作者:江苏省东台市第一小学 黄 芳 卢自强
世界上的万事万物都处于变化之中，变化是普遍的，也是永恒的。所谓规律，大而言之是事物运动变化过程中固有的、本质的、必然的联系；结合小学数学的具体内容来看，主要是指数和形在变化过程中保持不变的特征或关系。规律总是存在于变化之中，没有变化就谈不上规律，更谈不上规律的探索和发现。从变化的角度研究现实世界里的数量关系和图形特征，有助于培养学生的问题意识和探究学习的能力，也有助于学生初步感受抽象概括、归纳类比、猜想验证等常用的数学思想方法，感受数量之间相互依存、彼此影响的对应法则。下面结合苏教版下册教材中“探索规律”的教学，具体谈谈引导学生从变化的角度分析和理解数量关系的几点想法。
一、在变化中引出探究的问题
引导学生开展探索规律的活动时，苏教版教材通常会联系学生已有的生活经验和知识经验，呈现一些有趣的生活情境或数学现象。这些生活情境或数学现象中往往蕴涵着变化的数量、图形、算式和各种关系。让学生了解变化的过程，分析变化的主要因素，把握变化的关键特点，就能提出值得探究的问题，顺利开启探索规律的活动之旅。
例如，在引导学生探索一个两位数与11相乘的计算规律时，教材首先提供了如下图所示的三道算式。
教学时，可以先让学生说说这三道算式有什么相同，有什么不同，在讨论中明确：每道算式的两个乘数中，有一个乘数是不变的，都是11，还有一个乘数尽管都是两位数，但它们并不相同，是变化的。接着，要求学生用竖式计算每题的乘积，并进一步启发：这几题的乘积相同吗？乘积不同是不是意味着没有规律？如果存在某种规律，那么有着怎样有趣的规律呢？由此，鼓励学生围绕上述问题展开进一步的观察比较和分析思考，并在交流和讨论的过程中逐步发现积的每一位上的数与原来的两位数的内在关联。
又如，在学生初步掌握两个数相加的和的奇偶性规律之后，为了引导他们继续探索连加算式中和的奇偶性规律，一位教师设计了如下的教学活动。
师：我们已经知道两个数相加时，如果两个加数的奇偶性相同，那么和一定是偶数；如果两个加数的奇偶性不同，那么和一定是奇数。想一想，如果有更多个数相加，和的奇偶性又会有怎样的规律呢？
生1：和可能是偶数，也可能是奇数。
生2：可以先列出一些连加的算式，算出它们的和，再找出其中的规律。
出示连加算式17＋28＋34。
师：你能判断这个连加算式的和是奇数还是偶数吗？
生1：17＋28＝45，45＋34＝79，这个连加算式的和是奇数。
生2：因为17＋28的和一定是奇数，奇数再加一个偶数，和一定还是奇数。
师：你能通过推理做出判断，非常好！想一想，如果在这个连加算式的后面再添一个加数，得到的和是奇数还是偶数？
生：不能确定，要看添的是奇数还是偶数。
师：如果后面添的是一个偶数，得到的和是奇数还是偶数？
生：和还是奇数，因为前面连加算式的和是奇数，再添一个偶数，奇数加偶数的和仍然是奇数。
师：如果在四个数连加的基础上，再添一个偶数，和是奇数还是偶数？
生：和还是奇数。
师：再添一个偶数呢？
生：和仍然是奇数。
师：像这样一直添加下去，你有什么想说的？
生1：一个奇数不管加上多少个偶数，和都是奇数。
生2：连加算式中和的奇偶性与加数中偶数的个数没有关系。
生3：我觉得连加算式中和的奇偶性应该与奇数的个数有关。
……
上面的教学活动，从三个数连加的算式入手，先引导学生初步掌握判断连加算式中和的奇偶性的基本思考方法，再通过在三个数连加的算式之后依次不断地添加偶数的操作，启发学生在变化中激活思维、打开思路，逐步形成有价值的数学问题。在这样的过程中，学生初步意识到“连加算式中和的奇偶性应该与奇数的个数有关”，但并不知道究竟存在怎样的关系。如此一来，不仅能使接下来的探索活动显得自然顺畅，而且也能为接下来的探究活动提供正确的目标和方向，
二、在变化中发现不变的共性
如前所述，小学数学中探索规律的活动主要就是在数与形的变化过程中寻找不变的特征或关系。在依据生活情境或数学现象提出相关的数学问题之后，往往需要引导学生列举若干具体的例子，通过对这些例子的观察、比较和分析获得一些相互关联的数据，进而从变化的现象或数据中抽取出共同的特征，提炼出不变的关系。这个环节是探索规律活动中的核心环节。实际教学时，一方面要组织学生进行认真细致的观察、比较，另一方面要引导学生适时适度地进行抽象、概括，以便于他们透过现象把握本质，从变化中发现内隐的规律。
例如，在引导学生探索几个数连乘积的奇偶性规律时，笔者设计了如下的教学过程。
师：我们已经知道几个数连加和的奇偶性规律。那么几个数连乘积的奇偶性又有什么规律呢？你打算怎样进行探索？
