探讨《圆锥体积》的教育叙事
夏侯小学 孙同林
一、事情的缘由
公开课上，我正在给学生讲解圆锥的体积计算这一课。
师：同学们，今天我做个实验，请大家仔细观察。看，老师手中的圆柱和圆锥有什么关系？
【我将圆柱，圆锥底面重叠，又放在桌面上，示意高一样】
生：好像底面一样大，高也一样。
师：对，这个圆柱与圆锥是等底等高的。
师: 请仔细看，老师倒了几次水？
【 我开始仔细地做演示实验，将圆锥满杯水倒入圆柱杯中，倒完三次后，水柱稳稳的停在圆柱杯杯口。我内心一阵激动。】
师：同学们，看到了吗？ 老师倒了几次？
生：3次。
师：对，倒了3次，这说明圆柱的体积是与其等底等高的圆锥体积的3倍。
【就这样，引出V=1/3SH。让学生齐读后，我随口问了一句。】
师：同学们明白了吗？
生：老师，我有点不明白。为什么刚才倒了3次刚好满了？
师：是因为等底等高的圆锥的体积是圆锥的3倍......
【话还没说完，我就意识到自己犯了“循环论证”的错误。课勉强结束了，后续的作业学生也会做了。但为什么要到到3次却犹如一根刺扎在我的心头。】
二、 课后的思考
我在狼狈和苦闷中结束了这堂课，课后坐下来冷静的思考心里的几个问题。
1.教材为什么要这样安排。
带着这个问题，我认真的揣摩起北师大版《数学》六年级下册第11页的内容。教材以直接引入的方式，抛出研究问题：小麦的体积是多少。围绕问题启发学生进行知识迁移，形成初步猜想：“底面积X高是圆锥体积，那么圆锥体积是与其等底等高圆柱体积的几分之几；再以实验验证的思路，让学生发现两者的确定关系，最终导出v=1/3SH。整个编排，以圆锥体积计算为主线，安排了问题生成、结论假设、实验验证、获得结论四个大环节，力图让学生经历发现问题、联想猜测、观察操作、归纳提炼的思考过程。应该讲，这样编排核心明确、方法科学、操作性强，体现了新课程所倡导的让学生“探究学习”要求。
那么。为什么在课堂上，我按教材进行的教学却经不起学生的一个追问呢？
2.教材这样安排的几点不足。
（1）这样的编排和设计，强化了“1/3”关系，弱化了“等底等高”这个条件。
教材对圆锥体积公式的推导采用了一种“倒推”的思路设计：学生猜测圆锥体积计算是不是也用V=SH后，引导关“SH”计算结果的表示与圆锥等底等高的圆柱的体积。让学生的思维经历着由圆锥想圆柱的倒推过程。但这样的编排和设计，强化了“1/3”关系，弱化了“等底等高”这个条件。
（2）这样的编排和设计，影响了实验及结果的可信度。
在猜测“SH”不能得到圆锥体积后，学生在老师的牵引下发现“sh”表示与圆锥等底等高的圆柱体积，只是论证了体积不能直接由“sh”得出，这是直接结论。“圆锥体积与圆柱体积肯定存在一种确定的倍数关系”，这个判断是不太可能在否定“sh”之后随之产生的。所以，实践教学这个环节中往往是由老师“牵”着学生故意去发现：“你猜猜这时圆锥体积是与其等底等高的圆柱体的几分之几”。在这个过程中，学生缺乏对问题解决的渴求，缺乏对“圆锥和与其等底等高的圆柱体积关系是恒定的”这个前提的感悟，从而降低了两者体积存在倍数关系的可信度。
（3）在探索的过程中，学生始终被动参与，自主体验不足。
很显然，在猜测失败之后，在老师的“牵导”下，学生开始关注圆柱和与其等底等高的圆柱的体积关系，并由老师安排进行实验操作。这期间，学生由于在问题的起点上就是跟着老师走的（猜两者之间的体积关系，学生并没有充分的准备，只是一种“瞎猜”），因此缺乏真想法与真期待，思维兴奋点总落后老师一步。为此，学生在整个学习过程中总感觉不到目标所在，方法何在以及为什么要这么做。这些问题得不到解决，学生的学习过程只能是被动地执行老师的思路，这不利于学生的学习体验的积累与学习思维能力的提升。
三、解决的办法。
经历了上述的剖析，我似乎明白了原因所在：把圆锥体积计算孤立了，忽视了它与圆柱的紧密联系，同时限制了学生的思考。要突破首先要解放学生、开放课堂。因此，我确立如下教学思路。
1、顺藤摸瓜
圆柱体积计算方法是圆锥体积计算方法的基础。教学能否就顺着“圆柱”这跟藤走下去？答案是肯定的。为了让学生更好的体会圆锥体积与圆柱体积的特殊关系，我将教材中呈现“与圆锥等底等高的圆柱”的思路“顺”过来。让学生从圆柱中发现与圆锥等底等高的圆锥的存在，并发现从一个圆柱这削出的与其等底等高的圆锥式唯一的，为探寻他们体积关系的确定性打通思路。所以，我在教学中增加了一个新的环节：圆柱中能画出几类不同的圆锥。通过课前动手操作及画图记录，让“不等底不等高”“等底不等高”“等高不等底”“等底等高”四类情况全面展示，连起圆柱与圆锥的形象关系网，并挖掘出“等底等高是圆锥只有一个”。这为学生深入探索具体关系创造可能，建立思路上的基点。
2、自主学习
