函数概念的教学
内容摘要: 函数在我们中学课程中占有很重要的地位,函数概念是很难理解的一个概念,学好函数的概念对于以后学好函数有很重要的作用。在教学中,我们要改变学生在初中所学的函数概念的教学,用对应说定义函数,并注意函数与方程、代数式的联系,提出函数建模的思想,符号地理解函数的意义。
关键字: 函数,对应说,函数建模
函数是中学中最重要的概念之一, 起到承前启后的作用,也是我们中学教学的难点。如何教好函数的概念是一个重点。下面是我对函数概念的几点建议。
一 、从函数的“变量说”过渡到“对应说”
学习函数概念时,首先要根据实际的问题,构造用函数思想表示的函数模型,现在教科书上举了很多物理例子,比如车辆行程是时间函数,质量是体积的函数,当然我们也可以举出很多我们数学中的例子,如圆的面积是半径的函数,身高的变化,成绩的变化,一个老师与某个学生的年龄差。
函数概念的教学是要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质的,初中阶段从学生容易掌握的描述性函数定义入手的,即采用函数的变量说,便于和实际相联系。构建函数的一般概念后,然后通过一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数的研究,结
合图象分析,继续加深学生对函数概念的理解。在这里,我们要注意函数体现变量之间的各种各样的关系不要错误的以为函数就是y=kx+b一种类型。
进入高中阶段,要求用两个数集之间的对应的方式来阐述函数的意义。此时,学生需要抽象的思考,跳出具体的表达式的限制,把对应法则作为函数概念的核心,这就要从变量说过度到对应说。
对应说的函数概念,可以形象的解释为一架加工机。它把自变量加工成因变量,例如正方形的面积Y是边长X的函数,记为y=,对于每一个自变量X值就有一个面积值y=与之对应。这好象就是一个加工机,对于每输入一个x,就输出一个y(y的值为),于是,这个函数就相当于一个“平方机”的作用。
对应说在处理复合函数与反函数的问题上,由于使用集合语言,在表示上比“变量说”方便且自然。
在引入函数概念之前,需要完成从常量到变量的转换。字母除了表示定数外,还可表示变化的量。如何引导学生把静态的表示式看成动态的过程,是函数教学的关键,这是认识的一个飞跃。例如,“某物体每分钟前进100米,问10分钟前进多少米?”学生很容易写出“S=100t”,但他们仍然不能从中看出变化的过程。对于表达式x+y=5,
学生很难把一个算式与运动联系在一起,字母或符号在他们的认知中只是代表一个特定的具体数量。
在实际的教学中,我们可以把定数表示数轴上的一个定点,而把变量看成是一个动点。特别的,t 从0变到10就是动点沿数轴从0运动到10,再取变量t的一系列特定值,列出相应的另一个变量S(T)的对应值,并在坐标系上描出这些点,这样学生就容易感受到变量的真实意义。
二、弄清函数与代数式、方程的关系
中学代数课程到了函数阶段是对前面知识的集成,函数把多项式、变量、坐标系和方程等内容的有机整合。
1、 任何代数式A(x)可以看作带有变量的x的函数的代数表达式y= A(x),求代数式的值就是求函数的函数值。
2、 函数是一个二元方程y=f(x),它有无数多个解,运用方程法,可以寻求函数的特殊值。例如,x取何值时能使函数值为0?这就相当于解方程f(x)=0.
3、 在坐标平面上,二元方程F(x,y)=0的图象是一条曲线,曲线也可以表示一个方程。例如直线的方程y=kx+b
三、突出“依赖关系”,提倡“函数建模”
数学科学的基本任务之一是研究“数量关系”,已知数和未知数之间的等式关系是方程,变量与变量之间依赖关系是函数关系。研究函数的依赖关系要使用两个变量:自变量与因变量,在心理上要求学生
同时使用两个变量有一定的难度。
实际上,函数是非常重要的“数学建模”工具,现实中的许多问题都是通过建立函数模型而得到解决的。同时,在解决实际问题的过程中,学生对函数概念以及与它相关的变量、代数式、方程等知识都能够加深理解。例如,教师可以给学生设计类似于这样的问题:假设学校为了开阔学生的视野,培养学生适应社会生活的能力,要开展一次完全由学生自己操办的商品销售活动。你要负责某种商品的进货和定价。从商业角度考虑,你要做出计划,使得这个项目取得最大利益。这时你要考虑哪些问题呢?显然,进货量是要考虑的,否则,不够卖或积压很多都会造成损失。还有,如果这种商品有不同档次的产品,那么还要考虑不同档次的产品如何搭配。这些都需要作市场调查。另外,如果商品的售价太高,那么愿意购买的人就会减少;如果售价太低,那么就会减少利润。因此,合理定价是获得最大利益的又一重要因素。从实际的事例中寻找函数的关系,构造事物的变化过程中的具体函数关系,就是构造函数。
四、抽象地、符号地了解f(x)的意义
接受函数的抽象表示也是一个难点,教师刚刚给出函数的定义,并写下抽象表示:y= f(x)时,往往会有学生问:f和 x不是乘的关系么?因此,在教学中,不要直接说:通常我们把y是x的函数表示为:y= f(x),而是说“f代表自变量和因变量之间的对应关系,对于定义域内任意的x(这时可以写下x),通过对应关系f(在黑板内写上f( ), 刚
才的x被括号括在内)对应出唯一的一个y(在黑板上刚才的式子前写下y=),这样就写出了表达式:y= f(x),这样表示,可以避免学生产生错觉。
最后,在教学中一定要加强函数符号的理解,这样更能帮助学生学好数学。