- 首页
- 教学资源
- 课后总结
- 教学研讨
- 备课资源
平面几何入门难的成因及教学对策对策
作者:杜莉 发表时间:2020年12月03日 浏览量:3 分享到空间
摘要:平面几何入门教学是引导初一新生适应初中平面几何学习的重要一环,本文在多年教学实践基础上,就入门难的成因、化解对策做出了阶段性的总结。
关键词:平面几何入门难 教学 成因分析 化解对策
初中生学习平面几何,由于研究对象从数转到形,研究方法也从以运算为主转到以推理为主,再加上新概念的大量集中出现,无论在知识的学习,技能和能力的形成,还是在学习方法和学习习惯等方面,都存在着不适应的状况。 而义务教育阶段《数学课程标准》在教学内容的安排上,变化最大的是几何教学提前,更为几何入门教学增添了难度。本文结合教学实践就平面集几何入门难的成因及对策谈点体会,敬请老师和同行斧正。
一、平面几何入门难的成因分析
1.概念较多,且安排相对集中,使学生一时难以准确记忆。教材一开头第一章就有20多个概念。在学习概念时,学生往往抓不住概念的本质属性,不习惯对概念的严格叙述,有的学生不重视概念学习,或认为概念容易懂,不肯花工夫,结果造成对基本概念的理解似懂非懂,一知半解。有的学生则认为学习概念单调乏味,缺少变化,而放松了这种基本功的训练,结果导致在解题中漏洞百出,这样的学习,其实是本末倒置,犹如无源之水,会直接影响到教学效果和各种能力的培养。
2.研究对象从“数”转到“形”,使学生一时难以适应。[1]过去学生学习代数,研究对象是数,对于数的理解、运算、变换,从小学一年级甚至学前时期就开始接触了,而进入平面几何学习,研究对象以“形”为主了。刚开始,学生画图、识图能力都很差,他们不能正确领会作图命题的意义,不会根据要求作出图形;在做证明题时,他们不会把题设和结论与图形特点对照结合起来思考,不会根据图形特征抽象出其性质,即缺乏借助几何直观的抽象思维。因此,有些学生在学习几何一开始就感到不适应,觉得图形错综复杂,变化无穷,学习难度大,甚至失去学习的信心。
3.学习方法从“运算”转到“推证”,使学生一时难以转化和过度。中学数学教学的一个重要任务是培养学生的逻辑思维能力,而逻辑思维能力的培养只有通过推理论证的训练来进行,它是学习几何成败的关键。几何入门教学时,学生对于如何推理、论证一无所知,就连最简单的“三段论”都觉得新鲜,所以一开始,学生对逻辑推理,对由因导果的综合法,执果索因的分析法及一般书写格式等接受起来都很困难。
4.几何定义、定理、公理措词严谨、抽象,使学生一时难于正确表达和理解。小学对有关几何概念的表述不太确切,甚至比较模糊。如小学里三角形的定义表述为“有三条线段围成的图形,这样的图形叫三角形”。“围成”不能确切表示“首尾连结”,因为交叉、重叠也能围成。初中则表述为“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫三角形”。“不在同
一直线上”与“首尾顺次连结”都突出了三角形定义的本质属性。
小学学习的几何是实验几何,所以小学几何中的性质、定理是通过实验得到的。如三角形内角和定理就是通过剪一剪、拼一拼得出的结论。同样,等腰三角形的两底角相等的结论也是
通过折一折得出的结论。而初中几何是论证几何,对几何性质、定理必须给出严密的论证.。
5.几何中的“性质定理”与“判定定理”容易混淆,应用时“张冠李戴”,使学生一时难以把握。“性质定理”的题设是“判定定理”的结论,而“判定定理”的题设是“性质定理”的结论,逻辑顺序正好是相反的,它们互为逆命题。对初学几何的学生来说,由于还没有学过命题的概念和命题的组成,不容易分清什么是“判定”, 什么是“性质”,应用中容易搞混、出错。
二、平面几何入门难的教学对策
