不等式中的举一反三
杨 飞
（淮南市第二中学，2664474373@）
摘要：本文试探讨一种比较特殊的不等式——“均值不等式”.由于它变化多，实用性强，可以充分展示学生的机敏和能力，因此，在数学学习中，丰富均值不等式这方面的知识对提高数学解题能力和数学修养都是大有益处的.这种不等式不仅自身颇为有用，而且它的证法也可作进一步熟练不等式证明技巧之用，并且它在中学数学中也有着广泛的应用.尤其在高中数学中，我们频繁地接触到此类不等式的简化形式，可见均值不等式及其相关教学有着其重要的地位和作用.本文通过对均值不等式的一些运用初探，来进一步加强对均值不等式的了解.从而达到对均值不等式的熟练掌握.
关键词： 均值 不等式应用 最值
引言：本文主要介绍均值不等式在不等式的证明、求最值、恒成立问题、比较大小、高等数学中及解决实际应用问题中的应用。
一．均值不等式
首先我们通过均值不等式的定理来回顾一下均值不等式.
定理1.（1）若则
（2）若则（当且仅当时取“”）.
定理2（1）若,则 （2）若，则（当且仅当时取“”）.
（3） 若，则（当且仅当时取“”）.
定理3.若,则（当且仅当时取“”） 若,则（当且仅当时取“”）.
定理4.若，则（当且仅当时取“”）.
定理5.若则（当且仅当时取“”）.
小结:（1）当两个正数的积为定值时，就可以求出这两个数和的最小值.当两个正数的和为定值时，就可以求出这两个数积的最小值.即“积定和最小，和定积最大”.
（2）求最值的条件“一正二定三取等”.
二. 均值不等式用于不等式的证明
一般不等式的证明,通常考虑比较法、综合法、分析法,这些都是高中常用的方法,但是有些不等式运用这些列举的方法不好入手,所以考虑均值不等式或者均值不等式相结合,这样的处理方法,往往使复杂问题简单化，进而达到证明的目的.以下用两个例题来说明.
例已知为互不相等的正数，且，求证：.
证
故原不等式成立.
例已知正数满足,求证：
证 ,
同理，,
,
故原不等式成立.
三. 应用均值不等式求最值
对均值不等式了解越深我们便会知道,如果两个正数的积为常数,当且仅当它们相等时,它们的和有最小值;如果两个正数的和为常数,当且仅当它们相等时,它们的积有最大值.最值问题在此便稍有体现.通过研究分析，归纳出三个运用均值不等式求最值问题的适用条件.一:在所要求最值的代数式中,各变数全是正数,否则变号转换;二:各变数的积或和要为常数,以保证不等式的一边为定值,否则拆项或添项变形;三:各变数一定有有相等的可能.一个题目，同时满足了以上三个条件,或者说可以变形为适合上述条件的,就可用均值不等式求,这就可以帮助同学们在解题时快速找到突破口,进而找到正确方法,快速简洁地求最值.
求最值的技巧依据题目的不同解题的技巧也不尽相同。通常的方法有凑项，凑系数，分离，换元，整体代换，取平方.当然还有一些特例题型中的的方法.下面就探究一下有哪些特例方法.
特例一：在应用最值定理求最值时，如果遇到等号取不到的情况，应结合函数的单调性.
例 求函数的值域.
解 令,则
因为,所以但是解得不在区间上，所以等号不成立，考虑单调性.
因为在区间单调递增，所以在子区间上单调递增。所以.
所以所求函数值域为.
特例二：条件求最值。
例 若实数满足则求的最小值.
解 和都是正数.
所以，即的最小值为50.
特例三：已知为正实数，且,求的最大值。
解
即，即的最大值为.
特例四：已知为正实数，,求函数的最小值.
解
由得，，令,
因为，所以,所以,当且仅当时等号成立.
所以函数的最小值为.
四. 均值不等式与恒成立问题
均值不等式在恒成立问题中也有所应用，下面我们通过简单的例题来做一个简单的了解.
例 已知,且,求使不等式恒成立的实数的取值范围.
解 令，,且,
所以,所以，,
所以，即k³9.所以.即.
即实数的取值范围为.
五. 均值定理在比较大小中的应用
均值不等式的应用很广，即使在比较大小时也有所应用.下面我们就做个简单的参考关注.
例 若, , , ,则的大小关系是？
解 因为,所以
所以.
六. 均值不等式在高等数学中的应用
极限概念在高等数学中里是一个重要概念， 极限理论是高等数学里的基础理论.高等数学里有很多重要的概念都是用极限形式来定义的.而极限概念是已不等式刻画的.这样就决定了不等式运算在高等数学中是一个最基本的运算， 所以基本不等式中的均值不等式在解决高等数学问题过程中发挥着重要作用，例如求极限，证明重要极限的存在性.当然均值不等式在数列收敛证明中也有一些应用，如单调有界定理与均值不等式，由于本篇论文只是做个简单的探究，此章节内容属于大学高等数学,在这里也只是做个简单的了解.
七.利用均值不等式解决实际应用问题
想要解决实际问题, 需要运用到数学模型, 而有些数学模型经常应用到不等式的知识,特别是均值不等式.本文通过举例说明均值不等式在解实际问题中的应用.
例 公司投资兴办两个分公司, 2005年分公司获得了利润万元, 分公司获得了利润万元,往后每年分公司的利润为前一年利润的 ,而是前一年利润的, 预期目标为两分公司利润之和是万元. 从2005 年初起,
（1) 问哪一年两个分公司获利之和最小;
（2) 问需要经过几年时间即能达到预定的目标(精确到1年)
解
（1）设从2005年初开始第年的两家公司获利之和为，
则 当且仅当，即,
即,即时等号成立，
因此第二年即2006年两个分公司获利之和最小，最小为万元.
2）由1）及题意知，，
化简得，，设,
原式可化为,解得或 (舍去).
由此，
,所以,所以,
即经过年可达预定目标.
参考文献
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