生：可以先写出一些几个数连乘的算式，分别算出它们的积，再看积的奇偶性与什么有关。
师：请大家小组合作，每人写一个连乘算式并算出得数，再把小组同学写出的不同算式放在一起，仔细进行观察、比较和分析。注意，连乘算式只能涉及不是0的自然数。
学生按要求活动后，组织讨论。
师：先请同学们把积是奇数的连乘算式呈现出来。
学生按小组分别说出一些积是奇数的连乘算式。
师：观察这些算式，它们中乘数的个数相同吗？乘数的大小呢？
生1：这些算式中，有的是三个数连乘，有的是四个数连乘，还有的是五个数连乘，乘数的个数是变化的。
生2：这些算式中的乘数，有的是一位数，有的是两位数，还有的是三位数，乘数的大小也各不相同。
师：那么，这些算式中的乘数有没有共同之处呢？
沉默片刻之后，有少数学生举手示意，要求发言。
生：我发现，这些算式中的乘数都是奇数，没有一个是偶数。
师：是这样吗？大家再仔细找找！
生：（七嘴八舌）是这样的，真的是这样的！
师：从这个不变的共同之处，你还能想到什么？
生：几个数连乘时，只有每个乘数都是奇数时，积才会是奇数。
师：你的意思是说，只要乘数中有一个数是偶数，积就不会是奇数了？
生：是的。
师：请大家联系之前写出的不同算式，看看是不是这样？
……
上面的教学活动，先引导学生围绕需要探究的核心问题写出不同的连乘算式，再重点启发他们观察、比较积是奇数的连乘算式，初步发现：尽管这些算式中乘数的个数和大小是变化的，但却存在一个相对隐蔽的共同之处，即“这些算式中的乘数都是奇数，没有一个是偶数”。由此出发，相关的积的奇偶性的规律自然也就浮出了水面，学生只要再列举一些合适的反例，就能确认自己的发现。
三、在变化中形成丰富的感悟
从变化的角度研究现实世界里的数量关系或图形特征，是一种十分重要的数学思想方法。这种数学思想方法的核心其实就是函数所涉及的变化观和对应观。函数观念的建立对数学的应用及其自身的发展有着十分重要的影响。尽管小学生不可能真正理解函数的概念和方法，但结合具体的实例初步感受函数的基本思想却是有可能的。事实上，学生在感受函数思想的同时，也能感受抽象概括、归纳演绎、猜想验证等常用的数学思想方法，更好地体会数学内部以及数学与外部世界的广泛联系，形成各种有价值的感悟。
例如，在引导学生探索多边形内角和的计算规律时，可以先组织学生讨论几种常见多边形内角和的求法，并在讨论中逐步认识到：可以先将一个多边形分成几个三角形，使分成的几个三角形的内角和正好等于相应多边形的内角和。在此基础上，将得到的数据有序地呈现出来，并引导学生做进一步的观察、比较和分析，即如：当多边形的边数依次发生变化时，多边形的内角和是怎样变化的？你能将四边形、五边形和六边形的内角和分别表示成180°与一个数的乘积吗？在180°×2、180°×3、180°×4这几个算式中，“2”、“3”、“4”分别是什么意思？它们与多边形的边数有什么关系？想一想，一个七边形的内角和可以表示成几与180°相乘？一个八边形的内角和呢？你有办法验证上面的结论吗？如果一个多边形的边数是n，它的内角和可以用怎样的式子来表示？
显然，上面这样的讨论过程不仅突出了数量的变化，以及数量之间相互依存、彼此影响的关系，而且很好地渗透了抽象概括、归纳类比、猜想验证等常用的数学思想方法，有助于学生从不同角度感悟探索规律的意义和价值。
四、在变化中激发新的探索
人们对于未知事物的探索是永无止境的。探索规律的教学不能仅仅停留在规律的发现、表达和总结环节，而要通过适当的活动引出新的探究问题，激发学生产生新的思考，鼓励他们真正走向主动探索、主动发现的自主发展之路。实际教学时，可以联系相关知识背景，通过数或形的进一步变化，启发学生进行更加全面和深入的思考，为他们发现和提出更多有价值的问题提供机会。
例如，在引导学生探索“同头尾合十”的计算规律之后，可以出示教材提供的如下的三组算式，先要求学生按相关的规律直接写出各题的得数，再启发他们比较每组的两道算式，说说它们的联系和区别，以及蕴涵在变化之中不变的关系。
也可以引导学生进一步思考：刚才这些乘法算式的共同特点是“同头尾合十”，它们的计算规律我们已经知道了。想一想，如果两个乘数的共同特点是“同尾头合十”，这样的两位数乘两位数的计算又会有怎样的规律呢？有兴趣的同学可以利用课后时间再次进行探索，并把探索的成果与同学分享。
总之，规律离不开变化。从变化的角度理解探索规律的教学价值，设计探索规律的活动过程，改进探索规律的教学思路，技能充分发挥探索规律的教育教学功能，又能不断提升我们的教学品位。
