利用“列表”分析应用题的等量关系

                 —— 数学教学叙事       

列方程（组）解应用题在初中各册都有出现，占有相当的篇幅，同时也一直是中考的热门题型之一。列方程（组）解应用题就是将已知量与未知量的关系列成等式，通过解方程（组）求出未知量的过程，其目的主要是考查学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

在教学中，我发现很多学生只要能够列出方程或方程组，基本都能得到高分。看似很简单，但实际情况，即使同一个学生做应用题，有的时候三两下很快就有了思路，有时候却苦思冥想很久也没有方法。这到底是怎么回事呢？又如何帮助学生解决困难呢？这就要从利用列方程（组）解决应用题的具体步骤说起。

其步骤简单地归纳为

⑴审题。理解题意，弄清问题中已知量和未知量。 

⑵设元（未知数）。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用，是解应用题的关键。而列方程的关键是找出等量关系。如何找出等量关系？这就成了解决应用题的难点。对于相当一部分学生而言，数量关系象麻绳一样理不顺、剪不断，更别说列方程了。只要解决了这个难题，学生对于应用题基本能轻松上手。教学中我着重引导学生去分析题目中的数量关系，通过教学实践我发现，利用“列表”可以帮学生更容易理清数量关系，从而解决学生列方程的难题。因此我就在“列表”这方面多下功夫，下面我就举几个具体实例说明“列表”处理数量关系的优势。

例1（混合物问题）玻璃厂熔炼玻璃液，原料有石英砂和长石粉混合而成，要求原料含二氧化硅70%，经过化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%，那么，在3.2吨石英砂和长石粉各多少吨?

分析：问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？引入未知数，填写下表

利用表格每一行，很容易得到两个等量关系：

    石英砂的需要量+长石粉的需要量=3.2t

    石英砂中的二氧化硅+长石粉中的二氧化硅=原料中的二氧化硅

解  设需石英砂x t，长石粉y t

    由原料所需总量，得

     x+y=3.2                                   ①

    再由所含二氧化硅的百分率，得

    99%x+67%y=70%×3.2                       ②

    解方程①②组成的方程组，得

    答：在3.2t原料中，石英砂0.3t，长石粉2.9t

例2（方案分配问题）某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地，根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦。种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：

问：在现有条件下。这18位农民应承包多少公顷田地。怎样安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？

分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式表示它们吗？根据题意列表如下：

利用表格的每一列可以得到等量关系：

   种植蔬菜的人数+种植荞麦的人数=18

   种植蔬菜的资金+种植荞麦的资金=5万元

解 设蔬菜的种植面积为x公顷，荞麦的种植面积为y公顷，根据题意，得方程组   

   解方程组，得

   承包田地的面积为

   x+y=4(公顷)

   人员安排为

   5x=5×2=10(人)，   4y=4×2=8(人)

   答：这18位农民应承包4公顷的田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种蔬菜，8人种荞麦，这样能使所有的人都有工作，且资金正好够用。

例3（分式方程）一组学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可以少分摊3元，问原来参加春游的学生人数是多少？

   分析：假设原来这组学生人数是x人，则把题中信息整理成下表：

本题的等量关系可由第4列得到：

原来这组学生每人分摊的费用－加人后该组学生每人分摊的费用＝３元

解　设原来这组学生的人数是x人，那么每人分摊的费用是元，增加２人后这组学生每人分摊的费用是元。根据增加２人后每人可少分摊３元，得

  方程两边同乘以，整理，得

  解这个方程，得

  ，

  经检验，，都是原方程的根，但不合题意，所以取。

答：原来这组学生是８人。    

例4（行程问题）某人骑自行车预定用同样的时间往返于甲、乙两地。来时每小时行12千米，结果迟到6分钟；回去时每小时行15千米，结果早到20分钟。请求出此人原来预定的时间和甲、乙两地之间的路程。

   分析：假设此人原来预定的时间为x小时，根据路程=速度×时间，将题目中的数量整理成下表

根据第4列路程关系可列方程。

解  设此人原来预定的时间为x小时，根据来去时甲、乙两地路程一样可以列方程，得

   解方程得

   t=2.4（时）

   甲、乙两地的距离为

   （千米）

答:此人原来预定的时间2.4小时，甲、乙两地之间的路程30千米.

例5（数值问题）一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的2倍。如果把各位和十位上的数字对调，那么所得两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数。

   分析：设原来两位数十位上的数字是x，个位上的数字是2x，将题中数量信息整理下表：     

解：设原来两位数十位上的数字是x，个位上的数字是2x，根据题意可列方程得

   解方程得

   原来的两位数为

   10x+2x=40+8=48

答：原来的两位数为48。

这五个例题分别从不同的类型展示了“列表”的作用，只要学生列出表格，通过横向或纵向观察数量，基本上都能够找到等量关系，从而解决列方程的问题。在实际的教学中，引导学生通过表格去寻找里面的数量关系，虽然过程看上去比较麻烦，但是学生理解起来更容易，操作起来更加有效。

在教学过程中若能从应用数学的角度出发，从学生易于理解的层面着想，追求问题解决方案的简单性。对于诱发学生的求知欲，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率，培养学生的创造思维能力是不言而喻的。这也是素质教育的目标，就是教师的目标。

                               2018.3