浅议变力的平均力

（六安市第二中学  安徽 六安  237005）

摘  要：高三物理教师，授课时经常要讲到变力的问题，如变力的功、变力的冲量等等，学生做习题或模拟考试也会碰到同样的问题。求恒力的问题相对容易，处理变力则比较困难。如果变力是线性变化的，一般用平均力来处理；对于非线性变化的变力，常用微元法，但中学阶段一般不作要求。由于学生对平均力问题掌握的不透，往往会犯这样或那样的错误。本文从学生的学习困惑入手，力求说明变力的平均力问题。

关键词：变力  平均力  平均冲力  平均功力

一、学生出现的困惑

    现有以下两道考试题，不少学生做过之后感觉自己做的是正确的，但结果没有得分，困惑之情油然而生。

    试题1、（不定向选择题）如图1所示，质量分别为=1和=2的两物块叠放在光滑水平桌面上，两物块均处于静止状态。从某时刻（=0）开始，对放在下面的质量为的物块施加一水平推力，已知推力随时间变化的关系为=6，两物块之间的动摩擦因数为μ=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度=10，下列结论正确的是（   ）

、两物块刚发生相对运动时的速度为1/

、从施加力F到两物块刚发生相对运动所需的时间为

、从施加推力F到两物块刚发生相对运动两物块的位移为0.5

、从施加推力F到两物块刚发生相对运动F的冲量为6·

【学生解答】

               刚发生相对运动时的加速度=μg=2  

            此时  ==6 

            由=6可知经历时间.  B错

            对两物体整体，根据动量定理： =  ，又=3

            则的冲量=3·

            解得=1   故正确，错误

            再根据动能定理：=，

            将=3 带入得=0.5，故正确。

综上所述，学生给出的答案是，但正确答案仅是，选项错误。

学生觉得每一步都有理由据，不知道错在哪里。

试题2、如图2所示，质量为1的导体棒，以8的初速度在安培力的作用下向右滑行，经过5导体棒的速度变为=3，并且向右运动了5，不计导体棒与线框之间的摩擦，求这个过程中导体棒受到的平均安培力。

 【学生解答】

           规定向右的方向为正方向

方法一：  =    

                     =   

           方法二：  =

                     =             ( 负号表示方向向左)

    学生们觉得两种方法都有一定道理，似乎没什么错，可为什么计算出来的安培力的平均力_安大小不一样呢？是不是题目给的数据有问题有问题呢？

以上学生的困惑具有一定的代表性。笔者认为，学生错误的根源是没有真正理解变力的平均力的含义。

二、变力的平均力含义

    在高中物理教学中，常用微分法处理变力。对于线性变化（均匀变化）的变力，由于产生的效果和其平均力的效果一样，为方便理解和计算，常用变力的平均力替代变力。均匀变化的变力通常有两种，一是变力随位移均匀变化，二是随时间均匀变化。一般情况下两者不可能同时均匀变化。相应地，平均力通常也分为两种，一种是力在空间上的积累效果（位移）对这段位移的平均，叫平均功力；一种是力在时间上的积累效果（冲量）对这段时间的平均，叫平均冲力。从空间的积累效果或者时间的积累效果看，均匀变化的变力产生的效果和其平均力的效果一样。

那么，线性变化的变力的平均力等于什么呢？很简单，其平均力就等于初、末值的算术平均值（初、末值和的一半）。 

三、例证平均功力与平均冲力的不同

力在某段时间内的积累效果（冲量）对这段时间的平均与力在某段位移内的积累效果（位移）对这段位移的平均是两种完全不同的平均力，大小不相等，物理意义也不相同。

例证：如图3所示，一轻弹簧的左边固定在光滑的水平面上，质量为的物体将弹性系数为的弹簧沿水平方向压缩，求将物体释放后到弹簧恢复到原长的过程中物体受到的平均功力和平均冲力。

解：

由动能定理：   =

                 =₀

弹簧被压缩所储存的弹性势能 _p==

由机械能守恒得： ²=

                 ₀

取向右为正方向，由动量定理：=  

           得 ：    =      又 =2   

             则     =₀

显然 _{0  0} ，由此不难看出，利用动能定理计算出来的平均功力和利用动量定理计算出来的平均冲力大小是不相等的。因此，我们在计算变力的平均力时首先就要思考是平均功力还是平均冲力，而不能将二者混为一谈。现在回过头来看本文开头叙述的学生在试题中出现的问题和困惑就很容易解决了。试题1中，变力的平均力是相对时间的平均，而不是对位移的平均，所以不能运用动能定理列式，选项错误；试题2中，由于学生没有明确力是对哪个物理量的平均，以为动量定理和动能定理都适用，而结果不一致，于是出现了困惑。

四、对变力的平均力的思考

计算变力的平均力要特别注意表达式中的力是随什么变化，如果表达式中的力是与位移有关而力恰好随位移均匀变化的话，就可以用求平均值的方法将均匀变化的变力转化为相应的平均力；如果表达式中的力是与位移有关而力是随时间均匀变化，或者表达式中的力是与时间有关而力是随位移均匀变化，就不能再用平均力替代变力了。

其实在物理中均匀变化的量（）都可以这样算，但要注意这一变量的因变量（）是什么，再看表达式（）中的和什么有关，如果表达式中与有关（当然是正比或一次函数），就可以这么处理问题。 需要注意的是，动能定理是标量式，应用时不必建立坐标系，而动量定理是矢量式，应用时必须建立坐标系，中学阶段大部分都是一维的，故只要建立直线坐标系即可。

再看例题：如图4所示，平行长直金属导轨水平放置，导轨间距为，一端接有阻值为的电阻；整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为；一根质量为的金属杆置于导轨上，与导轨垂直并接触良好。已知金属杆在导轨上开始运动的初速度为，方向平行于导轨。忽略金属杆与导轨的电阻，不计摩擦。求金属杆运动位移为时的速度表达式。

解：(方法一)

设金属杆运动距离为时的速度为，依题意

安培力为 === ┈┈┈①

动量定理：-

所以有  -=

         -=

得     ┈┈┈②

（方法二）

依题意，安培力为变力，设其平均力为_安1，则

          _安1===== ┈┈┈③

显然，这里的平均力_安1是对时间的平均。

设金属杆运动距离为时的速度为，由动量定理

-_安1= ┈┈┈④

联立③④两式得： 

教学反思：从②式可以看出，∝；从①式可以看出，∝，那么肯定就有∝成立。既然安培力随位移作线性变化，故安培力的平均力

_安2=_初+_末）= ┈┈┈⑤

将②式代入上式得

_安2=   ┈┈┈⑥

显然⑥式是平均力_安2对位移的平均。从本题③⑥两式也可看出_安1对时间的平均不等于_安2对位移的平均。正因为⑥式明确说明了_安2是对位移的平均，所以将⑥式代入动能定理方程来求本例的问题，照样能得到正确的结果,即有:

         -_安2= 

         ()=

小结：对于变力问题，由于现行高中物理教材并没有明确分辨，如果老师平时对此又不注意，那么就必然会出现部分学生对此类问题的困惑。所以，作为教师要善于挖掘教材，把学生不易明白的一类问题讲解透彻。只有学生真正理解、掌握了，遇到同类问题，才不会有畏惧心理，也不会出现对问题的困惑，从而从容作答，取得好成绩。