换元法在数学分析中有着广泛的应用,进行适当的换元往往能使一些数学问题迎刃而解,本课题旨在研讨换元法在一元函数微积分(包括定积分和不定积分)以及多元函数微积分(二重积分和三重积分)中的应用技巧并通过具体实例展现给读者.
一、不定积分换元法
(一)第一类换元法(凑微分法)
设是的一个原函数,且连续可导,则
.
凑微分法的基本思路:与基本积分公式相比较,将不同的部分---中间变量和积分变量---变成相同.
步骤:凑微分;换元求出积分;回代原变量.
例 求不定积分.
法1 ;
法2 ;
法3 .
例 求不定积分.
法1
;
法2
.
(二)第二类换元法
设不定积分,可导且,具有原函数,则有换元公式
,
其中是的反函数.
第二类换元积分法中最关键的一步是找换元函数.怎样选择才能使积分化难为易,是一个很灵活而又很不好掌握的问题,但也并非无规律可循,一般可以用以下四种方法求出积分:
1、三角换元法
如果被积函数中含有形如或的项或因式,一般利用三角恒等式,,进行三角代换.含有形如的项或因式,令;含有形如的项或因式,令;含有形如项或因式,令,.
例 求积分.
解 设,则
这样求出的积分是以为积分变量,为积分微元的积分,还应将和用自变量来表示.因为,故
,,
所以
.
2、根式代换法
若被积函数中含有多个的(为整数)次方根,这多个的次方根的次数的最小公倍数是,则令,那么.
例 求积分.
分析 在被积函数中含有和,的方根次数是3次,的方根次数是2次,3和2的最小公倍数是6,故令.
解 令,则,故
.
3、繁式代换法
有很多被积函数,既没有三角代换的形式,又没有根式代换的形式,因此,用三角代换法和根式代换法都不容易求出积分.如果这些函数也不能用直接积分法和第一类换元法(凑微法)求出积分,则可以考虑用繁式代换法求积分.繁式代换法求积分的方法是:令被积函数中最复杂的部分为新变量,并将微元用和表示.这种代换法一般都能比较顺利地求出积分.
例 求积分.
解 在被积函数中,最复杂,故令,则
,,,
故
.
4、倒数换元法
分母中含有因子时,作代换.
例 求不定积分.
法1 设,于是有
;
法2 令,则,故
;
法3 令,则,于是
.
(三)两类换元法的区别与联系
在第一类换元积分法中,我们通过引入中间变量,把被积函数凑成某个已知函数的微分形式,从而使不定积分容易计算.而第二类换元积分法是沿着第一类换元法相反的路线进行计算的积分,即在公式
,
中,若利用右端积分来计算左端的积分,即为第一类换元积分法;若利用左端积分来计算右端的积分,即为第二类换元积分法.习惯上我们把积分变量用表示,变换后的积分变量用来表示.可见,第二类换元积分法是先作变量代换,然后再求积分.
二、定积分换元法
(一)交换变换法和减半变换法
1、“交换变换”法 若在闭区间上可积,则
.
证明 令,得
;
评注 “交换变换法”是交换上、下极限的一种换元法,由此法可以得到一些有用的恒等式,如:
;
;
;
注意上述所有结果对瑕积分也是成立的,只要左边的积分收敛.
例 计算.
解 利用式,注意到,故
.
例 设积分存在,其中,为实数,若,则.
证明 由,知
由式知
;
特别当且时有.
2、减半变换法 设在上可积,则和有
.
证明
.
评注 “减半变换法”把积分区间缩小了一半;由此法可以得到一些有用的恒等式,如:
;
当为偶函数时有;
当为奇函数有.
例 计算.
解 利用减半变换法,取,则
.
例 计算.
解 利用式得
,
令,则,即,令,求得,故
.
3、交换变换法和减半变换法的比较
交换变换法和减半变换法都是把不易求出的定积分化为被积函数为的积分,因此若能用交换变换法求出的积分也一定能用减半变换法求出,反之亦然.
例 计算定积分.
法1 利用交换变换法的式得
;
法2 利用减半变换法
.
(二)第一换元法和第二换元法
第一换元法则 设函数在上连续,假如存在上的函数和区间上的连续函数,使得在区间上,满足下列条件:
(1)的值不越出区间;
(2)函数具有连续的导数;
(3);
则有
.
定积分第二换元法则:
(1)函数在上连续,
(2)函数在上是单值的且有连续导数,
(3)函数,的值在上变化,且,;
则有
.
例计算.
解 令,则
.
三、二重积分换元法
(一)二重积分换元公式
定理 若函数在有界闭区域连续,函数组,在存在连续偏导数,且将平面的区域一对一地变换为平面上的区域,有
,
则
.
(二)根据区域边界特点换元
当积分区域的边界方程较复杂无法画出图形,也无法直接确定二次累次积分的积分限时,可根据区域边界方程特点考虑换元法.
例求曲线与所围成的区域的面积.
分析 区域的边界方程非常复杂,的图形画起来很困难,考虑把其边界曲线化为规范图形.因此作代换
,,
即
,,
则区域变换为平面上的区域,而由抛物线和直线围成.
解 根据以上分析,作代换,,则,得
.
(三)被积函数含“”的换元
当二重积分的被积函数的解析式中或积分区域的边界方程中含有“” 时常用极坐标代换:
,,.
例 求球体被柱面所截得的部分立体的体积.
解:因立体关于平面对称,故整个立体的体积是一、四卦限的2倍,而在一、四卦限内,立体是曲顶柱体:
,,
其中:,所以
;
令,则
.
(四)积分限优先原则
当积分区域是矩形区域时,尽管被积函数的解析式中含有“”时,也不能应用极坐标代换,而只能直接计算,即积分限优先考虑原则.
例计算二重积分,其中
解 因为
,
其中
,,
所以
;
于是
,
,
因此
.
注 因为是矩形区域,根据“积分限优先考虑原则”,积分不能应用极坐标代换,而只能直接计算.
(五)从极坐标系化为直角坐标系
有时候极坐标系下的二重积分计算很困难,可以把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分来计算.
例计算二重积分,其中:
.
解 作极坐标代换:,则该变换把变为(由三直线,,围成),所以:,故
.
四、三重积分换元法
定理 设在空间的有界闭区域上可积,变换
:,,,
将一对一地变换为空间的有界闭区域,且满足:
(1)
函数,,在有一阶连续偏导;
(2)在上雅可比行列式
;
则有:
.
注1 柱面坐标变换
:
变换的函数行列式
,
三重积分的柱面坐标换元公式
,
这里为在柱面坐标变换下的原象.
注2 球坐标变换
:
变换的函数行列式
,
三重积分的球坐标换元公式
,
这里为在球坐标变换下的原象.
例 设是有锥面及平面所围成的区域,计算
.
解 在平面上的投影区域为
而,即,故
,
所以
.
例 计算,其中所围成的空间闭区域.
解 对于椭球体,应使用广义球坐标变换:
则
,
于是得
.
总结
本文主要介绍了换元法在一元函数微积分(包括定积分和不定积分)及多元函数微积分(包括二重积分和三重积分)中的应用,通过基本原理及具体实例向读者介绍了用换元法求各类积分的方法,从而简化了微积分中的很多计算问题.
参考文献:
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[6] 同济大学数学系,高等数学(下)[M].北京:高等教育出版社,2008.
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致谢
本文承蒙指导老师的悉心指导,同时数学系机房的硬件设施和图书馆及其电子资源,为本课题的研究工作提供了良好的条件,另外,本课题的部分工作还得益于许多同学的帮助,在此,对他们一并表示感谢!