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微积分学中的换元法
作者:刘明 发表时间:2016年02月28日 浏览量:41 分享到空间
一、引言
换元法在数学分析中有着广泛的应用,进行适当的换元往往能使一些数学问题迎刃而解,本课题旨在研讨换元法在一元函数微积分(包括定积分和不定积分)以及多元函数微积分(二重积分和三重积分)中的应用技巧并通过具体实例展现给读者。
二、一元函数微积分中换元法的应用
(一)不定积分中的换元法
1、第一类换元积分法(凑微分法)
问题 求.
解 被积函数是复合函数,不能直接套用公式,我们可以把原积分作下列变形后计算:
定理1 设是的一个原函数,且可导,则
凑微分法的基本思路:与基本积分公式相比较,将不同的部分---中间变量和积分变量---变成相同
步骤:凑微分;换元求出积分;回代原变量
例 求.
解法1 ;
解法2 ;
解法3 .
例 求.
解法1
解法2
2、第二类换元积分法
问题
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令
(应用“凑微分”即可求出结果)
定理2 设不定积分 ,作变量替换,其中是单调可导函数,且具有原函数,则有换元公式
,
其中是的反函数.
可见第二类换元积分法中最关键的一步也是找换元函数.怎样选择才能使积分化难为易,却是一个很灵活而又很不好掌握的问题。经过多年的探索,我发现第二类换元积分法也并非无规律可循,它也存在一定的规律性。 一般可以用以下四种方法求出积分:
(I)三角换元法
如果被积函数中含有形如或的项或因式,一般利用三角恒等式,,进行三角代换。含有形如的项或因式。令;含有形如的项或因式,令;含有形如项或因式,令
。
例 求积分
解:设,则
这样求出的积分是以为积分变量,为积分微元的积分,还应将和用自变量来表示。
(II)根式代换法
若被积函数中含有多个的(为整数)次方根,这多个的次方根的次数的最小公倍数是,则令,那么。
例4 求积分。
分析:在被积函数中含有和,的方根次数是3次,的方根次数是2次,3和2的最小公倍数是6,故令。
解:令,则
(III)繁式代换法
有很多被积函数,既没有三角代换的形式,又没有根式代换的形式,因此,用三角代换法和根式代换法都不容易求出积分。如果这些函数也不能用直接积分法和第一类换元法(凑微法)求出积分,则可以考虑用繁式代换法求积分。繁式代换法求积分的方法是:令被积函数中最复杂的部分为新变量,并将微元用和表示。这种代换法一般都能比较顺利地求出积分。
例5 求积分。
解:在被积函数中,最复杂,故令,则
,
(IV)倒数换元法:分母中含有 因子时,作代换 .
例6 求积分。
解法1 设,于是有
解法2 令,则
解法3 令,则,于是
(3)第一类换元积分法和第二类换元积分法的区别与联系
在第一类换元积分法中,我们通过引入中间变量,把被积函数凑成某个已知函数的微分形式,从而使不定积分容易计算。而第二类换元积分法是沿着第一类换元法相反的路线进行计算的积分,即在公式:中,若利用右端积分来计算左端的积分,即为第一类换元积分法;若利用左端积分来计算右端的积分,即为第二类换元积分法。习惯上我们把积分变量用表示,变换后的积分变量用来表示。可见,第二类换元积分法是先作变量代换,然后再求积分。
一般情况下,若右式右边易求,左边难求,即
难求 易求
我们采用第一类换元积分法;而若所求积分 难求,作变量替换 ,代入原式中有 易求,我们则使用第二类换元积分法.
(二)定积分中的换元法
1、定积分的两种换元法
定理1 若在闭区间上可积,则
证明:用换元法设,则,当时,;当时,,且,即在上也是可积的,故
我们把这种上、下极限交换的换元法称为“交换变换”,特别地当时,有下列推论:
推论1 若在上可积,则
由定理1和推论1我们还可以得到两个十分重要的恒等式:
推论2
注意上述所有结果对瑕积分也是成立的,只要左边的积分收敛。
例 计算。
解:利用推论1,
例8 若函数满足,,为实数且积分存在,则。
证明:由,知
由推论2知
特别地,,时,
定理2 设在上可积,则和有
证明:在上可积,则在上也可积,又由于,在上也可积
对第二个积分作变换,即可得到
这种变换把积分区间缩小了一半,因此称为“减半变换”。有下列重要推论:
推论3 在上可积,则
特别地,当为偶函数时,;当为奇函数,
例9 计算.
解:利用定理2
例10 计算.
解:利用推论3
令 ,则,即,令,求,故
定理1和定理2的比较:
我们仔细观察定理1和定理2便会发现它们都是把不易求出的定积分化为被积函数为的积分,因此若能用定理1求出的积分也一定能用定理2求出,反之亦然,也就是说定理1和定理2的效果是完全等价的.
