数形结合在初中数学教学中的应用
(龙潭中心校 武月玲)
摘要: 数形结合是中学数学教学中一种十分常见且重要的数学思想之一。利用数形之间的相互转化,可以化繁为简、化难为易、化抽象为具体,从而达到简洁明了的解题效果。
数形结合思想作为中学阶段的基本数学思想之一,贯穿于整个中学数学的教学过程。我国著名数学家华罗庚曾经说过:数与形,本是相依倚,焉能分作两边飞;数无形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系切莫分离。这就说明数与形是紧密联系、不可分割的。而数形结合主要是指数学语言与几何图形之间一一对应的关系。数形结合思想的实质就是通过数学语言与几何图形之间的相互转化,把抽象的数量通过抽象化的方法,转化为适当的几何图形,从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系,解决数量关系的数学问题;或者是把关于几何图形的问题,用数量或方程等来表示,从它们的结构研究几何图形的性质和特征。数形结合思想可以使某些抽象的不易于理解的数学问题生动直观,能够变抽象问题为形象问题,便于学生把握数学问题的本质。数形结合思想作为一种基本的数学思想,其应用一般可以分为以下两种情形:第一种情形就是“以数解形”,而第二种情形则是“以形助数”。“以数解形”就是将“形”的问题转化为用数量关系去解决,运用代数,函数知识进行讨论,它是将技巧性极强的的推理论证转化为可操作的代数运算,起到了化难为易的作用。“以形助数”就是将“数”的问题转化为图形的问题来解决,直观生动,便于理解和解题。本文主要探讨了数形结合思想在中学数学解题中的应用。(1) 数与代数中的数形结合(2) 空间与图形中的数形结合(3) 统计与概率中的数形结合。通过对这些例题的分析讲解充分展现数形结合思想在中学数学解题中的特点,从而将数形结合思想运用到实际教学中。
一. 数与代数中的数形结合
中学数学大纲重视渗透和揭示基本的数学思想方法,加强数学内部的联系,如先学习平面直角坐标系,用坐标的方法处理更多的内容包括二元一次方程组,平移变换,函数等。又如课本按照一次和二次的数量关系,使方程和函数交替出现,分层递进,螺旋上升。
从学习数轴开始,我们就建立了有理数与数轴上的点的对应关系,这可以算是数与形结合的开端。继而学习实数之后又把这种对应转变为实数与数轴上点的一一对应。因而数形结合通常是与数轴,平面直角坐标系相联系的。新数学课程标准,要求学生通过学习数学知识,技能和方法,逐渐形成自己的数学思想和方法,学会用数学的方法解决生活中的实际问题。那么,数形结合的思想在新课程中又是怎样体现的呢?
例1.一元二次方程解的意义:
ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程。它的解可以理解为函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标。那么当公共点有两个时,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;当公共点只有一个时,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;当没有公共点时,对应的一元二次方程没有实数解;
(1) x2-x-6=0,x1=-2,x2=3,y=x2-x-6与x轴的公共点A(-2,0),
B(3,0)。
(2)x2-2x+1=0,x1=x2=1,y=x2-2x+1与x轴的公共点A(1,0)。
(3)x2 +1=0,没有实数解,y=x2 +1与x轴没有公共点。
图(1) 图(2) 图(3)
例2.完成下列计算:
1+2=?
1+2+3=?
1+2+3+4=?
