内容,参数的几何意义将成为2016年高考的一个热点问题。
(三)知识梳理
平面内过定点、倾斜角为的直线的参数方程的标准形式为,其中表示直线上以定点为起点,任意一点为终点的有向线段的数量。并规定当点在点上方时,为正值;当点在点下方时,为负值。
(四)典例分析
例1:在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标中,圆的方程为.
(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(2)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值.
(3)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值.
(4)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值.
解:(1)直线的普通方程为,圆的直角坐标方程为
(2)将代入
,由韦达定理得
又
(3)
(4)
设计意图:本道例题是对模拟考试中试题的改编,题干没有变,又增加了两问。意在通过本题的几个问题将参数应用的几种类型一网打尽,形成通性通法,有助于学生以后解题能力的提高。
(五)小组讨论,形成结论
在讲解完典型例题之后,并没有立即给出过多的练习,而是引导学生对典例中的解法进行归纳总结,从而形成可以通用的解题思路。于是,就提出了这样一个问题:你能否通过例题中的解法,想一想该类问题是如何利用的几何意义,借助韦达定理进行就求解的。
现将学生小组讨论的结果,经过认真总结列举如下:
(1)直线的参数方程中参数引入的过程中表示的是距离,那么分别代表的大小;
(2)求解的值转化为求的值。当同号时,;当异号时,。
(3)求解的值转化求的值;
(4)。
注意:若能直接解出,则可直接代入的值进行求解,不必要再借助。
三、问题的延伸与进一步探讨
在进行完该问题的专题教学之后,学生在遇到类似的问题时就能够自主解决,比如说在后期的某次周考中又遇到一个类似的问题,学生做的效果很不错,全年级的平均分达到分,我们班该题的平均分也达到分。现将该题列举如下,不作解答。
(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线的参数方程为 (为参数),曲线C的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正方向建立直角坐标系,点,直线与曲线C交于A、B两点.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程;
(2)线段MA,MB长度分别记为|MA|,|MB|,求 的值.
像这种已经将直线的参数方程写成标准的形式,即
学生将分别代表题目中两条线段的长度不会出现错误,但是如果某道题目没有将直线的参数方程写成标准的形式,而学生仍将看作题目中两条线段的长度,那就会出现严重的失误。
比如说这样一道题目:设直线与抛物线交于两点,求这点到点的距离之和。
学生在做这道题目时会出现两种思路,一是在平面直角坐标系下直接求解,这样解计算量会很大,计算薄弱的学生很难得到最终的结果;二是用参数的几何意义来做,如果能正确理解参数的几何意义会很快得出正确结果。但大部学生没有正确理解到底谁代表的是距离,还是认为分别代表题目中两条线段的长度,这样做得到的结果是值得商榷的。
于是,在另外的一节课上又以该问题为专题补充了该类方程如何化为标准的参数方程,理清了到底谁代表的是题目中的各段距离,并对上述问题进行改编解答,使学生对参数的几何意义有了更深刻的理解。
课堂教学中解释如下:
由于该直线的参数方程为(为参数),而在内不能够找到一个角,使这个角的余弦值等于1,正弦值等于-1,因此这个参数方程并不是标准的参数方程。但很容易知道该直线过定点,斜率为-1,因此该直线的倾斜角,所以,因此该直线参数方程的标准形式可以写成,因此分别代表题目中两条线段的长度。所以该题的正确解题思路应该是这样的。
解:将
解答过该题目后又提出下列思考问题供学生解答。
思考题:
(1)过点的直线的参数方程为(为参数),它与直线的交点为,求。
(2)设直线(为参数)与抛物线交于两点。
求 ‚求
四、结束语
作为一名一线的年轻教师 ,深知自己的资历尚浅,经验不足。本文也是结合自己首届高三的教学实践,思考了在教学中学生容易出错的问题,解决了与直线的参数方程中参数t的几何意义有关的问题。总之,笔者以为以问题为专题的教学模式应该贯穿于高三的二轮复习之中。因为复习的目的就是解决学生的问题,清除学生在知识和方法上的盲点,最终让学生能够在高考的考场上能够应对自如。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订:《普通高中数学课程标准(实验)》,人民教育出版社,2003年版.
[2]普通高等学校招生全国统一考试大纲的考试说明(理科),高等教育出版社,2015年12月第1版.
[3]坐标系与参数方程(选修4-4),北京师范大学出版社,2007年5月第2版.
[4]《2016课标版3年高考,2年模拟(高考理数)》,首都师范大学出版社,科学教育学出版社.