根据以上分析,平面几何入门教学必须突出重点,切实作好以下八方面的工作:
1.培养兴趣,激发学生学习几何的欲望。[2]兴趣是最好的老师,平面几何是小学数学知识的延续,初中生初学几何,要引导学生复习、回忆小学学习过的几何图形,用以激发学生探究知识的欲望。可以结合教材的插图,讲述一点几何的起源和发展史,特别是我国古代数学家对几何所做的巨大贡献,由此激发学生的民族自豪感、爱国情和刻苦学好几何的自信心;可以结合机械与高楼实物来介绍几何研究的对象,使学生感知几何知识无处不在,无处不用,从而发掘学生学习几何的积极性和主动性,激发学生学习几何的欲望。
2.使学生正确牢固地掌握概念。义务教育阶段《数学课程标准》明确指出:“正确理解概念是掌握数学基础的前提。”实践也证明,正确理解概念是学好图形性质的基础,是推理论证的依据,如果概念不清,那么思维必然混乱,也一定会导致出现各种错误。为此,学生初学平面几何时,教师应从以下五方面入手:
(1)直观、形象地建立概念。启发学生给概念下定义,如角的概念。可先让学生观察教室里的各种各样的角,并由教师在黑板上画出,然后指出:尽管各个角的大小不同,位置各异,但它们都有一个共同的特征,即“两射线合一个公共端点”。这个特点尽量引导学生自己得出,并启发学生给角下定义,最后教师给出角的准确定义。接着还让学生根据要求动手画几个角。
(2)揭示概念本质属性。要抓住概念的要点、关键及区别其他事物的本质特征,注意归纳,对易混概念加以对比、分析。 如点到直线的距离是指由直线外一点向直线作垂线,这点到垂足间的垂线段的长度,教学时要突出“垂线段”的本质,学生容易与两点间距离搞混;又如角平分线是一条射线,而三角形内角平分线是一条线段,应让学生比较、区别。 另外,如直角与互相垂直、直线与平角、射线与周角、垂线与高、对边与对应边、命题与定理等易混概念,都应指导学生理解清楚。
(3)举反例,帮助学生理解和巩固概念。如讲对顶角概
念后问学生图1中,∠1与∠2是否是对顶角,并说明理由。
(4)抓要点、促深化。揭示概念的内涵不仅由概念的定义
完成,还常常由定义所推演的一些定理、公式得到进一步的揭
示。如以直线定义为基础,得出射线、线段,可使学生清楚的看到概念是学习其他知识的依据。反过来又会使直线的内涵得到深入揭示,加深对概念的理解,增强运用概念进行推理判断的思维能力。教学中应有意识地启发学生提高认识,引导学生从概念出发,逐步展开对它所反映的数学模型作深入的研究,以求更深刻地认识客观规律。
(5)把概念串起来,融会贯通。数学中概念有些是相互联系、相互影响的,我们在教完一单
或一章后,要善于引导学生把有关概念串起来,充分揭示出他们之间的内在联系,从而使学生
对所学概念有个全面、系统的理解。例如:在讲完相交线与平行线这一章后,我们可以这样串一下概念。平面中的两条直线位置有平行与不平行两种,平行就有平行公理及平行线的性质定理和判定定理;如果不平行就一定相交,从而引出“三线八角”,其中有公共顶点的两角关系有邻补角(两直线相交的特殊情况——垂直)、对顶角(对顶角性质),无公共顶点的两角关系有同位角、内错角、同旁内角。这样串连后就会使学生所学的知识得到进一步巩固和提高。
3.重视培养学生的识图能力。图形是思维的“臂膀”,如果缺乏画图、识图能力要进行几何推理就更困难了。在平面几何入门教学时,必须加强画图、识图(特别是识图)的训练,培养学生仔细观察、分析图形的能力。因此,教学时应注意以下两点:
(1)要教会学生分解图形,看清图形结构和相互联系。如图2中求线段的条数,要让学生明白,因为一条线段有两个端点,若以A为线段一个端点,则另一个端点可以是C、D、E及B,即线段AC、AD、AE、AB,这样以A为端点的线段数完了,以C为一端点的线段CD、CE、CB,至于CA就不必数了,以D为一个端点的线段有DE、DB,以E为一个端点的线段只有
