把握概念,灵活解题
一元二次方程的概念是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2叫做二次项,bx叫做一次项,c叫做常数项,a是二次项系数,b是一次项系数.
深入把握这个概念,就可以熟练地解决下列问题.
一、辨一元二次方程
例1
判断下列方程哪些是一元二次方程?
= 1 \* GB3 ①x3-x2-5=0, = 2 \* GB3 ②, = 3 \* GB3 ③x2=1, = 4 \* GB3 ④ax2+bx+c=0, = 5 \* GB3 ⑤ (a2+1)x2-ax+5=0, = 6 \* GB3 ⑥x2-2xy+y2=1, = 7 \* GB3 ⑦x(x-1)=x2-2, = 8 \* GB3 ⑧x2=x.
分析:一个一元二次方程要具备以下三个条件: = 1 \* GB2 ⑴一个整式方程经整理(去分母、去括号,移项,合并同类项); = 2 \* GB2 ⑵只含有一个未知数; = 3 \* GB2 ⑶并且未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足,缺一不可.任何一个一元二次方程不可缺少二次项,但可缺少一次项和常数项.
解: = 1 \* GB3 ①中x的最高次数是3; = 2 \* GB3 ②中分母中含有字母,是分式方程; = 4 \* GB3 ④中二次项系数a不能确定是否为0; = 5 \* GB3 ⑤中的二次项系数(a2+1)不可能为0; = 6 \* GB3 ⑥含有两个未知数x、y; = 7 \* GB3 ⑦中去括号、移项、合并同类项后是一元一次方程,所以是一元二次方程的是 = 3 \* GB3 ③、 = 5 \* GB3 ⑤和 = 8 \* GB3 ⑧.
二、找项和系数
例2
求出一元二次方程(1-2x)(x+4)=2x2+3中的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数.
分析:整理方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式,通常将二次项化为正,找项和系数时一定要包括它前面的符号,当一元二次方程的一般形式中有缺项时,它们的系数为0.
解: 去括号得, x+4-2x2-8x=2x2+3
移项得,
-2x2-2x2+x-8x+4-3=0
合并同类项得, -4x2-7x+1=0
即4x2+7x-1=0
所以二次项为4x2,一次项为7x,常数项为-1,二次项系数为4,一次项系数为7.
三、用一元二次方程
例3
若关于x的方程是一元二次方程,求m的值.
分析:本类题要紧扣一元二次方程中的“未知数的最高次数是2”构造方程,同时一定要注意一元二次方程的二次项系数不能为0这个隐含条件.
解:根据题意得,m2-2=2,即m2=4 解得,m=±2
因为m-2≠0,即m≠2
所以m=-2
试一试:
1.下列方程中的一元二次方程是( )
A.3(x+1)2=2(x-1) B.
C. ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x-1)
2.若关于x的方程是一元二次方程,则m= .
3.指出一元二次方程2x2+3x=1-x(x-3)中的二次项、一次项系数和常数项.
参考答案:
1.
A
2.
m=1
3.
整理方程得3x2-1=0,所以二次项是3x2、一次项系数是0,常数项是-1
张运龙 :(2020-04-28 10:46)
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