用魅力尺规勾勒出绚烂的数学之花
——探究“尺规作图”中的思维性和思想性
杨 洁（安徽省濉溪县城关中心学校）
摘要：鉴于“尺规作图”在初中数学知识模块中的独立性，不少教师在教学时仍停留在表层知识的简单给予，学生的学习就是单纯的模仿，没有任何乐趣可言。笔者在思考：关于“尺规作图”，我们到底要教给学生什么？不仅是考纲要求的知识，而且还有点点滴滴思维方式和数学思想的渗透。
关键词：思维方式；数学思想；渗透
“尺规作图”以其严密的逻辑推理成为数学中的一枝独秀，然而在当今课堂上，它是否仍在继续散发着浓浓的清香吸引着众多中学生呢？答案并不能尽如人意。关于“尺规作图”，我们到底要教给学生什么？在这里，笔者将结合自己平时的教学实践及思考与大家共同探讨如何在尺规教学中渗透基本思想，积累数学思维活动和实践活动的经验。
一、用魅力尺规勾勒数学的思维之花
《标准》明确提出初中阶段五大基本尺规作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。为什么不少学生对尺规作图的印象是“枯燥、单一、模式化”？因为很多老师受传统的应试教育影响，认为学生只要掌握这五种基本的“尺规作图”就足够了，没必要深挖。什么样的想法就决定什么样的教法：教师教，学生仿，千篇一律，何来魅力？难怪学生没有兴趣。学习本身是一个主动建构的过程，知识是学习者经过同化、顺应机制而建构起来的经验体系。因此，《标准》明确指出：在尺规作图中，了解作图的道理。试想，如果学生在作图前已经领悟了其中的道理，并依此作出图形，此时的他们将收获什么？绝不仅仅是知识，更多的是方法、是自信、是兴趣、更是一种创新能力。
当然在具体教学设计时要依据学情，不能千篇一律。
七年级学生观察、识记能力强，几何推理能力弱，因此将“作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角”这两大基本作图安排在七年级下学期刚开始学习几何伊始，这时的学生大多停留在感性认识阶段，教学中，以教师讲授，学生感知、模仿为主。这也是大部分老师所关注的“怎么作图”的问题。即便是这样，也要在适当的场合让学生明白“为什么要这样作图”
？比如在学习三角形全等之后就可以提问：你能解释利用尺规“作一个角等于已知角”的道理吗？
八年级学生的逻辑思维能力加强，再加上几何底蕴的丰厚，当然不会仅仅满足于讲授、模仿状态。教学中，笔者根据学生的认知规律与学习需要，重新整合教学资源，对教材进行二次创作，目的是力求实现教材对学生的教育功能最大化[1]。
以“沪科版”教材为例，笔者听过很多老师上的“线段垂直平分线”第一课时，基本上都是按照教材的顺序，先教学生利用尺规作出线段垂直平分线的方法，然后让学生结合几何推理，对目标图形进行作图原理、作图方法探索。这种方法不是不行，但多少有一种将作图方法强塞给学生之嫌。有没有相对更易于学生接受、润物细无声的方法呢？笔者进行了以下的修改：首先创设问题情境。例1：如图1，平面上的四边形ABCD是一只风筝的“骨架”，小明同学测量出AB=AD，CB=CD，于是断定AC所在的直线是线段BD的垂直平分线，你能说出道理吗？学生探究这个问题的过程，实际上就是感悟“用尺规作一条线段垂直平分线”的过程。然后以动画的形式先消掉线段AC，再同时消掉线段AB、AD，线段CB、CD，最后只留下线段BD，出示问题2：你能利用“尺规作图”作线段BD的垂直平分线吗？问题2的提出成功的引导学生由接受式学习转变为自主探究式学习，让学习成为一个主动建构的过程。当然，即便有问题1作铺垫，这个问题也非常的抽象，老师一定要让学生先有一个“憋”的过程，然后再互相交流，最终得出作图方法。老师在整个过程中应适时点拨，完善作图的步骤，规范作图的语言。
这种方法最大的特点是运用逆向思维，先通过逻辑推理证明“尺规作图”的合理性，再思考具体的尺规作图的步骤。学生只有亲身经历这种探究的过程才是真正的学习，才可能感受到“尺规作图”的真正魅力。经常这样训练，相信我们学生的思维会更加开阔，创新能力会更强。比较这两种方法，与其说是教学设计的不同，倒不如说是教师的教学理念不同。
这种解题的思维方式在题目中经常出现。例2：如图2，（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图甲，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13cm²，每个直角三角形两直角边的和是5cm，求中间小正方形的面积。
图2