EB,故在此图中有10条线段。
(2)学生在做证明题时,要求尽量地把已知条件和求证目标在图上标出,以便集中注意力,分析图形结构特征,找出因果关系,这样做特别对那些基础差的学生往往很有用。基础差的学生往往记不清,一旦看图思考,就分不清哪是已知,哪是求证目标。如图3中表示AB=AC,AD是∠BAC的平分线,D是BC中点,AD⊥BC。
4.让学生熟练地掌握几何符号语言的表述。在几何学习中,无论是概念,还是定理,都要用正确的几何语言表述,几何语言可分为文字语言和符号语言两类。文字语言主要是术语和关键词,如“直线”、“角”等术语,“都”、“是”等关键词;符号语言是用符号来表示文字意义的,例如“∠”、“∥”、“⊥”等就是符号语言。
几何中的定义、定理、公理都是进行论证的依据,证明中要会将这些语言结合图形翻译成符号语言。例如平行公理:“同位角相等,两直线平行。”结合图形,如图4译成符号语言为:“∵∠1=∠2,∴AB∥CD。”
再如有些定义可作性质用,又可作判断用,可用符号语言表述:∠1、∠2互为余角∠1+∠2=900。而定理“如果两直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行。”可用符号语言表述:如图5,
5.注意培养学生的推理论证能力。[3]学生初学平面几何,让他们知道平面几何习题一般分
三类:证明题、计算题(与论证相结合)、作图题,而证明最为重要,因为它是计算、作图的依据。
几何推理通常采用三段论的形式,三段论是有大前提、小前提和结论三部分组成。如图4,∵∠1=∠2(已知),∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行) 。这里“同位角相等,两直线平行”是公理。象这种把定理、公理或定义作为推理的论据称为大前提;“∠1=∠2”是本题中一组相等的同位角,像这种与题设部分有联系的具体对象叫做小前提;“AB//CD”是由两个前提得出的结论。这种由大前提、小前提推出结论的推理方式称为三段论。
培养学生的推理能力,应从简单的题目开始,通过例题、定理的证明,逐步让学生掌握推证方法,复杂的证明实际上是由若干个简单证明组合而成的,所以一开始不要忽略对简单证明题的训练。
由于学生初学几何,对证明的必要性认识不足,对证明格式和论证的严密性很不习惯,所以,一开始做证明题要重视规范化训练,使证明过程表达条理化。
如证明三角形全等的书写格式是:
在△×××和△×××中
∵--------=--------( )
--------=--------( )
--------=--------( )
∴△×××≌△×××( )
这里要求把两个三角形对应顶点字母写在对应位置上,等号左边写前面一个三角形的边和角,右边写后面一个三角形的边和角。
在推理过程的叙述中,要分三步写:①讲原因,以“∵”开头,写出小前提;②讲结论,以“∴”开头,写出结果;③讲清依据,把大前提写在结果后的括号内(见上例)。
6.要强化对概念、定理的记忆。 前面谈到,几何不同于代数,概念、定理特别多,这些是几何学科建立的理论基础,也是思维、判断、推理的依据,必须加强记忆。笔者认为,教会学生记忆可以着重抓下面两点:
(1)理解记忆,结合图形记忆。概念、定理的记忆一定要在理解的基础上开始,又可结合图形形象地记。教师讲课的艺术性、形象性、趣味性都能创设引人入胜的情景,使学生情绪兴奋,理解力、记忆力得到最大程度的发挥。如学生会使用量角器,马上能用实验法去发现三角形的内角和等于1800。为使命题更被确信,可让每个学生都用纸片剪下一个三角形,再撕下两个角与另一个角拼在一起进行验证(图6),两次形象实验,一个重要发现,学生也从中体验到成功的乐趣.。这样学生肯定印象深刻,思维活跃,从而为推理论证打下基础,也使学生牢牢记住了三角形内角和定理。
