基于APOS理论下的小学数学概念教学的研究
——以俞正强老师教学“分数的初步认识”一课为例
张树杉[1]、 刘祥[2]
作者简介:[1]张树杉,二级教师,蒙城县逍遥路小学数学教师
[2]刘祥,一级教师,合肥市郭梅名师工作室成员
单位:蒙城县逍遥路小学数学教师、安徽省合肥市建平实验小学南艳分校
注:本篇文章已发表
摘要:美国著名数学教育家杜宾斯基提出了APOS理论,而APOS理论把数学概念主要分为四个阶段,分别是:活动阶段、过程阶段、对象阶段、图式阶段。本文以小学数学中的“分数的初步认识”教学内容为例,以APOS理论为基础,借助多媒体软件设计概念教学的四个阶段:(1)创设真实的活动情境,感悟对“分数的初步认识”;(2)展示小组合作探究的过程,理解“分数”的概念;(3)建构对象实体,把握“分数”的本质;(4)建立深层图式,形成概念的基本体系。
关键词:APOS理论;概念教学;分数
1.问题提出
美国的数学家杜宾斯基提出的APOS的理论认为,作为学习者不能直接学习到数学的概念,而是恰恰要通过一些心智结构使得所学的概念产生实际的意义,教学的真正目的是要帮助学习者建立合适的心智结构[1]。APOS理论以活动、过程、对象与图式4个具体的阶段体现了数学概念的形成与思维过程。
执教教师以APOS理论为指导,借助多媒体演示动态生成的全过程来设计概念教学过程的4个阶段,有助于小学生学习“分数的初步认识”的概念。
2.APOS理论的概念教学阶段与多媒体的运用
杜宾斯基认为,任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学习数学的”以及什么样的教学计划可以帮助这种学习”的理解,而不仅仅是陈述一些事实.正是基于这样的考虑,杜宾斯基建立了APOS理论,而APOS理论中包含四个基本的阶段:
2.1活动(Action)阶段
“活动阶段”是指个体或学习者通过一步一步的外显性(或记忆性)指令去变换一个客观的数学对象,它是学习者获得数学概念的不可缺失的条件。在小学数学中,许多的概念都是“隐性”的,需要通过一些外显的活动探究去获得概念的本质。在数学概念的教学中,有效的借助多媒体教学,能够将教学的对像动态的呈现在小学生面前,通过有效操作,产生良好的教学效果,从而让小学生感悟对“分数”的本质认识,由此能够获得概念的表像。
2.2过程(Process)阶段
“过程阶段”是外显数学的活动思考的过程,当“活动”经过多次的的重复而被个体熟悉后,就可以内化为一种称之为“过程”的心理操作。有了这种“过程”,个体就可以想象这个“活动”,而不需要通过外部的刺激;他可以在头脑中实施这个过程,而不需要具体操作;进而,他还可以对这个过程进行逆转以及与其他程序进行组合。而当学习者多次重复和熟悉之后,进行一系列的心理活动操作,抽象出数学概念的本质属性。在数学概念的获得中,可以借助多媒体。将数学的对象进行转化为动态图像,通过操控进行演示,帮助学生从图形中发现“分数”的本质。
2.3对象(Object)阶段
当个体或学习者能够把“过程”作为一个整体进行操作时,这一过程就变成了一种心理“对象”。借助多媒体将概念的对象做一系列的动态操作演示,把握住数学对象的特点及性质,帮助小朋友们实现对概念的深层次的认识。
2.4图式(Scheme)阶段
一个数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“过程”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架,它可以用于解决与这个概念相关的问题。从这个意义上看,APOS理论中的“图式”有点类似于韬尔的“概念意向”。以上四个阶段及其关系如图1所示:
图1 APOS理论的四个阶段
按照杜宾斯基的解释,上述四个成分中,“活动”、“过程”和“对象”也可以看做是数学知识的三种状态,而“图式”则是由这三种知识结构构成的一种认知结构。此外,上述四种结构成分的排列虽然在理论上具有一种等级结构,也就是说,一般情况下前一成分的建构是后一成分的基础。APOS理论认为,在数学的学习中,如果能够恰当的引导前三个阶段后,学习者本身在建构与反思的基础上能够形成图式,进而理清问题的情境,获得数学概念的本质。本文以小学数学中的“分数的初步认识概念教学为例”,以APOS理论为指导,借助多媒体探索小学数学概念教学的过程。
3.分数的初步认识概念教学设计
3.1创设真实的活动情境,感悟对“分数的初步”认识
依据《义务教育数学课程标准(2011版本)》,小学生在学习分数之前,对分数并不了解,也不知道怎么读与写,所以在引入分数的概念之前,俞老师并没有直接给出分数的概念,而是通过创设具体的情境,使得小学生逐渐的体会整数与分数,慢慢的抽象出分数的概念。(请看以下创设情境的片段)
师:小朋友们,吃过月饼吗?
