“说”出课堂精彩  “题”升学生素养

刘  君

（安徽省马鞍山市博望初级中学    liujun99099@）

摘  要：活而不难已经成为安徽省数学中考命制压轴题的主要趋势，这些试题体现了命题者对于数学思想方法及数学教学的一些认识和理念，对广大一线数学教师的课堂教学起到了非常好的导向作用。教学中运用一定的教学策略通过优秀压轴试题的分析讲解，引导出相关的多个知识点和解题方案，有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、独创性，促使学生把握数学思想灵魂，学会数学式的思考，提升学生的数学素养。

关键词：数学思想；解题思路；数学素养

随着新课改的进行，各地中考数学试卷异彩纷呈，尤其是数学压轴题，题型新颖，设计精巧，既继承传统又勇于创新，以一些基本图形、核心知识为基础展开问题探究，体现能力立意和学科本质，具有典型性、示范性和迁移性。纵观安徽省近几年的数学中考压轴题，活而不难已经成为安徽数学中考命制压轴题的主要趋势，这些试题体现了命题者对于数学思想方法及数学教学的一些认识和理念，对广大一线数学教师的课堂教学可以起到非常好的导向作用。因此，每届的毕业班的数学中考复习，笔者都会重视以往几年的压轴题的讲解与分析。

在前不久的一次有关相似形知识的中考复习课堂教学中，笔者选取了2015年安徽省数学中考试题的第23题作为讲解例题：

（2015•安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC。

（1）求证：AD=BC；

（2）求证：△AGD∽△EGF；

教学中，笔者引导学生作如下分析：

1.本题已知中有哪些重要的条件，学生很轻松的地回答出本题重要的条件是GE、GF分别是线段AB、CD的垂直平分线以及∠AGD=∠BGC。接着继续提问由垂直平分线这个条件，你们能联想到哪些结论，大多数学能回答出由垂直平分线这个条件可以得到线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即由GE、GF分别是线段AB、CD的垂直平分线得出GA=GB，GD=GC，再结合∠AGD=∠BGC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等，即AD=BC，第（1）题得证。

2.第（2）题显然考查同学们相似三角形的判定的相关知识，大家先回忆一下判定两个三角形相似有哪些方法，第（2）题与第（1）题有一定的关联吗？通过这样的引导，大多数同学不约而同地纷纷议论开来，有的学生已经发现要证明相似的△AGD与△EGF的两条边分别是第（1）题中两个等腰三角形△AGB与△DGC的一腰和底边上的高，不难看出由∠AGD=∠BGC可以得出∠AGB=∠DGC，由两个顶角相等的两个等腰三角形相似，可以得出△AGB∽△DGC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，得出比例式，由∠AGE=∠AGB，

∠DGF=∠DGC证出∠AGE=∠DGF，从而得出∠AGD=∠EGF，即可证出△AGD∽△EGF。

在前两个问题的解决过程中，我尽量把复杂问题分成若干个简单问题，引导学生主动去“说”，让学生参与学习活动 ，力争让更多学生有发言机会。对于本题中涉及到的重要基础知识和基本技能，让学生从已有的解题经验与知识基础感知解题的思维过程，给全体学生留有理解掌握的时间和空间。让学生感觉是自己通过思考把问题搞懂了，而不是教师强加给自己的知识。

在这节课上，大多数学生都在解决问题的过程中敢于发表自己的观点，大胆地动脑、动口、动手，大大地提高了学生课堂的参与度，同时也使中等学生减轻了对中考压轴大题的畏惧程度，在我面前展示的是一个个鲜活的富有个性且思维广博的生命体。因此，在问题（3）的解决过程中，先前和谐的课堂学习氛围为后面的动态生成埋下了伏笔。

情形1：因为AD、BC所在直线互相垂直，则AD、BC所在直线的夹角是直角，如图3，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，又因为∠GMA=∠HMB，从而∠AGB=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出=，由△AGD∽△EGF，即可得出==的值。

