“三新”背景下高三数学二轮复习策略

——以“椭圆的定义及其应用”为例

芜湖县第一中学 李文强 241100

摘要：随着高考改革的步伐，新教材、新课标、新高考已走进大众视野.面对此“三新”，无论是学生还是老师都将面临巨大的挑战.《普通高中数学课程标准（2017）版》中强调了“四基四能”、“核心素养”、“立德树人”等基本理念，这就要求教师的教学方式和学生的学习方式必须要做一些调整，才能达到改革的目的和要求，才能适应高考选拔人才的需要.下面，基于个人理解，笔者以“椭圆的定义及其应用”为例，谈谈如何在“三新”背景下进行高三数学复习.

关键词：高三数学；二轮复习；椭圆定义

1.基本情况

（1）学情分析

本节课的授课班级是安徽省的一所县城的省示范高中文科重点班，虽是重点班，但学生之间的差距非常大.文科生学习数学的普遍特点是：依赖性强、怕思考、基础弱、信心不足等.经过一轮复习之后，学生对椭圆的基本概念已经了解，但是还没达到灵活应用的层次.在面对具体问题情境时，还不能快速识别出问题考查的角度，因此系统的将椭圆的定义进行整理和挖掘很有必要.

（2）内容分析

关于椭圆的几种定义，新教材中是以不同形式给出的，有的是以例题形式、有的是以习题形式，当然有直接定义的.这些不同形式的定义在平时的模考和高考中都有所体现，得到了命题者的高度青睐.本节课以“回归教材—真题再现—感悟提升”为思路设计教学.

2.教学过程设计

2.1 回归教材

例1 题组小练

（1）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程．（P115习题3.1第1题）

 评注：解决本题的策略主要有两个：一是直接化简代数式直至最简形式（该过程计算量很大），然后把代数式“翻译”成几何图形；二是直接“翻译”代数式，容易发现等式的几何意义是点到两个定点和的距离之和等于定值10（大于两个定点之间的距离），这不就是椭圆的定义!

（2）如下左图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？（P108例2）

  评注：该例题揭示了椭圆和圆的关系，椭圆可以看做是由圆通过“压扁”得到的.可以通过“相关点法”即寻找M点和P点的关系求出轨迹方程.这里的M点若是中点、3等分点、4等分点等也可以得到对应的椭圆方程.

（3）如上右图，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程．（P108例3）

评注：通过求解可以发现M点的轨迹是椭圆去掉A、B两个点.其实，这里具有一般性即“平面内到两个定点的斜率乘积是定值点的集合是椭圆”（注：该乘积的取值范围要求是）.在很多资料里，把这一条作为椭圆的第三定义，并且若椭圆方程是，则斜率乘积是.不仅椭圆有这样的性质，双曲线也有，在双曲线中，斜率乘积是.

（4）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹．（P113例6）

 评注：在老教材里，把椭圆的这一定义称作椭圆的第二定义，也是圆锥曲线的统一定义即“平面内到定点的距离与到定直线的距离之比是定值（）点的集合是圆锥曲线”.当时，轨迹是椭圆；当时，轨迹是抛物线；当时，轨迹是双曲线.这里的定点是焦点，定直线是准线，比值是离心率.该定义完美统一了三种曲线的定义，将数学的和谐统一展现的淋漓尽致.

（5）如下图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（P115习题3.1第6题）

评注：实际教学中，该问题情境多次出现在各种考试中，每次出现时，错误率都很高.究其本质原因是很多同学“忘记”了椭圆的定义，不能识别出.

设计意图：以上5个小题均选自人教A（2019）版选择性必修第一册中的例题和习题.其中第（1）题和第（5）题从不同角度考查了椭圆的定义，培养了学生逻辑推理、几何直观等数学素养.第（3）题和第（4）题是椭圆的其他定义形式，揭示了椭圆定义的丰富性.椭圆的定义本质是“数”与“形”的一体两面，是“数缺形时难直观，形缺数时难入微”完美素材，值得细细品味.例1的5个小题难度不大，只是对椭圆定义的基础应用，主要是帮助学生巩固理解椭圆的基本概念.