(2)系统地记。在教学过程中,教师要突出重点,然后每学习一个阶段进行系统归纳。把知识点系统化整理,形成知识网络.。平面几何的知识点主要就是概念、定理,可以把概念、定理编号归类。如平行线性质定理3条,三角形全等判定定理5条等。
7.根据学生年龄特点,注重形象化教学。平面几何理论有严密的逻辑性和高度的抽象性,教学对象——初中生又处在由形象思维向抽象思维转化的年龄段,教学难度大。然而“直观性保证具体的东西和抽象的东西之间的联系,保证从生动直观向抽象思维的转变,因而成为思维的支柱”。直观性在数学教学中尤其重要,通过多年实践感到利用直观的教具和学具进行形象化教学,是在平面几何教学中推进素质教育的好途径,它不但能有效地激发学生的浓厚的学习
兴趣,创设良好的学习情境,而且能自然地引导学生动手、动口、动脑,培养操作和创造能力,收到预想不到的效果。如,教学“三角形三边关系时”,可先让每位学生都拿三根任意长的细木棒,顺次把木棒两端连结,看可否摆成三角形,这时课堂上出现两种情况:(1)能摆成三角形;(2)不能摆成三角形。为什么?再要求学生去量各种不同的三角形的三边长,启发他们从中发现规律。 最后用结论去检查摆不成三角形的三边。让学生自己发现这个性质,再用课本中的理论加以论证,这时学生对三角形三边关系定理不但理解深刻,而且有了实物为“栓锚”,记得牢固,同时又饱偿“发现”的乐趣。 又如教学“边角边公理”时,可让学生剪六对三角形:(1)一边对应相等;(2)一角对应相等;(3)两边对应相等;(4)两角对应相等;(5)一边一角对应相等;(6)边角边对应相等。分别进行重叠实验,(1)—(5)被否定,而(6)能完全重合,从而得出“边角边公理”。
8.利用多媒体技术,强化几何课教学。在平面几何教学中,运用多媒体技术,可使抽象的概念具体化、形象化。特别是它能进行动态演示,祢补了传统教学方式在直觉感、立体感和动感等方面的不足。
(1)运用多媒体技术,激发学习兴趣.。兴趣是人类获取知识与形成技能的前提。教师可根据教学内容,应用信息技术,创设新奇的学习环境,去激发与调动学生的学习积极性,将多媒体技术引进课堂,集图、声、色、文于一体,同时作用于学生大脑,易形成鲜明表象,对激发兴趣,激活思维,提高学生学习的主动性、探究性,发展创新思维能力大有帮助。
(2)运用多媒体技术,突出概念的形成过程。 数学知识是抽象的,只有化抽象为具体,才能引导学生通过分析、比较、归纳、概括等方法发现规律,促进学生对知识的正向迁移。对于平面几何,教师感到难教,学生感到难学。 原因就在于学生的抽象思维能力弱,空间观念难以建立。利用多媒体技术能把他们变的具体化、直观化,使学生易于理解掌握。如“角(直角、平角)”的概念,若利用几何画板平台将一射线绕着端点旋转(900、1800),把整个运动过程用不同的颜色保留下来,一个清晰的“角(直角、平角)”的图形就跃然于“屏幕”上,不仅省去了教师诸多的口舌和比画动作,而且学生在啧啧的赞叹声中理解起来更轻松自如,“角(直角、平角)”的概念就这样在学生头脑中深深形成了。
(3)运用多媒体技术,提高教学效率。“向课堂四十五分钟要质量”、“提高单位时间的效率”是素质教育向教师提出的新的具体要求。为了切实减轻学生负担,提高教学效率,我们在精心备课、精心选习题、精讲多练的同时,利用多媒体技术,制作出一系列课件,使学生多种感官并用,学习积极性、自主性和合作性增强,为教学的创新和发现学习提供了条件,同时也对高密度、高效率理解知识提供了可能。