类型一 传播问题
例1 一个同学经过培训后会做某项实验,回到班级后第一节课他教会了若干个同学,第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学,这样全班共有36人会做这项实验,若设1人每次能教会x名同学,则可列方程为( )
A.x+(x+1)x=36 B.(x+1)2=36
C.1+x+x2=36 D.x+(x+1)2=36
【解答】解:设平均每节课一人教会x人,根据题意可得:
1+x+x(1+x)=36,
即:(x+1)2=36,
故选:B.
变式1.某种流感病毒,若有一人患了这种流感,则在每轮传染中一人将平均传染x人.
(1)现有一人患上这种流感,求第一轮传染后患病的人数(用含x的代数式表示);
(2)在进入第二轮传染前,有两位患者被及时隔离并治愈,问第二轮传染后患病的人数会有21人吗?
【解答】解:(1)依题意得:第一轮传染后患病的人数为(1+x)人.
(2)依题意得:1+x﹣2+x(1+x﹣2)=21,
整理得:x2﹣1﹣21=0,
解得:x1=2=﹣.
∵x1,x2都不是正整数,
∴第二轮传染后患病的人数为21人的情况不会发生.
类型二 单循环或双循环问题
例2 要组织一次篮球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,赛程共7天,每天3场比赛.设比赛组织者邀请x个队参赛,则根据题意所列方程正确的是( )
A.x(x+1)=21 B.x(x﹣1)=21
C.x(x+1)=21 D.x(x﹣1)=21
【解答】解:依题意得:x(x﹣1)=3×7,
即x(x﹣1)=3×7.
故选:B.
变式2 (1)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?
(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
(3)初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
(注:3个小题只需设未知数,列出方程即可)
【解答】解:(1)设有x人参加聚会,
根据题意得:=66;
(2)设共有x个队参赛,
由题意得:x(x﹣1)=28;
(3)解:设共有学生x人.
则x(x﹣1)=90.
类型三 数字问题
例3 小明同学是一位古诗文的爱好者,在学习了一元二次方程这一章后,改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》:“大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿同.哪位学子算得快,多少年华数周瑜?”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x,则可列方程为( )
A.10x+(x﹣3)=(x﹣3)2 B.10(x+3)+x=x2
C.10x+(x+3)=(x+3)2 D.10(x+3)+x=(x+3)2
【解答】解:假设周瑜去世时年龄的十位数字是x,则可列方程为10x+(x+3)=(x+3)2,
故选:C.
变式3.连续两个整数的乘积为12,则这两个整数中较小的一个是 .
【解答】解:设这两个整数中较小的一个是x,则较大的一个是(x+1),
根据题意得:x(x+1)=12,
整理得:x2+x﹣12=0,
解得:x1=﹣4,x2=3,
∴这两个整数中较小的一个是﹣4或3.
故答案为:﹣4或3.
变式4.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27,求原来的两位数.
【解答】解:设原两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为(x2﹣9).
∴10(x2﹣9)+x﹣10x﹣(x2﹣9)=27,
解得x1=4,x2=﹣3(不符合题意,舍去).
∴x2﹣9=7,
∴10(x2﹣9)+x=74.
答:原两位数为74.