数学方法在物理中的应用
摘要:本文从中学物理教学内容中总结出诸多数学方法的应用,列举了这种应用的重要作用,以及一些行之有效的培养学生这种能力的方法。
关键字:数学方法,物理,解决问题
一、数学方法在研究和分析、解决物理问题中的重要作用
数学和物理两门学科具有密切的联系。数学知识对于物理学科来说,决不仅仅是一种数量分析和运算工具;更主要的是物理概念的定义工具和物理定律、原理的推导工具;另外,运用数学方法研究物理问题本身就是一种重要的抽象思维,因此,数学也是研究物理问题进行科学抽象和思维推理的工具。(参考文献1)数学方法在中学物理教学中的重要作用,主要的有如下几个方面。
l.培养学生运用数学方法研究物理问题的能力
(1)培养学生在实验的基础上,运用数学方法表达物理过程、建立物理公式的能力。在研究物理现象的过程中必须引导学生把实验观测和数学推导这两种手段有机地结合起来。只有这样,才能获得关于某种现象的全面的、内在的、本质的认识。这就是以观察、实验的感性材料为依据,运用数学方法(包括公式和图像)来对其进行计算、分析、概括、推理,得出经验规律,并进一步抽象为物理定律。中学物理中的许多定律,例如电阻定律、欧姆定律、牛顿第二定律、气体实验三定律,光的折射定律等都是从实验出发,经过科学抽象为物理定律,最后运用数学语言把它表示为物理公式的。这是研究物理的基本方法之一。
(2)培养学生应用数学知识来推导物理公式的能力。物理学中常常利用数学知识研究问题,以高中物理“直线运动”这一章为例,就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移;用代数法和三角法研究运动规律和轨迹;用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。另外,物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式,这样既可以使学生获得新知识,又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系,加深理解。
2.培养学生运用数学表达式或图像来描述、表达物理概念和规律的能力
数学是定义物理概念表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言,许多物理概念和规律都要以数学形式(公式或图像)来表述,也只有利用了数学表述,才便于进一步运用它来分析、推理、论证,才能广泛地定量地说明问题和解决问题。例如,气体的等温变化,通过实验得到下面的结论:温度不变时,一定质量的气体(理想气体)的压强跟它的体积成反比。这就是玻意耳——马略特定律。可以用数学表达式表示出来,即。于是,玻意耳——马略特定律也可以叙述为:温度不变时,一定质量的气体(理想气体)的压强跟它的体积的乘积是不变的,其数学表达式为:PV=C(恒量)。气体的等温变化还可以用函数图像(等温线)来表示。
3.培养学生应用数学知识进行定量分析数量运算、判断、推理、论证和变换来解决物理问题的能力。抽象思维在物理学中很重要,而在物理学中进行抽象思维的时候,数学是不可缺少的非常用力的工具,它可使人们能从已知的物理定律或理论出发,利用数学的逻辑推理方法推导出新的规律或建立新的理论人。例如,牛顿在开普勒行星运动规律的基础上,利用数学方法导出了万有引力定律。中学物理教学应该有计划地进行这方面的训练,培养学生推理、探索的能力和创新精神,从而提高他们的科学“预见”能力。我们认为,物理关系式的推理论证工作不仅在于得出它的数学表达式,而且更重要的是要把它作为发展学生逻辑思维能力和纠正学生形式主义学习偏向的一个重要手段。例如,高中物理讲过闭合电路的欧姆定律后,为了让学生掌握电源的路端电压U和内电压U'随外电路电阻R的改变而变化的规律,弄清变化的最大值,同时也为了发展学生的逻辑推理的思维能力,应该引导他们运用数学知识来分析、推证:①当R→∞时,U=?②R→0,U'=?这时不但要把公式进行变换,而且还要用到极限的概念。
再如,学生在刚学习物理时,其他数学方法也不熟练,只有相似三角形这个很熟,所以,在高一学习运动学时可以渗透这道题目。
如图, 一人自街上路灯的正下方经过, 看到自己头部的影子正好在自己脚下,如果人匀速朝前走,试说明他头部的影子相对于地的运动情况. 有学生凭直觉:人移动一小段位移,影子被拉得很长,从而得出影子做加速运动的错误结论.
