我如何理解“数学”
作为唯一不依赖于观察与经验,仅凭公理与逻辑便可建立自洽体系的一门学科,数学无疑比其他理科更加接近传统意义上绝对正确的“真理”。但是从实践的角度来说,数学无疑是在发展的,比如我们学数学的历程,负数的引入,无理数的引入,虚数的引入……这个过程是一个逐渐接近更真的真理的过程还是一个逐渐发掘更多同等正确的真理的过程呢?接下来是我从各个角度的一些思考。
首先,数学中真理的概念,数学中一个命题的正确性依赖于选取的公理体系,同一个命题在一个公理体系下是正确的,不代表在另一个公理体系下也是正确的,如在欧式几何中,过直线外一点有且只有一条直线与此直线平行,而在黎曼几何中,有一条基本规定:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。这两者显然是矛盾的,但是在各自的公理体系中都是正确的,自洽的,而这两个公理体系在现实中也都有各自的应用,欧式几何自不必说,黎曼几何不仅是微分几何的基础,还在广义相对论中有重要作用,不能说两个公理体系有对错之分。因此,“过直线外一点有且只有一条直线与此直线平行”不是真理,“在同一平面内任何两条直线都有公共点”也不是真理,”若承认欧式几何的五条公设,过直线外一点有且只有一条直线与此直线平行”“在黎曼几何公理体系中,在同一平面内任何两条直线都有公共点”这样的陈述才是真理。数学中的真理不在不可验证的公理,也不在命题本身,而是由公理推到命题的逻辑性。
至于在实践中对其的检验和发展,我认为在数学中,一方面尝试承认新的公理体系,构建新的数学分支,另一方面在原有的公理体系中不断发展,研究在其基础上能够推导出什么结果。无论是真理,还是对其的实践,检验,发展这些概念,在数学的视角与用在人类社会中的理解有着显然的差异,究其原因人类社会中的真理往往是依赖于社会,政治,道德的,而数学中的真理仅依赖于理性与逻辑。
在给出了我对于数学中真理的理解之后,既然我认为它不在于不可验证的公理(数学中的公理系统本质上只要自洽,可以任意选取当然不依赖于社会,政治,道德),而在于由公理推到命题的逻辑性,我对于“即使是数学和自然学科,也具有不可验证的假设,也与社会、政治、 道德不可分离,故而,在数学和自然科学中也不存在“绝对真理”。”这一观点的态度也显然是不赞同,至少是不赞同其数学的那一部分。数学和其他自然科学有着本质性的区别,其他自然科学需要不断的观测来得到经验知识,而这经验知识远不如数学知识更可靠,1+1=2永远是对的。莱布尼兹将数学知识与经验知识这种直觉上的区别概括为理性真理和事实真理的区别,理性真理成立的理由在于理性,而事实真理成立的理由在于外间的事实。康德也将数学看作纯粹先天综合知识,对经验可借助而不依赖。休谟,弗雷格,罗素等逻辑主义者对数学真理的解释是数学真理所以是必然的、颠扑不破的真理,正是因为它们归根到底是逻辑真理。而我的看法更与数学逻辑主义者相符,某种意义上如罗素所说:“逻辑学是数学的青年时代,而数学是逻辑学的壮年时代。”、“数学即逻辑。”
那么再回到开头的问题,先说我的结论,我认为数学的发展过程是发现越来越多同等正确的真理的过程,在数学中新的理论不会改变旧的理论的真理性。负数的引入不会影响正数的性质,无理数的发现不会影响有理数的运算法则,虚数的提出不会影响实数可作为单独的领域而存在……后人发现去掉欧式几何的第五公设可以建立其他种类的几何学,但这不会让“在欧式几何中,命题a成立”成为伪命题。在这一点上,我认为与物理的发展过程有本质性的区别,即我认为物理的发展是一个逐渐接近更真的真理的过程。日心说的确比地心说更好地描述太阳系的运转,相对论确实比经典物理更好地描述物体的运动方式,但是在相对论体系里面,经典物理就是错的。虽然很多学物理的人会说经典物理没有错误,它是相对论在低速条件上的一种近似,与相对论不矛盾,但是从数学的角度来说,近似就是不相等,只能说相对论比经典物理更精确,更接近真理,而不能说相对论包含了经典物理。
在数学的发展过程中也有过很多波折,还有数学危机的出现,但这些危机都是源于借助直觉和经验而不是可靠的推理证明来构筑数学体系,本质上或者是使用了不可自洽的公理体系,或者是在推理的过程中逻辑不严密,不会影响基于可自洽的公理体系与严密逻辑推理的数学的真理性。如第一次数学危机,不可通约性的发现,毕达哥拉斯学派的信条是宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。但是这并不能基于当时其他对“数”的理解推出,相反,当时对“数”的理解是可以推导出无理数的存在的,这信条只是基于他们的哲学或者美学的一种臆想,或者基于是已知的数都是有理数的经验而已,既无法从逻辑角度作为其他公理的推论,也无法从自洽角度塞进那套公理体系。第一次数学危机并不是数学基石的危机,只是证实了用个人的哲学或者美学信条或者经验来作为数学推理的过程的不可行性。同样的,第二次数学危机是源于微积分中极限等概念定义得不明确,第三次数学危机则是源于古典集合论中对于集合的定义本身隐含着无法自洽的罗素悖论,都是人为地用不符合逻辑的方式建立数学体系的产物。
综上所述。在数学中,基于自洽的公理系统,经过严格的逻辑推理,得出绝对正确的结论。在现实中,很多问题没有良好的公理系统,没有严格的定义,但是逻辑的正确性仍然是可依赖的,我们应尽力从逻辑的角度看待去分析,去判断每一个问题,而不是仅仅基于自己主观的直觉或者猜测下结论。