信息技术与数学教学设计和实施
初中数学专家团队
“信息技术与数学教学设计和实施”，这一内容与教师平时的教学设计和实施关系十分密切，因此有必要就此话题展开讨论。
一、资源和工具——在现代信息技术的支持下进行数学教学设计和实施
借助现代信息技术提供的资源和工具进行数学教学的设计和实施，可能对于许多教师来说还不熟悉，这其实首先是一个信息素养和意识问题。
信息技术的发展对当今社会产生深刻影响，现已成为共识，并且被我们深刻的感受到，例如手机的广泛使用。人们利用它打电话、发短信，玩游戏，看新闻，看视频、上网查资料，……。如果一个人不会使用手机会被认为缺乏现代意识，跟不上信息社会发展，落伍于时代！可对于数学教育，情况就大不一样，许多教师还没有意识到信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响，以为现在信息技术离开自己教学还太远。
实际情况怎样呢？以资源共享来说，其实网上有许多免费的资源对于当前的数学教学极有用处。例如在讲图形变换时，课本上的静图难以体现平移、旋转和对称，一些动画课件就能帮助学生加深理解；又如讲解空间图形的侧面展开，截面，计算机提供的动画课件生动、形象，可以很容易帮助学生建立起空间感；……。利用这些资源既提高了课堂教学效率，又能取得良好的教学效果，为数学课堂注入了信息时代的气息，何乐而不为呢？但由于教师缺乏资源共享的意识和相应的信息素养，有的根本不知道网上有这些立体化资源，仍然满足于自己的一张嘴，一只笔，依旧习惯于用传统的方式教学；有的则花费大量的时间和精力自己开发课件，从事低水平的重复手工业劳动，耗时费力，得不偿失。
再谈工具，在数学教学中经常需要做的工作是画图和计算，用什么工具完成这类工作呢？传统的工具是粉笔、圆规和三角板。但用传统的工具画图，很难做到既快速又准确（例如快速画出正五边形），更不能画出动态图形（例如用动态图形显示不同三角形高线的位置，用动态图形显示等腰三角形“三线合一”）。现在有了专为数学教学开发的数学智能平台，以上画图变得易如反掌，准确高效。同时利用这样的平台还可以进行快速的数字计算和符号演算。（如计算
，探索）。
一个课件库，一个智能工具箱，数学老师手边有了这两样东西，将极大减少原本那些索然无味的重复性工作，使自己能有更多的精力从事更有价值的创造性劳动，改善当前的教学设计与实施。
如果你想尝试一下，不妨登录思米教育网站（）或中少在线网站（ )，在那里马上可以免费下载功能强大的数学工具软件《超级画板》和大量的课件，在互联网上找到更多能用超级画板打开的课件。
在数学教学中，现在不是该笔该用信息技术的问题，而是如何更有效地使用信息技术。目前在数学教学中存在两种倾向，一种是拒绝使用信息技术，另一种是滥用信息技术。前者显然已经落伍于时代的发展，不与时代同步，就不能与时代同行。后者是如何更有效地使用的问题，这应该是当前很有价值的研究课题。
二、从函数的图像和性质的教学谈起——谈谈直观和抽象、实验与逻辑
从2001年启动基础教育的数学课程改革至今已经有11个年头了，信息技术用于数学课程是课程改革一直是新一轮课改的一个基本理念。《数学课程标准》（2011年版）又重申了这一点：
数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。
信息技术运用要做到合理、有效，有两点必须要注意：一是充分了解信息技术的使用功能，熟悉它在数学课堂教学环境中运用的特点，正确把握它运用于特定内容的长处与短处。二是要明确运用信息技术的目的是为更好地解决教学中的难点，促进学生更好地理解和思考。
运用信息技术不是以它去替代以前行之有效的教学方式，而是希望解决传统教学难以解决的问题或者解决起来费时费力的问题，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果；同时，运用信息技术不是让它完全替代学生应有的数学技能和数学思考。
现以函数的图像和性质的教学谈谈一些看法与大家讨论。
数学教育的一个重要的教育价值在于培养学生的理性思考，这是数学的学科特点决定的。我们知道抽象和推理是数学学科的显著特点，在抽象和推理的过程中我们总是关注如何抓住事物的本质和事物之间的联系。因此，数学教学需要讲道理，需要讲为什么，不能强加于人。讲道理的教学和不讲道理的告知式的教学有本质的区别。
我们现在的数学教学讲不讲道理呢？大概没有人会说数学教学是不讲道理的，那么就看看二次函数的图像和性质的通常教学吧！
案例：研究函数的图象和性质。一般采取的方法是列表、描点、连线“三步曲”画图。然后对照画出的图象说出函数的性质。
在画图时我们总是强调要用光滑的曲线连接，可凭什么仅描出了7个点就必须用“光滑”的曲线把它们连接起来？凭什么就说图像在y轴的右方是无限向上伸展的？在讲解函数性质时，我们指着图像说，“当x<0时，函数值y随着x变大而减小，当x>0时，函数值y随着x变大而增大。”可是在图上函数值和自变量的值在哪里？谁又看见它们的变化了呢？可见，这里更多是教师通过语言传达给学生信息。我们的教学似乎利用了直观，但没有真正用够直观，在这个教学环节也没有充分讲道理，只是把猜想的结论告知给学生，让他们记忆现成的结论。
描出有限几个点真的就能概括出函数图形的全貌吗？下面是同一个函数图像的两幅图，你能从第一幅图想象出函数图形的整体走势吗？