生:一起回答,吃过。而且很好吃。
师:请看大屏幕,今天老师带来一些月饼,这是几个月饼呢?
生1:一个。
生2:一个
……
师:老师又带来这样的月饼,你们猜猜看是多少呢?
生3:一个。
生4:半个。
生5:半个。
师:哎呀,小朋友们太聪明了。
根据APOS理论,在最初的活动阶段,学习者通过一步一步的外显性(或记忆性)指令去变换一个客观的数学对象,它是学习者获得数学概念的不可缺失的条件。师生通过有趣的对话活动,老师慢慢的唤醒学生对分数的认知,了解学生已有的知识与经验。通过创设一个月饼到半个月饼的情境,吸引小朋友学习数学的兴趣,并逐渐抽象出数字“1”和“半个”(该怎么表示呢?)激起学生内心学习分数的热情。为进入APOS的下一个阶段学习做好准备。
3.2展示小组合作探究的过程,理解“分数”的概念
在上一阶段学习之后,老师会继续追问:
师:小朋友们,“半个”月饼用哪个数字来表示呢?
生:全班同学开始思考,分成各个小组开始合作探究。
师:在学习“半个”月饼用哪个数字表示之前,我们思考一下,这半个月饼是从哪里得来的呢?
师:在大屏幕上展示由“一个月饼”到“半个”月饼的动画演示。
生6:半个月饼是从一个月饼里得来的。
生7:半个月饼是把一个月饼分成了“两半”。
生8:半个月饼是把一个月饼“平均”分成了“两半”,那么半个月饼就出现了。
师:小朋友们太聪明了,是的。把一个月饼平均分成了两块,取出其中的一块。平均分成两块,在数学里我们用数字“2”表示,取出其中的一块,我们用数字“1”表示,平均分,用一短横进行表示,所以这个“半个”我们用“1/2”来进行表示。
师:这个数怎么读呢?
生:跟着老师一起读,二分之一。
根据APOS理论,在这一阶段,学习者需要对数学活动作进一步的思考,教师借助多媒体动画演示,通过操作由“一个月饼”到“半个”月饼的形成过程,让小朋友们通过观察、比较、分析、归纳等一系列的探究的过程,概括出这样数的特点。在整个APOS的第二个过程中,让小朋友们对这样的数有了初步的感觉
3.3建构对象实体,把握“分数”的本质
在多媒体技术的支撑下,俞老师列举多个分数的实例,使小朋友们可以从不同的角度去逐渐的体会并建构“分数”的概念,经历由一个月饼到半个月饼再到1/3个月饼,最后到1/4个月饼,由特殊的“1”逐渐地到一般的分数建构的过程,很好地抽象出分数概念的本质特征:分数就是把“一个”单位“1”平均分成若干份,其中的每一份我们可以用分数进行表示。俞老师帮助小朋友们建构“分数”的概念之后,又帮助小朋友们了解了“分数”的具体的量和“分量”的区别。例如:
师:在半个月饼可以用哪个数字来表示?
生:回答1/2。
师:那1/2和1/2个有什么区别和联系呢?