2.2 真题回顾

例2（1）（2016·全国乙卷·理科20）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）（略）                                             

 评注：本题本质上还是考查椭圆的第一定义，教学时教师可借助几何画板或Geogebra动态演示E点轨迹如右图，有助于进一步培养学生的直观想象素养.解决本题的关键是证明，再根据椭圆的定义写出椭圆方程，考查学生在几何背景下分析问题，识别模型的能力，与上面第（5）小题的考查方式如出一辙.

（2）（2022·全国甲卷·理科10）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）

A．        B．        C．       D．

解法1：设而不求

如图设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.

解法2：第三定义

设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：，故，

由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.对比发现，方法二比方法一计算量小很多，而方法二主要是借助椭圆的第三定义来求解.

设计意图：高三复习主要围绕高考展开的，通过高考真题让学生明白高考考什么、怎么考、考到什么程度等.通过例2，我们发现有些高考题考查内容直接来源于教材，甚至有些题目就是教材例题或习题的变式.所以，通过例2也能够让学生引起对教材的重视.除了以上两个题目考查椭圆的定义以外，还有下面一些年份的真题直接或间接考查了相关内容，统计如下：

3.感悟与思考

3.1 新课程标准为高考复习提供教学依据

在课程标准的“学业要求”中提到：“能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.”^[1] 从2020年高考开始，高考取消了考试大纲，高考到底如何考，只有在新课程标准中寻找答案了.在解析几何教学中要重视数与形的相互转化，如“用代数语言把几何问题转化为代数问题”.每年的高考解析几何大题中考查的定点、定值问题；面积问题；线段长度问题等，常常是用“代数语言”—设点坐标表示相关几何元素，用“设而不求”思想来解决问题.另一方面，在求解高考解析几何小题时，又常常需要“根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路”，运用平面几何的相关知识求解，往往可以收到奇效.如上述例2的第（2）小题，根据方法一的“代数法”可以求解，但是计算量很大，而根据方法二若能够发现，再根据椭圆的第三定义就能够实现“秒杀”.再比如《2023届芜湖市高三第一次质量检测》填空题的第15题：已知双曲线：的左、右焦点为，，为双曲线渐近线上一点．满足，且直线，的斜率之和为，则双曲线的离心率为______.

分析：如图不妨令，则，由得，所以，求得，故所以离心率.由此可以看出，借助平面几何图形的位置关系由“图”出发寻找解题思路通常可以达到“多想一点，少算一点”的境界.

3.2 新教材为高考复习提供“源头活水”

3.2.1 借助教材构建知识网络，深刻理解概念、公式、定理

李邦河院士就说过：“数学是玩概念的”.只有真正理解概念，才有尝试去应用知识解决问题的可能.如果连概念的含义、公式中字母之间的关系等都不清楚，解题就无从谈起.比如《2023年2月份教育部组织的四省联考》第11题：质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（     ）

A． B． C． D．

这道题本身难度并不大，但是得分率并不高，我所带的班级均分只有1.7分，两个班级得5分的同学只有5人.本质上这道题就是考查三角函数的定义、诱导公式及三角函数的周期性.考后跟很多同学交流，有些同学是对三角函数的定义不清，有些同学是没能找到P点和Q点的关系.因此，理解概念、公式、定理非常重要.另外，在二轮复习要引导学生构建知识网络，整合知识点，总结题型.作为教师，可帮助学生做一些微专题的复习.比如在椭圆中，可进行如图所示的微专题复习：

3.2.2 注重新教材中的例题和习题

从每年的高考题中不难发现，很多高考题都直接或间接的与教材例题、习题有关.如2022全国甲卷理科第10题（前面已详谈，这里不在赘述），再比如《2023年高考数学全国甲卷理科》20题：直线与抛物线交于，两点，且．

（1）求的值；

（2）为的焦点，、为抛物线上两点且，求面积的最小值．

与人教A（2007版）选修4-4第15页习题1.3第6题:已知椭圆的中心为，长轴、短轴的长分别为，，，分别为椭圆上的两点，且.