那么凭什么就说函数的图象是向左上方和右上方无限伸展的？再看一个例子：下面是函数的图像的两幅图，你能从第一幅图想象出函数图形的整体走势吗？
既然如此，我们有理由问凭什么说：二次函数当x>0时，函数值y随着x变大而增大？难道通过描点绘图得出的二次函数图象就不会出现上述情况？其实，至少应该向学生讲清楚如果多描一些点、多取一些值会怎样？如果自变量的取值范围大一些又会怎么样？这时传统的教学手段就显得力不从心，而借助技术却能帮助我们讲清道理：用动点的跟踪体现函数图像的生成，用放大和缩小功能体现大范围函数图象的走势，用计算功能体现函数值的变化，用改变描点的个数体现所取点数对图像形状的影响，用表格体现函数值与点的坐标的对应关系。
当然，对函数的图像和性质的研究补充了以上活动还是停留在观察、实验、猜想的阶段，需要适当地补充论证，但至少把道理说明白了一些，更让人信服。
我以为在教学中学生对于一些简单的论证还是可以接受的。例如对于 的性质的研究，在展示了函数图形后补充下面的证明：
任取考察对应函数值的大小，这时
，因为
这样我们就用逻辑弥补了直观的不足，也体现了用数学的思维方式、用充分讲道理的方式去教数学。在以上过程中我们看到了信息技术在数学学科教学的优势和潜力，看到了在信息技术有力的支持下（但不是完全依赖技术）完全可以创新教学方法，使得既突出数学本质，又使数学变得容易理解。
教学中类似的例子很多，信息技术的恰当使用来自于我们的教学创意，来自于我们对于函数概念本质的理解。我们可以借助于技术把课本上生硬的文字表述改变为生动活泼的知识形成过程。
三、借助信息技术处理图形与几何教学中合情推理和演绎推理
关于合情推理与演绎推理在前面的“谈谈图形与几何教学”的简报中已经有过讨论。这里再用一个例子加以说明。
案例 在直角△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=，点D在边AC上（不与AC重合），连接BD，F为BD中点。
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1，设CF=kEF，则k=_____；
（2）若将图1中的△ADE绕A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示，求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值。
图1 图2
分析与解答：
（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，容易得到CF=BD，EF=BD，所以k=1，即CF=EF。（图1）
（2）要证的结论等价于证明。从上一小问，想到直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，如果CF是一个直角三角形斜边的中线就好了。
过C点引CG⊥CE交BE于G。看来似乎EF=FG，如果能证明BG=DE，CF就是EG边上的中线。
容易证明∠ACE=∠BCG，∠AEC=∠BGC，于是
另外一种想法是借助辅助线构造出BE-DE和2CF，并证明它们相等。于是延长CF到P，使FP=FC，在EB上截取EN=DE，见下图。
现在需要证明的是BN=CP。但是一时很难找出包含这两条线段的全等三角形。
看来似乎应该从充分利用已知条件考虑，这里旋转的条件没有被考虑到，既然点E是图1中的E点旋转得到的，那么上题中的结果CF=EF是否仍然成立呢？
如果成立，则CF=EF=FD-DE=BD-DE，变形可得2CF=BD-2DE=BE+DE-2DE=BE-DE，问题得证。
这样就需要研究当图形旋转时，是否保持CF=EF的性质不不变？
对于这个由（2）提出的问题，可以画出下图考虑
通过画图观察（或通过计算机上的动态实验），我们看到确实如此。接下来就是给出证明。
延长CF到G使GF=CF，连接EG。则EF是CG的中线。
如果△AFG是直角三角形，则EF=CF。而要证明∠AFG是直角又需要考虑已知条件哪些可以利用而我们还没有用。
考虑到已知条件AC⊥BC，所以DG⊥AC，又DE⊥AE，于是∠A=∠EDG，又根据tan∠BAC=得AC=2CB=2DG，AE=2DE，由此不难证明△EDG与△EAC相似，所以∠AEC=∠DEG，∠AED=∠GEC，但∠AED为直角，所以∠GEC也为直角。由此EF=CF。
（回顾与反思： 猜想在解题时往往是破解困难的关键，有了猜想需要依靠实验观察去验证，有了基于实验的验证还需要进行演绎证明。这时充分挖掘已知条件，由已知条件进行有价值的联想，从要证的结论转化为一个更为我们熟悉的问题，一旦这两条思路挂起钩来，问题的思路就贯通了！从本题可以看到合情推理与演绎推理的结合，数学实验的作用以及几何直观在解题中的重要性）
（3）设想点D在以A为圆心4为半径的圆上运动，F为BD的中点。在D运动的过程中，△AFG是为变量，不变的是三角形ABC和AD的长。取AB的中点E，连接EF和CF。 注意到在△CFE中，CF。当F、E、C共线时，CF取得最大值。
(回顾与反思： 本题由于线段AD绕点A旋转会呈现多种情况，通过计算机实验有助于问题的解决，如果不借助计算机，也应该想象由旋转呈现的多种情况。）
通过以上讨论，大家或许可以意识到：21世纪的 数学教师应该考虑在信息技术的支持下优化教学设计和有效的实施教学吧！