要有定量分析的能力———把物理模型向数学模型转化. 一些学生想列式计算, 但不知如何下手. 他们不知道怎样设中间量,如何建立未知量与已知量之间的数学关系. 要解决这些问题需要在进行物理概念、原理教学的同时,有意识地加强数学基础知识和数学分析能力的培养. 上题应根据相似三角形得
设影子的位移为s,人的速度为v,经过时间t,
,所以,,很容易看出影子移动是匀速直线运动。
运用数学知识解答物理问题是物理概念和规律的具体应用。从理解物理知识到应用知识解答物理问题,这是学生认识过程中的一次“飞跃”。因此,教师应当有计划地逐步培养学生分析、解答物理问题的能力。
二、运用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意的问题
1.在物理公式中运用数学知识时,一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义,不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题,要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化”的倾向。这就是说,要注意不能把物理意义淹没在数学表述式中。物理与数学毕竟各有特点,二者有各自不同的研究对象和方法,一个数学函数式可以表示事物间的多种相互关系,而一个物理公式总是具有特定内容的,一定要在明确物理内容的基础上运用数学工具。在有关图像的教学中,应该把“形” 与它所反映的物理内容联系起来,用图形来直观地表示其物理内容,还应该引导学生弄清楚用数学来解决物理问题时,必须受到物理概念和规律的制约,有时从数学知识上来看是合理的,而从它的物理意义上来看出不合理,也就是说,受限于物理现象的本质,数学知识的应用有其局限性和特殊性。例如,一定质量的理想气体在多温变化时PV=C(恒量)从数学上看,双曲线有两三支,但从物理本质上看,气体压强和体积不能取负值,因此,它的图像就只能限于第一象限。(参考文献2)
2.表达物理概念或规律的公式都是在一定条件下成立的,在运用数学解决物理问题时,一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。例如,真空中库仑定律的公式只适用于两个相对静止的点电荷。值得注意的是,如果从“纯数学化”观念来看,上式中当r→0时,F→∞,但这样的讨论在物理上是毫无意义的,这时Q1,Q2的相互作用是很复杂的,库仑定律描述不了它们之间的相互作用。
有些学生由于对物理规律和公式缺乏本质的理解,忽视条件,用单纯数学的观念来看待物理公式,以致产生一些自相矛盾的模糊认识。例如,对于匀速圆周运动向心力的公式和。有些学生提出“为什么匀速圆周运动的向心力跟半径既成反比,又成正比呢?”产生这些模糊认识和错误的原因,就在于他们忽视公式的物理意义和条件,对于具体事物不作具体分析。
④运用数学知识来推导物理公式或从基本公式导出其它关系式时,应该注意:有些物理定律虽然可以从别的物理定律推导出来,但要引导学生弄清所讨论的物理定律是怎样建立的以及它跟相关联的物理定律有什么关系。例如,动量定理虽然可以由牛顿第二定律推导出来,但不能简单地把它看作是牛顿运动定律的一个推论。事实上,二者是互要独立的定律,要具体分析它们各自的特点。牛顿第二定律只表明外力对物体的即时作用(力的瞬时效果),因此,公式中F是即用力是即时加速度。动量定理却表明外力在一段时间△t里对物体的持续作用所获得的效果:促使物体的动量发生变化。因此,动量定理反映了外力在这段时间里的积累效果(累积效应)。
总之,物理学是一门跟其他自然学科有密切联系的自然科学. 处理物理问题时要密切注意与其他学科之间的联系,尤其是应用最为频繁的数学知识. 因为将物理模型和数学模型相结合来解决有关物理问题,往往能化难为简、化抽象为具体.。要把这个思想逐渐渗透到日常教学中,切实提高学生解决问题的能力。