浅析初中数学求值问题的解题策略
宇标
(安徽省凤阳县实验中学)
摘 要:对于初中生来说,在实际的数学学习过程中,如何找到正确的解题策略显得非常重要,我们必须从数学这一学科所涵盖的内容去分析:从代数到函数,从函数到几何,最后到概率统计等,在众多繁杂的数学模块中概括出较为统一基本题型和相应的解题策略,从而掌握解题方法的重要性不言而喻。
关键词:初中数学 基本题型 求值问题 解题策略 实例分析
引言:在实际的教学过程中,总是会发现许多孩子会问:“老师,数学学习有没有捷径啊!”“老师,我为什么总是搞不会啊!”“老师,上课您讲的我都可以听懂,为什么自己做的时候就不会了呢”......类似这样的问题就太多了,对于学生来说还是想寻求一种解题公式,或者说,学生可以不用费力就能够轻松愉快的将问题解决。那么对于初中数学来说,有没有什么解题公式呢?
答案是否定的,但是,不要灰心,虽然没有固定的解题模式,但是在数学历史上还是有很多出名的数学家在寻求同一解题模式的道路上,给我们留下了值得借鉴的财富。我们先考虑什么是问题?波利亚赋予其十分广泛的意义:问题就“意味着要去找出适当的行动,去达到一个可见而不可及的目的”。那么按所要达到的目的不同,我们对初中数学问题可以做出如下分类以及基本解题模式。
一、问题分类
1.求值的问题。也就是求出问题中的未知量,这个未知量应当满足那些把未知量和已知量联系起来的条件。为了明确起见,可以把未知量、条件和已知量这三者称为求解的问题主要部分。
2.求证明的问题。目的是要确定某一结论是对的还是错的,去证明它,或是去否定它。当我们要证明或否定一个最常见的形式叙述的数学命题时,命题的假设和结论称为问题的主要部分。为了证明所说的命题,我们应该找出主要部分之间即假设和结论之间的逻辑联系,为了否定所说的命题,则应证明假设并不蕴含结论。
3.求作图的问题。对于初中阶段的作图问题来说。抓住作图问题的本质,运用双轨制模式即可解答。
二、求值问题的一般解题模式
对于初中生来说,通过基本的做题归纳出一般的解题思路还是比较有困难的,下面我们就专门针对上面的第一类求值问题,给出比较一般的解题模式。
对于求值的问题,这里我们引入一种解题模式:笛卡尔解题模式。
笛卡尔曾经设想过的所谓的“万能方法”,虽然不是很正确,但是对于我们初中生来说还是很实用的,笛卡尔解题模式:
1.把任何问题转化为数学问题;
2.把任何数学问题转化为代数问题;
3.把任何代数问题化归为解方程的问题。
对于这个解题模式,在某些情况下是不适用的,但仍不失为一个很好的解题的方法,最起码对于我们初中生来说,还是比较实用的,对于该解题模式,我们作如下的概括:
(1)要在很好地理解问题的基础上,把问题归结为确定若干个未知的量。
(2)用最自然的方式通盘考虑一下问题,设想它已经解出来了,把已知量和未知量之间依据条件所必须成立的一切关系式都列出来。
(3)列出一部分条件,使得你能用两种不同的方式表示同一量,这样就可以得出一个联系未知量的方程式。这样下去,最后就把条件分成若干个部分,从而得出方程式与未知量个数相等的一个方程组。
很容易看出,这一模式是指通过“列方程、解方程”去解决问题,列方程的关键就在于应当清楚的认识到“一个方程就是用两种不同的方式去表示同一个量”。另外,在有多个未知量的情况下,我们应该认识到:一个方程表示了一部分条件。
笛卡尔提到的最关键的办法就是解方程。这是解决数学问题带有指导意义的方法。总的来说,就是将要求解问题转化为方程的问题,然后运用方程解决。“铸题成模,以模解题”。
也就是说:求值的问题,也就可以化归成解方程的问题,所解方程的表现形式主要有以下三种:
(1)f(x)=0;直接解方程。
(2)f(m,x)=0;找到m,x的关系,消去m。
(3)f(m,n,x)=0;找到m,x和n,x的关系,消去m,n。
而建立方程的关键就是找等量关系(也就是上面的f),等量关系主要从以下三方面入手:①各分量之和等于总量;②等量=等量;③递推关系。
三、求值问题的实例分析
下面我们举几例子来认识这三种基本等量关系在实际解题过程的应用。
A、各分量之和等于总量
例1:食品安全是关乎民生的问题,在食品中添加过量的添加剂对人体有害,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输,某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂,A饮料每瓶需加该添加剂2克,B饮料每瓶需加该添加剂3克,已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮 料共100瓶,问A、B两种饮料各生产了多少瓶?
分析:从三个问题进行解读题目,第1个:对谁运算?对A,B两种饮料的数量进行运算,第2个:运算法则,这里也就是等量关系,此处有两个,都为各分量之和等于总量,ⅰ.A饮料与B饮料添加剂之和等于总添加剂;ⅱ.A饮料数量与B饮料数量之和等于总数量。第3个问题:运算结果,此处即为添加剂总量和饮料数量之和。此题可作如下解答:
设A饮料x瓶,B饮料y瓶。
解得:
答:A饮料各生产了30瓶,B饮料生产了70瓶。
B、等量=等量
例2:已知A、C两地相距40千米,B、C两地相距50千米,甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米,则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是( )
B. C. D.
分析:从三个问题进行解读题目,第1个:对谁运算?对乙车的速度进行运算,第2个:运算法则,这里也就是路程/速度=时间,第3个问题:运算结果,此处即为甲乙两车所用时间。此题可作如下解答:
等量关系:甲车时间=乙车时间,即。
C、递推关系
例3:某县大力推进义务教育均衡发展,加强学校标准化建设,计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造,2015年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2019年投资亿元人民币,那么每年投资的增长率为( )
A. 20% B. 40% C. ﹣220% D. 30%
分析:从三个问题进行解读题目,第1个:对谁运算?对每年投资的增长率进行运算,第2个:运算法则,这里也就是对于增长率的递进认识;第3个问题:运算结果,此处即为2016年的投资。关于递推认识,我们使用换元的办法,进行化归来理解的。
此时可列方程:5(1+x)2=,具体解答省略。
初中阶段所要考虑的建立等量关系的知识点,在几何问题上主要体现为:①勾股定理(三边关系);②相似(四边关系);③全等(两边关系,两角关系);④锐角三角函数(边角关系);⑤内角和定理(角角关系),这个地方主要是针对几何问题的代数化来进行思考。
总之,方程思想对我们初中阶段来说,一个很重要的思想,是学好数学的重中之重,那问题出现了,函数呢?其实函数也可以理解为方程,比如一次函数,其实也可以看成是二元一次方程,二次函数可以看成是二元二次方程,相关的内容我们可以通过数形结合的认识,运用化归将其抽象的式转化成具体的形,进而其转化成几何问题进行解决。
数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次,它来源于数学基础知识及常用的数学方法,在运用数学基础知识及方法处理数学问题时,具有指导性的地位。
总之,对于求值问题的基本模型的分析,相对于初中生来说还是很适用的,使他们逐步掌握初中数学的基本题型和解题思维的重要性,对于当前形势下初中生的数学学习还是非常切合实际的,参悟其中所渗透的数学思想,对于初学学生来说具有非常重要的指导意义的。
参考文献:
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