生9:单独的1/2表示的是“把一个整体平均分成两份,其中的一份我们就用1/2表示”。
生10:1/2个表示的一个物体的一半,是具体的数量,例如:妈妈给我一个苹果,我吃了这个苹果的半个,也就是1/2个。
师:小朋友们太棒了。
根据APOS理论,教学该阶段的目的是要帮助小朋友们抽象出分数概念的本质特征,实现对分数概念的更深一层次的认识和理解。在多媒体辅助教学的环境下,俞老师可以利用多媒体展现从多个动态的实例中抽象出分数的本质概念,执行运算的命令,让小朋友们可以更直观地观看到分数的产生与变化的全部过程。该过程很好地体现了“数形结合”和“类比”的数学思想,克服了分数概念的教学难点。分数的概念具有运算的规则“实体”也即是对象。小朋友们学习了分数的概念之后从“过程”阶段进入了“对象”阶段。该阶段发挥了多媒体的优势,突出了教学分数的重点,提升了课堂的教学效率,吸引了小朋友们学习分数的热情与兴趣。
3.4建立深层图式,形成概念的基本体系
根据APOS理论,图式阶段是建立概念联系的阶段,也即是学习者的头脑中与已有的概念相互联系,能够建立新的知识结构,形成了新的概念体系。多媒体可以直接呈现分数的产生与变化的过程,能够引导小朋友们对分数的认识更有效。
例如:教师在小朋友们认识了几分之一后,又呈现了以下问题让小朋友们思考。
师:吃了半个月饼后,还剩几个月饼?
生11:还剩半个,因为是把一个月饼平均分成了两半,吃了一半,所以还剩一半,两半是一样多的。
师:如果把一块月饼平均分成三块,吃了其中的一块,还剩多少呢?
生12:还剩三分之二个,因为是把一个月饼平均分成了三份,只吃掉了其中的一份,还剩下两份,所以剩下的部分占整体的三分之二,即可以用三分之二进行表示。
师:小朋友们太厉害了。
《标准》中对“分数的初步认识”的提出的要求是:通过创设具体的情境,从问题情境中能够判断出这个实物所表示的分数是几分之几,借助多媒体技术会让小朋友们体会“数形结合”的基本思想,能够初步了解分数的基本概念。人教版的教材在三年级的下册第一节创设两位小朋友分月饼的情境,从简单的一个月饼怎样才能够分给两个小朋友吃呢?引发学生对问题的思考,从而引出半个可以用分数进行表示。此过程,符合小朋友们的认知规律,比较容易得出分数的概念。
从以上设计的过程,我们可以认为多媒体能够帮助小朋友们发现知识的内在联系,建立深层次的图式,逐渐的建立分数的概念体系。在数学课堂教学中,这四个阶段是紧密相连,环环相扣的,在相互作用的条件下完成了对分数的初步认识概念的建构,让学生对分数的概念理解的更深刻。
4.思考
本节课是“分数的初步认识”第一节课,分数对于小朋友们来说是比较陌生的,如何在课堂中帮助小朋友们建构对分数的初步认识概念相对来说比较困难。这就需要教师要认真的设计与思考。俞老师的这节课恰恰是基于学生已有的生活经验,让小朋友们逐步的理解分数的概念。首先,俞老师创设真实的活动情境,让小朋友们感悟对分数的初步认识;接着,俞老师让小朋友们相互合作探究说一说自己对这些分数的看法,并理解分数;紧接着,便是让学生建构对象的实体,理解分数的本质;最后是让小朋友们建立深层图示形成分数的概念体系。整堂课下来,老师的设计非常巧妙(让学生感知分数到建构分数的概念再到理解分数的概念)贴近学生的实际生活经验,抓住儿童的心理特征,让学生在愉快的氛围中去学习并掌握分数的概念,这正体现了教师是学生的组织者、引导者、与合作者,学生是学习的主体,把课堂还给学生。该老师注重教会学生用数学的思维去思考现实的世界,让学生学会用数学的语言表达现实的世界,用数学的眼光观察现实的世界。
5.结语
从数学学习心理学角度分析,APOS的四个学习层次是合理的,反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。据相关研究表明,该理论主要应用于大学数学教学的研究比较多[2],但是,同样适用于小学数学的概念教学,特别是与多媒体信息技术相结合的情况下,能够很好的突破小朋友的认知水平,令课堂的教学取得意想不到的效果。
参考文献
[1]鲍建生,周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海:上海教育出版社,2009.
[2]乔连全,APOS一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望,2001:16-18.