例11 计算定积分.
解法1 利用定理1的推论2
解法2 利用定理2
下面给出两种换元法则:
定积分第一换元法则 :
设函数在上连续,假如存在上的函数和区间上的连续函数,使得在区间上,满足下列条件:
(1)的值不越出区间;
(2)函数具有连续的导数;
(3);
则有
.
定积分第二换元法则:
(1)函数在上连续,
(2)函数在上是单值的且有连续导数,
(3)当t在区间上变化时,的值在上变化,且,;
则有
.
该换元法应用时应注意:
(1)用把变量换成新变量时,积分限也相应的改变;
(2)求出的一个原函数后,不必像计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数,而只要把新变量的上、下限分别代入然后相减就行了。
例12 计算.
解:令,
用换元法计算定积分时可采用两种方法:
1、利用换元法求出新的积分变量的不定积分,再回到原来的变量,然后应用牛顿—莱布尼兹公式求出结果;
2、在换元的同时相应地把积分变量加以改变,这样就省略了由新变量换回到原来变量的过程。两种方法相比较而言,第二种方法更为简便。
三、多元函数微积分中换元法的应用
(一)二重积分中的换元法
定理 若函数在有界闭区域连续,函数组(1):,将平面的区域一对一地变换为平面上的区域,且函数组(1)在上对和存在连续偏导数,有,则
注:当二重积分中积分区域的边界方程较复杂无法画出图形,也无法确定二次累次积分的积分限时,常考虑应用上面定理换元。
推 若函数在有界闭区域连续,设函数组(2):,则该变换的逆变换把一一变换为区域,则,则
。把函数组(2)叫二重积分的极坐标代换。
注:当二重积分的被积函数的解析式中或积分区域的边界方程中含有“” 时常用极坐标代换。
几种类型题目的处理方法
第一种类型:当积分区域的边界方程较复杂无法画出图形,也无法直接确定二次累次积分的积分限时,可根据区域边界方程特点考虑换元法。
例 求曲线与所围成的区域的面积。
分析:区域的边界的方程非常复杂,区域的图形画起来很困难,考虑到把其边界曲线化为规范图形的边界曲线。因此作代换:
即,则区域变换为平面上的区域,而由抛物线和直线围成。
解:作代换: 即,则由抛物线和直线 围成,所以:
第二种类型:当积分区域的边界方程和被积函数的解析式中含有“”时可考虑极坐标代换。
例 求球体被柱面所截得的部分立体的体积
解:因立体关于平面对称,故整个立体的体积是一、四卦限的2倍,而在一、四卦限内,立体是以为顶,以,即为底的曲顶柱
令,则,而
即积分区域的边界为
第三种类型:当积分区域是矩形区域时,尽管被积函数的解析式中含有“”时,也不能应用极坐标代换,而只能直接计算,即积分限优先考虑原则。
例15 计算二重积分,其中
解:因为,所以
注1:计算二重积分,用极坐标代换:令则
注2:又因为是矩形区域,根据“积分限优先考虑原则”,此积分不能应用极坐标代换,而只能直接计算:
第四种类型:把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分计算,有时候极坐标系下的二重积分计算很困难时可以把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分来计算。
例16 计算二重积分,其中区域是:
解:作极坐标代换:,则该变换把变为,而由直线及直线围成,所以
(二)三重积分中的换元法
定理 设在空间的有界闭区域上可积,变换
:,,,
将一对一地变换为空间的有界闭区域,且满足:
(1) 函数,,在上具有一阶连续偏导数;
(2)在上雅可比行列式
;
则有:
下面介绍两种换元法求三重积分:
(1)柱面坐标变换
:
由于变换的函数行列式
,
故此时三重积分的柱面坐标换元公式为
,
这里为在柱面坐标变换下的原象
例 设是有锥面及平面所围成的区域,计算。
解:在平面上的投影区域为
而,即,故
注:当积分区域为柱体或被积函数中出现时,则可考虑采用柱面坐标。
(2)球坐标变换
:
由于变换的函数行列式
,
故此时三重积分的球坐标换元公式为
,
这里为在球坐标变换下的原象.
例 计算,其中所围成的空间闭区域。
解:对于椭球体,应使用广义球坐标变换。
令则
,
于是得
四、总结
本文主要介绍了换元法在一元函数微积分(包括定积分和不定积分)及多元函数微积分(包括二重积分和三重积分)中的应用,通过基本原理及具体实例向读者介绍了用换元法求各类积分的方法,从而简化了微积分中的很多计算问题。
五、致谢
本文承蒙指导老师的悉心指导,同时数学系机房的硬件设施和图书馆及其电子资源,为本课题的研究工作提供了良好的条件,另外,本课题的部分工作还得益于许多同学的帮助,在此,对他们一并表示感谢!
参考文献:
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[6]同济大学数学系,高等数学(下).北京:高等教育出版社,2008.
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