数学教学中的思维训练——数形结合
课程标准指出:“数学学习是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。”学生在参与数学学习活动的过程中,他们应是自主探索、亲身实践、合作交流,不断发展的。这样,数学学习便成了学生的主体性、能动性、独立性的不断生成、张扬、发展、提升的过程。在数学教学中,教师应让学生在经历自主学习的过程中,充分重视思维训练。借助直观操作,引领学生经历数形结合的过程,逐步在头脑中建构数学模型。
数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式;“形”不仅仅指几何图形,还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料,以及用这些材料呈现数学信息的方式。
数形结合的方法具有双向性:借助“形”的生动和直观性认识“数”,即以“形”为手段,“数”为目的;或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性,此时,“数”是手段。
以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。
数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性,教学时要向学生提供大量感性材料,而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数,在等分图形中认识分(小)数;利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样,运算的概念(如“除法”、“余数”)、数学术语(如“平均分”、“大于”)等等都需要“形”的参与。
数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识,应该让学生自主探索发现,而形的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”可作如下设计:让学生用9根小棒摆出三位数,判断是否是3的倍数;8根、6根呢?操作中学生发现,组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关,而与摆的方式无关,根数就是各数位上数的和。又如,“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。
数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义,不仅仅在于理解算理,更重要的在于学会学习,实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度,让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程;分数乘法(如1/2×1/5)法则在折纸过程中归纳算法;长方形面积计算方法在“摆(面积单位)→数(小正方形个数)→想(个数与长宽关系)”等过程中获得。
解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上,能直观表现数量间关系,从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题(如“种植株数”、“截断”等)时,恰当选用线段图、示意图、集合图等等,是寻找解题途径最有效的手段之一。
以“数”解“形”。“形”具有形象直观的优势,但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性,才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力,使儿童更准确地把握“形”。
对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“直线”的教学,由于在生活中无法找到原型,画出来的也只是线段,而辅之以数学语言“直”、“无限”、“延伸”等,就能较好地建立相应的表象。又如“长方形”,学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”,只有用数学语言揭示其特征(有4个角,都是直角;有4条边,对边相等),对长方形的认识才是深刻的。
几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量,从直观比较到数方格,从摆小正方形(面积单位)到发现面积与长宽的关系,最终获得面积计算公式,使儿童从更深层面上认识了长方形。
对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如:“周长相同的三角形、正方形和圆,哪个面积最大?哪个最小?”由于作图困难,凭图形直观难以判断,而通过具体计算,结论就不辨自明。