有出有入才相通

         ——一《有趣的一笔画》

黄山市屯溪现代实验学校   饶玉芳

     缘起——

和我班学生的相处，到达了比较亲密的地步。于是经常会有学生出脑筋急转弯给我做。例如：“什么时候1+2不等于3？”诸如此类的题目，有时就随口一答，博他们一笑。对于他们居心叵测的歪歪题，许多时候会让他们有难倒我的感觉。“嗨，老师，这个答案你不知道啊？”“老师也不是万能的，也有不懂的时候”。于是，潜心研究歪瓜裂枣的这几个猴哥们，又到处查找他们的歪题怪题了。到春游或秋游活动的时候，他们会将搜刮的题目每人出几道来和大家分享，是游戏也好，是益智也罢。孩子们在这当中得到的快乐，总是多的。这不，前几天就有学生走过来，“老师，我发现数学书上有个“你知道吗？”，我画来画去的，还是没法算出答案。老师，您知道吗？”说完，将问题呈了上来。

问题这回真的不是脑筋急转弯，是六年级下册教材“你知道吗？”中的“七桥问题”。我查阅了教学参考：七桥问题：反映了抽象、推理、模型等数学思想，无需学生理解内在原理，只需了解数学文化，体会数学思想。可是鉴于学生如此强烈的求知欲，我想：假如能在短时间内让他们对这个知识点知其所以然，那又何乐而不为呢？

探究——

为了让学生明白什么是一笔画，我整理了一份课件，想花一节课的时间让学生明白什么情况下能画成一笔画，什么情况下不能画出一笔画。

一、明确什么是一笔画：

一笔画是指从图形的某一点出发，笔不离纸，每条边都只画一次，不重复地画完一个图形。由此可见，不是连通图不能画出一笔画。

二、      连通图是否全部能画成一笔画？

在这里，我让学生学习了两个知识点：1：偶点；2、奇点。一个点如果有偶数条边,它就是偶点。反之,如果一个点有奇数条边,它就是奇点。师：“偶点和奇点与能不能一次通过这座桥有关系吗?别急,咱们先来数数下面图中的偶点和奇点分别是几个。然后画一画，看看能一笔画和奇点偶点有什么关系？”

三、      探索奇偶点和一笔画的关系：

在学会找偶点和奇点的基础上，我给同学们出示了一些图形，帮助他们理清奇偶点和一笔画的关系：在学生自己摸索的过程中，发现了没有奇点的图形全部可以一笔画完。在有奇点的图形中，有的可以一笔画成，有的不能一笔画成。这是什么原因呢？

此时，我请同学们观察一个胡同，如果是死胡同，有进无出，那只能原路返回，必定要走重复路。如果胡同有进口和出口，那就不用原路返回。从胡同的观察中，发现胡同的原理和一笔画原理一样。有进有出的点就可以不走重复路，而偶点全部是有进有出的，从一条路进去，从另一条路出来。这就是同学们在只有的偶点的图形中能一笔画成的原因。

“那为什么有的连通图有奇点的也能画成，有的却不能呢”同学们又思考了起来。“同学们能再观察下是有几个奇点的能画成一笔画吗？”我再一次把问题抛给了同学。大家最终发现，只有两个奇点的连通图形能画出一笔画，其他的都不能画出。原因到底在哪儿呢？

 “我明白了，当其中一个奇点成为入口，虽然它只进不出，但另一个奇点可以作为出口啊。”同学们经过思考后，得出了这样的结论。“这两个奇点配合起来一个作入口，一个作出口也是可以的。”“那路过的点能不能是奇点呢？我又轻轻问道。“我想中间的点必须是偶点，因为你没有到达目的地，经过这点还必须要出来啊。所以中间的点不能是奇点”。

当大家讨论到这里的时候，我的结论也呼之欲出。如果有奇点，奇点只能是两个，一个在起点，一个在终点。

此时，出示PPT,大功告成。

四、      一笔画的研究有用吗？

一笔画的研究对于生活中有用吗？学生说，大概是游戏中用的吧？我出示了准备的几个生活实际应用题。原来，学习了它，对于生活中的用处还挺大的。可谓是数学知识无处不在啊！

再次回到起点，回到数学书上的那个“你知道吗？”原来数学家欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。这是拓扑学的“先声”。围绕在我身边的几个猴哥们，总算找到了答案。“唉，数学的奥妙，还真的无穷尽啊！”小猴哥们如是说。