如果以1+2+3+4为例,如下图,由此可知
1+2+3+4=10
于是,
1+2+3+4= QUOTE =10
1+2+3+4+5= QUOTE =15
1+2+3+…+100= QUOTE =5050
1+2+3+…+n= QUOTE
对于这个问题,教师先让学生思考,使其经历观察比较归纳提出猜想的过程后提供以上图形,运用图形的直观性帮助学生理解,让学生从数与形的联系中发现规律,学生了解这两个代数知识的几何背景,从而感受数学的神奇魅力。
在数与代数的教学中,教师应强调数与形的结合,让学生建立由数想到形,由形想到数的思想,这样可以加深学生对数与代数的理解与认识。又如利用图形理解完全平方公式。平方差公式,利用函数图象理解函数的变化趋势等都是培养学生数形结合思想的极好的方法。
二.空间与图形中的数形结合
教师在教学空间与图形时要把握好数学思想方法在整个教学发展中的地位,对于数形结合,教师要善于挖掘教材和生活中的素材,从形到数,揭示“形”中“数”的本质。
例.(1)如图,用长30cm的篱笆与一堵墙围一方土地,求篱笆能包围的土地的最大面积。
(2)如图,用长30cm的篱笆与两堵墙(两堵墙成120°角)围一方土地,求篱笆能包围的土地的最大面积。
教学中,教师应不失时机的让学生透过形的外表,触及其内在的数量关系,探索由形到数的联系与规律。
三.“统计与概率”中的数形结合
新课标中的统计与概率,在内容编排与要求上有所加强,真正让学生经历统计的全过程,发现并提出问题,运用适当的方法,收集和整理数据,运用合适的统计表统计图来展示数据做出决策。
概率的抽象性使其成为教学的难点,在计算简单事件的概率时,采用画树状图的方法,树形结合,可以收到化难为易的效果。
例. 一个不透明的袋子里装有黄白两种球,其中一个黄球,两个白球,它们除颜色外其它都一样,小亮从中摸出一个球后放回去摇匀,再摸出一个球,求两次都摸到白球的概率。
由于数形结合具有形象直观,易于接受的优点,它对于沟通知识间的联系,活跃课堂气氛,开阔学生的思路,发展学生的潜能,提高学生的创造思维能力和开拓精神,使学生充分张扬个性,充分发挥潜能,真正实现个体的最优化发展都有很大帮助。
在数形转化结合的过程中,必须遵循下述原则:转化等价原则;数形互补原则;求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时,应指导学生掌握以下几点:1.善于观察图形,以揭示图形中蕴含的数量关系。2.正确绘制图形,以反映图形中相应的数量关系。3.切实把握“数”与“形”的对应关系,以图识性,以性识图。4.多媒体技术为数形结合的实施架设了桥梁。对于一些较复杂、抽象、需有一定想象能力、老师光用嘴和笔说不清的问题,借助于多媒体将数学实验引入课堂教学,可以活跃课堂气氛,减轻教学负担,激发学生的探究欲望,培养学生观察、归纳、猜想、发现的能力。多媒体技术使数学的实验手段丰富起来。数学实验能使学生加深对数学概念的理解,通过相应的技术手段,为数学的学习提供了绝好的工具和途径。学生通过实验,能探索数学规律,发现数学命题,提高创新能力。《几何画板》是帮助学生学通数学的有效工具。下面是一例发现三角形内接矩形的面积变化规律的“数学实验”的做法。如下图,
在△ABC中,E是OB边上的任意一点,以E为顶点作△ABC的内接矩形EFGH,使矩形的一边EH在OB上,使点E在OB上运动,矩形面积随之变化。设OE为x,建立x与矩形面积间的函数关系,让学生观察,当x变化时,矩形面积的变化特点及是否有最大值。然后显示当E点运动时,对应的动点K(x,S)(S为矩形面积)的运动轨迹(其轨迹为开口向下的一段抛物线)。最后 改变△ABC的形状,研究△ABC的底边BC或BC边上的高变化时,对抛物线形状有什么影响。计算机强大的图形、图像功能,把“数”与“形”紧紧结合在一起,使抽象的数学变得形象、生动、有趣,大大激发了学生的学习兴趣和认知主体作用的发挥
由上述的例子可知,数形结合是中学数学解题中重要的思想方法之一,并且有着广泛的应用。在学习过程中,培养学生的这种思想意识,巩固此方法的应用,不仅能优化解题思路,还能使学生的创新意识得到培养,加强学生综合运用的能力。在教学中也要注重培养学生数形结合思想方法的思维意识,教师要深层次地挖掘教材内容,将数形结合思想具体地渗透到实际问题中来,在寻求解决问题的方法中,让学生正确理解数与形紧密相连的关系,使之有机地结合起来。让学生真正做到心中有图,图中有数,利用数形结合思想简明答题,做到学以致用。
参考文献
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