（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据。）
试想，如果我们在平时“尺规作图”的课堂上经常给孩子们创造探索的机会，让他们经历探究的过程，这种思维方式一定能在他们的心中扎根发芽，那么再面对类似例2的问题时，他们就会更加的从容。
二、用魅力尺规勾勒数学的思想之花
数学的美不在于知识本身，而在于其统一性与简单性。 数学思想正是数学统一美的表现。然而数学思想需长期渗透，不可一蹴而就[2]，因此在“尺规作图”教学中，笔者仍不忘引导学生感受这种美。
1、“尺规作图”中的分类讨论
严格的说，“分类讨论思想”不是数学所特有的，是自然科学乃至社会科学研究中都用到的基本逻辑方法。特别是在近几年的中考中，这种类型的的题目越来越成为数学试卷的分水岭。因此在平时的教学中，笔者特别注重对这种类型题目的探究，增强学生分类讨论的意识，完善学生的思维。
例2：电信部门要在∠AOD内部修建一座电视信号发射塔，如图3，按照设计要求，发射塔到两个城镇M、N的距离必须相等，到两条高速公路AB、CD的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？
做题前 做题后
图3
这个问题考察学生两项基本功：用尺规作已知角的角平分线，作已知线段的垂直平分线，学生基本上都能解决。可是笔者不愿放弃一次很好的“分类讨论”的机会，于是将题目进行了变形如下：电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图4，按照设计要求，发射塔到两个城镇M、N的距离必须相等，到两条高速公路AB、CD的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？
做题前 做题后
图4
问题经过修改，细心的同学立刻“嗅”到了“分类的味道”，经过独立思考与大胆尝试，他们最终发现了两个满足条件的点。看到他们兴奋的表情，回想他们刚才做题时的专注眼神，笔者由衷的感到欣慰。
2、“尺规作图”中的划归思想
与其抱怨学生缺乏创新思维，倒不如检讨自己是否给过学生创新的机会。
受传统观念的影响，很多学生认为只要掌握了五种基本尺规作图就够了，不愿意再进一步思考，这是思维惰性的根源。现给出笔者九年级课堂上的一个片段：
例3：如图5，过直线AB外一点P，运用尺规作一条直线CD，使CD∥AB.
解题前 解题后
图5
问题提出后，看到大部分学生迷茫的眼神，笔者首先带领学生回顾平行线判定定理，引导他们意识到：要实现两直线平行，要么同位角或内错角相等、要么同旁内角互补，无论哪种，都牵扯到角的问题。学生在通过探索之后终于发现，只要过点P作任意一条直线与AB交于点N，再以点P为顶点，PM为一边作∠MPD=∠MNB即可。从而将平行问题转化成了“作一个角等于已知角”的问题。当然在探索过程中，有的同学也提出了不同的方法，但不管什么方法，都用到划归的思想。
正是因为在平时的课堂上不断渗透，才有了孩子们思维的灵动性。比如在教授直角三角形定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”时，沪科版教材上用的方法如图6，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，延长BC到D，使CD=BC.连接AD，则△ACD≌△ACB，继而推出△ABD为等边三角形，则AB=BD=2BC。可是却有几位同学提出另一种方法，如图7，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，将直角三角形转化为两个等腰三角形，特别是△BCD还是等边三角形，从而把BC、BD、CD、AD、AB之间的数量关系显示的清清楚楚，班级里顿时响起了大家敬佩的掌声。这是一次精彩的课堂生成。如果没有平时数学思想方法的渗透，孩子们怎么可能活学活用这种“尺规作图”呢。
图6 图7
无论是学生思维方式的转变，还是数学思想方法的渗透，这一切都取决于教师教育理念的高低。教学中，笔者以“尺规作图”知识为载体，不仅关注提高学生的思维能力和实践操作能力，而且引导学生用数学的眼光去发现，用数学的思考去创造，将“四基”落到实处。只有这样，我们的尺规课堂才能再次焕发出青春魅力，我们的学生才能用这魅力尺规勾勒出绚烂的数学之花。
参考文献：
[1]吴克桃.关注知识生成过程
促进学生自主建构[J].中学数学，2014（09）：20-23。
[2]王大前.模型当指向本质 思想需悟于过程[J].中学数学教学参考，2014（10）：13-15。