   （1）略

   （2）求面积的最大值和最小值.

这道题虽然与高考题“长得”不一样，但是考查的内容和方式基本相同.这就要求教师能够恰当合理的使用教材例题和习题.在使用教材原题的同时，一方面要将教材原题进行改编；另一方面要将教材例题进行推广和总结.如椭圆的第三定义的推广：若A，B是椭圆上关于原点对称的任意两点，P是椭圆上不同于A，B的任意一点，则有.还有一些总结：①椭圆的离心率；②第三定义中：；③“垂径定理”：若直线（斜率存在且不为0）与椭圆交于A，B两点，A，B的中点为M，O是坐标原点，则有（点差法可证）.可以发现这三个结论都与有关，这是多么和谐统一啊！其实，在双曲线中也有类似的结论.教学中，教师要引导学生解完题目后做总结，培养学生深度思考的习惯，从而实现快速解题的目标.如《2023年3月7日举行的江南十校联考》的第15题：已知直线与椭圆交于两点，线段的中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴与点，则椭圆的离心率是________.

解析：设，则，因为，所以.由椭圆的“垂径定理”即.

3.2.3 关注新教材中新增的概念

在人教A（2019）版新教材中主要增加了以下新的概念（见表格）.很多复习资料还是以老教材的内容来编写的，所以教师要注意新增概念的教学.

3.3 新高考为高考复习提供教学方向

研究近几年高考真题会发现高考题在“悄悄地”发生一些变化，主要呈现以下特点：

3.3.1发挥学科特色，彰显教育功能.

高考试题通过引入与我国科技发展、经济发展、环境治理和传统优秀数学文化相关内容，引导考生关注我国科技、经济进步与发展，感受中华传统优秀文化，增强民族自豪感与自信心，增强理想信念、国家认同和爱国情怀.如2022年新高考Ⅰ卷的第4题“南水北调工程”问题；2023年全国新高考Ⅰ卷的第10题“噪声污染”问题等.

3.3.2坚持开放创新，考查关键能力

《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，稳步推进中高考改革，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象.^[2]如2022年新高考Ⅰ卷的第10题“三次函数的性质”问题；2023年新高考Ⅱ卷的第15题“直线与圆位置关系求参数”问题等.

3.3.3倡导理论联系实际，学以致用

高考试题以实际背景出题，引导考生有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的联系，体会数学的应用价值.学习用数学模型解决实际问题，认识数学模型在科学、科技发展、社会、工程技术诸多领域的作用，考查了考生的实践应用知识和创新意识.如2022年新高考Ⅰ卷的第20题“患病与卫生习惯”问题；2022年新高考Ⅱ卷的第19题“患某种疾病的年龄统计”问题；2023年新高考Ⅱ卷第19题“误诊率和漏诊率”问题等.

3.3.4增加新题型

随着新教材的广泛使用，“破定势，考真功”的命题理念越来越受到重视，《中国高考评价体系》指出命制结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题，增强试题的开放性和探究性，引导学生打破常规进行独立思考和判断.提出解决问题的方案,如多选题、一题双空题、开放型、结构不良型解答题在新高考中的纷纷亮相.^[3]

3.3.5增加复杂情境问题

随着各个省份不断加入新高考，高考数学考试形式也进行了改革，文理数学不分科，试卷增加多选题.在教育部2023年2月23日—2月24日举行的“四省联考”适应性考试.从数学试题来看增加了一些复杂情境问题，如第16题的“矩阵开关”问题；第22题的“椭圆函数”问题2023年新高考Ⅱ卷的第12题“信号传输”问题等.很多考生反映“题目都看不懂，更谈不上解题”了.因此，在后续的复习教学中，教师要有意识的培养学生面对复杂情境解决问题的能力.

参考文献：

[1] 《普通高中数学课程标准（2017年版）》   中华人民共和国教育部制定 2018.1

[2] 《深化新时代教育评价改革总体方案》      中华人民共和国教育部 2020.10

[3] 《中国高考评价体系》                    中华人民共和国教育部 2020.1