由于教材未直接呈现X=1/3SH这个结论。因此我想只有让学生自己经历“建构—解构—再构”的认识过程，才能让学生真正感受到思考的快乐。所以，教学设计时，在形成“与圆柱等底等高的圆锥是唯一的”后，我就开始全开放式教学：安排“与圆柱等底等高的圆锥体积的是圆柱体积的几分之几猜测（初步建立两者的关系）”“同伴质疑（解构）”“实验论证确立关系（再构）”的过程，调动最真实的学习需求，促使学生全心投入观察与思考，最终在一致认同“关系”基础上，由学生自己说出v=1/3sh，让学生自己摘的知识的果实。
四、再次探索
师：将一块圆柱形木料削成圆锥形，你能削出怎样的圆锥形？画出草图，并说出圆锥和圆柱的关系，再根据它们的关系分分类。
学生独立活动后进行汇报交流。
1、圆柱和与其等底等高的圆锥的关系的形成。
（1）圆柱与圆锥关系的探索。
生：第一个圆锥和圆柱是等底等高的。
师：请讲具体点。
生：就是它们的底面积相等，高也相等。
师：这样的关系就是等底等高，那其他几个呢？
生：第二、三个是等底不等高的情况，第四个是既不等底又不等高。
【根据学生的汇报，教师板书：等底等高，等底不等高，不等底不等高。】
师：还有其他情况吗？
生：还有等高不等底的情况。【学生画示意图，如右图。】
师：请同学们观察并思考，每种情况的圆锥体，分别能削出几个。
生：等底不等高、等高不等底、不等高不等底，三种情况都能削出很多个。等底等高只能削出一个。
（2）等底等高情况下，圆柱与圆锥的体积大小关系猜想。
师：看来，除了等底等高的情况，其他情况下的圆锥与圆柱，体积关系不太确定，而等底等高的情况下，只有一个圆锥，看看图，现在你有什么感觉。
生：我看等底等高的圆锥体积是圆柱的一半。
师：真会思考，等底等高的情况是唯一的，他马上产生了一种新思考——他们的体积关系。【板书：圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的二分之一】
【这里学生通过对圆锥与圆柱的梳理，明白了等底等高情况的唯一性，并在自主观察中，生成了第一次结论，实现了对知识的初步建构。】
师：我们为李XX同学的这种眼光鼓鼓掌。我很想听听你判断出你判断出二分之一的想法。说说你是怎样判断的。
生：我看图，应该是二分之一。
师：大家相信吗？说说为什么十二分之一？
生：圆柱中削出一个圆锥，剩下的可以再做一个圆锥，所以十二分之一。
师：噢！这样削去的部分一定就跟圆锥体积一样了。
生：老师，好像不是二分之一，感觉不对，我看剩下的部分比圆锥大。因为，从圆柱中挖出圆锥，还剩一圈，肯定大一些。
生：我也感觉不对，把圆柱倒过来看，剩下的部分，明显要多一些。
师：看来，仅靠观察想象，这种结论是不可靠的。那有办法来验证吗？
生：找等底等高的圆锥和圆柱杯子，装满水，倒一倒。
【这个环节，充分激活了学生的思维，让学生在相互争论及自我反思中，经历了对初步建构的知识的解构过程。】
（3）等底等高的情况下，圆柱与圆锥的体积大小关系的验证
教师演示倒水试验：第一杯水倒入圆柱杯中...
【班里的同学情不自禁地站了起来】
师：看到这里，你想说什么？
生：圆锥体积不是与其等底等高的圆柱体积的二分之一。
师：眼见为实，那会是怎么样的，再看。
【当第三杯是稳稳地填满圆柱水杯时，教室内发出一阵惊叫】
师：现在你有结论了吗？
生：圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的三分之一。
师：确信吗？
生：再另外找几个试试。
【学生显然对这一次试验的结论还不完全信服，所以提出要多试几个的请求】
师：好的。老师还准备了大小不一样的其他几个，我们再试一试。
老师领着学生进行了多次试验，并确定了这种结论。
【通过实验验证，学生目睹了圆锥和与其等底等高的圆柱体积关系的重新形成，实现了对这个知识的再次重新建构】
2、圆锥体积计算方法的形成
师：真想不到等底等高的情况下，圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的三分之一。现在看到这的结论，你又想到什么？
生：只要圆柱体积除以三，就时圆锥体积。
师：谁听明白了，再说一说。
生：要求圆锥体积只要将与其等底等高的圆柱体积除以三就行了。
师：就是说，圆锥体积等于与其等底等高的圆柱体积除以三。用字母表示就是：v=1/3sh。
【在学生面对自己经过再三观察与思考形成的结论，老师及时进行了再次的思维刺激，看到这个结论，你又想到什么，使学生自然而然的说出圆锥体积的计算方法。这个过程看似意外，其实是情理之中的。因为学生经历了自主思考与发现的学习过程，摘得最后的果实也就是水到渠成的事。】
五、探索后的反思
当我将圆锥杯中最后一滴水注入圆柱杯中，学生喊出“圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的三分之一”时，我感到一阵畅快，如释重负。这次课后我特意留心了学生次日的练习，结果全班无一人在计算圆锥体积时遗漏了三分之一。