情形2：因为F是CD的中点，可以想到利用中点构造一组全等三角形，具体做法是：如图4，连接BF并延长至点H，使得FH=FB，连接DH，AH，则△HDF≌△BCF，于是可以得到DH∥BC且DH=BC，又因为AD、BC所在直线互相垂直，所以AD⊥DH，由第（1）题知AD=BC，所以DH=AD，从而△ADH是等腰直角三角形，所以AD=AH，因为EF是△BAH的中位线，则EF=AH，所以求得=。

学生通过讨论得到这第（3）小题的三种解法是我始料未及的，我不禁为学生“说”出的课堂精彩而暗自庆幸，于是，我顺水推舟告诉学生，刚才我们得到的后两种解法实际上是图形变换中的中心对称和位似变换在平面几何中的应用，其中蕴含的图形转化往往是解决问题的突破口。图形变换是近代的一种数学思想，也是研究平面几何的得力工具。学生获得一个个可喜的“意外”解法调动了学生学习的积极性，并且还从“多解”中寻求到了解决问题的一般策略，让学生理清了思路，掌握了方法，使课堂焕发出了动态的活力。

教学发思：本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，对学生综合素质要求较高。特别是第（3）题中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果。

课改实施的深入开展使中考数学题型越来越新颍、多样，如果因循守旧，仅用一些传统题型或固定模式进行解决是无法在中考中出奇制胜的，这就要求数学教师精心挑选中考试题，利用中考试题良好的教学导向功能，运用一定的教学策略通过优秀压轴试题的分析讲解，引导出相关的多个知识点和解题方案，有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、独创性，促使学生把握数学思想灵魂，学会数学式的思考，提升学生的数学素养。

一、理清知识点，寻找解题思路

在数学中考压轴题的教学时，可以让学生尝试说说题目所考查的知识点，从理清的知识点中快速寻找解题思路，教师在引导学生归纳解题思路时应紧扣学生认知，关注方法，要把解题思维贯穿于一种题型中，让学生自我形成知识建构。

二、适时提升，体验解题“全过程”

在日常教学中，教师要重视学生体验知识产生和发展过程，理顺知识的来龙去脉，理清知识呈现的过程，理解定义、定理的使用目的，给学生充分反思时间，逐步提升学生解决问题的能力。

三、关注过程，重视思考和交流

“解题就是把要解的题转化为已解过的题”。数学解题过程就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。“学而不思则罔”，教师应引导学生解题时勤于思考，不仅立足原题思考，还要有举一反三和触类旁通的变式思考。在考试中，拿到压轴题后，不要急于动手，而是思维在先。实践表明，有相当一部分学生在压轴题上失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本概念和简单计算或输在“审题”上。

四、优化思维，提炼思想和方法

中考时间毕竟有限，要解决这么多问题，应在考前冲刺做文章。日常训练中对待一些疑难问题，应引导学生多些思考、探究和尝试，发现创新性解法。要教会学生“大题小做”，即对一些综合题应化“大” 为“小”，以“庖丁解牛”的精、气、神，把它“肢解”成小问题，然后对这些小问题逐个推导，找出规律，再将其融合升华为大题。要注重培养学生直接观察、大胆猜测及多种数学思想的灵活运用，让学生碰见难题时“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，切实提高学生的解题基本功。讲课时，教师要注意展示学生解题的思维过程，更要注重典型题目的运算技巧。

俗话说，“授人以鱼，不如授人以渔。”一个好的数学教师，不是看他掌握了多少数学概念和定理公式，而是看他是否掌握了数学思想和精髓，看他利用数学思想分析和解决问题的能力，看他能否把数学思想传授给学生，培养学生数学思维能力。由一道题的解决方法出发，掌握一类题的普遍做法，是中考数学复习应倡导的教学技巧。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部，《义务教育数学课程标准（2011年版）》，北京师范大学出版社。

[2]王永锋：《体验分析解题过程  提炼数学思想方法》，《中小学校长》2012年第8期。

[3]陈光华：《在中考数学复习中培养学生的洞察力》，《中学数学》（初中版）2012年第9期。