通学达艺 互动高效
----对一堂高中数学名师展示课的亮点透析
安徽省黄山市教育科学研究院 洪新华(245000)
自2014年12月起,为加强我市名师教育教学的引领与示范作用,带领全市更多的年轻教师积极广泛参与教育教学研讨,黄山市教育科学研究院组织了全市名师进行了“名师示范课公开教学系列活动”,活动中,笔者有幸全程参与了一次高中数学的名师示范课教学研讨活动,课题为《椭圆及其标准方程》(第一课时)。在课后的教学研讨与课例点评中,大家高度评价了展示课的教学思想性、艺术性以及对一线教师的示范性和为学定教的探索与创新的启发性。笔者在参与研讨中也是积极思考、认真反思,感触颇多。本文主要谈谈本节课的一些主要设计意图和教学思考,以期引发更多思考。
一、觉“行”导“识”,回归理性
活动1:观看音像,“嫦娥一号”发射到三次椭圆变轨进入近月轨道;观看图片,找到油罐车的油罐横断面的椭圆形象;动画演示圆压缩成椭圆。
活动2:教师用一根细线拴住两个磁性固定点,在黑板上将两个固定点固定在一起,用粉笔扣紧细线,移动粉笔,问学生会画出一个什么样图形?然后分开两个固定点(细绳不拉直),采用同样操作,又会画出什么图形?为什么一个是圆,另一个却是椭圆?教师让学生亲手体验:用一根细线两端各系一枚图钉,将两枚图钉钉在纸板上,用笔尖绷紧细线移动一圈,果然画出一个椭圆。
活动3:教师采用几何画板演示:在动点形成椭圆的过程中,发现到动点到两个定点、的距离(、值)不断变化,而始终为定值。
教法解读:让椭圆从“天上”到“地上”,再到“手上”,赋予曲线美感和爱国情愫,以美情乐学;亲手画出椭圆,奇趣激发思考,以“行”导“思”,并显化椭圆定义中数学要素;画板呈现椭圆,旨在由“形”向“数”,顺应椭圆定义数学化、本质化的认识需求;压“圆”变“椭”,以及取定点一、二之别,观察形成“圆”、
“椭”条件之异。既唤醒学生对“圆”之记忆,又巧借最近发展区,为推导椭圆方程建系、建模作铺垫。情境创设可谓新、奇、趣、美、情融于一体,给予椭圆静、动态之变幻;以画、演椭圆渐显椭圆数学要素,使得感性上升理性。展“椭圆”携“圆”,预示“坐标法”仍是建立椭圆方程的利器。学生认识历经感性到理性的三个过程:先“觉”、后“行”、再“识”。人文感性与思辨理性相统一,实验探究与深入概念定义相切合,唤旧知体验与新知孕育相对接。
二、 “双观”齐下 , 顾前瞻后
继画、演椭圆之后,教师适时给予学生以下设问:(1)动点轨迹为椭圆的条件是什么?(2)如何用数学语言给椭圆下定义?(3)动点到两定点、的距离之和为,点、之间距离为,为什么要满足>?如果=、<,动点的轨迹又是怎样?(4)能否找出椭圆定义的关键词?(5)在得到椭圆方程之前,暂不谈为什么把动点到两定点、的距离之和设为,而不设为?但你能否说出:规定,有什么好处?
在得出椭圆方程时,教师对学生又设问:(1)能否在椭圆上找到的几何意义?这对方程的进一步简化有意义吗?(2)如果当初设定:,得到椭圆方程又会是怎样?说说你的看法。
教法解读:认识椭圆有两种数学视角几何观与解析观,椭圆定义也是孕育“双观”的胚胎。不难看出上述设问基于教师这样的巧妙预设:(1)实现椭圆定义数学化与椭圆建系和方程推导顺接;(2)基于椭圆的几何性质是未来解决椭圆问题的重要观点,便于今后综合运用三角形知识解决实际问题。变化与大小关系,既利于对椭圆要素(两轴与焦距)数量关系合理性的思辨,又利于把几何观渗透于圆锥曲线的学习中;(3)培育学生运用解析法:优“建”、智“取”、巧“算”的筹谋,力求“形”美“数”优;(4)研究圆锥曲线要“双观”齐下、数形结合、动静相宜,几何意义与解析优化相辅相成。可见教师既把准了主导渐进的学习目标,又考虑到圆锥曲线的课程地位与使命。
三、以退为进 ,推陈出新
为什么要建立椭圆方程?怎样建立?为什么要化简方程?怎样化简?这一系列数学动机、意义对初学圆锥曲线的学生而言是空白的。教师采用以退为进的策略:退到圆!让学生回顾圆的定义、怎样表示动点与定点的距离、通过什么方式消去方程中的根号……通过类比和迁移前学经验,学生很快将定义的数学语言转化为椭圆的初级方程(几何等式坐标化),并为消去方程中两个根号展开议论与尝试。
教法解读:教师的主导性关键是让学生形成数学的问题意识,促成有价值意识的数学动机,并对自己的数学思考前景与价值做出辨析,对正在尝试解决问题的思维方法进行效能自我评估。但是,在有些教学中,不可能将前人历经曲折获得的数学知识,在有限的教学时空中让学生历练数学知识再发现,而且教师言传无力,直取无益,怎么办?本节课给了我们很好的启示:还不如“退”,退到学习的历史中找到相似经历,让学生发现椭圆遇到的问题与圆的情况及其相似,找到学习的“影子”进行迁移。学习经验是课程的新资源,教师借研究圆的方法和经验,很快让学生明白建立椭圆方程的方法,看到了用平方法化简方程的前景。这种教法看似平实,但退一步海阔天空,能让学生感到学法自然、亲切、可为。
四、 大胆直觉 ,谨慎思辨
本节课有种鲜明的课程风格就是着意造就学生良好的数学品质,勇于表达自我的数学直觉,面对问题要能说出自己的看法、想法、猜想和预测,并追根问据。教师通过点评或启发,让学生形成直觉。比如在建系与几何性质坐标化阶段,师生互动如下:
教师:大家建议根据条件,取线段中点为坐标原点建系,这样两定点、,这样处理会有什么好处?
学生1:简单,对称!
教师:哦!老师认为还有一个“和谐”,谁能说说其中的道理?
学生2:从画出的椭圆来看,它是关于、轴对称,又关于原点对称,因此这种建系方法能体现出数与形的完美一致。
教师:说得好,也就是说这种设法有望得到简洁、和美的椭圆方程,也能体现椭圆的对称性。
教师:椭圆定义的几何性质坐标化后,有,能否化简?哪位同学说说自己的看法?
学生3:与化简圆的方程一样,式中的根号可以通过平方消去……
学生4:椭圆的对称性说明可能会有更简约的方程,目前这个式子很复杂,一定可以化简美化方程。
教师:很好!两位同学分别从式子结构和椭圆特征角度,认为可以简化得出更简约、更美感的方程。老师有理由相信这点,因为椭圆可以从圆压缩中得到,它的方程应当与圆的方程很相似!可是在化简圆方程时遇到的是一个根号,而现在有两个根号,怎样处理?如果直接两边平方会是怎样?
学生5:平方得到的中间项会是一个更复杂的根式形式。
教师:对!如果变成,两边再平方,会不会避免这个麻烦呢?我们不妨一起试试……
教法解读:主要以代数演绎和方程分析来揭示几何本质,这是解析几何的特性。它要求运算理性化,优算、巧算和智算是解析几何的重要课程品质。教师教法旨在把课程品质转化为学生的数学思维品质。首先要求学生对算法应有评估,应考虑数式结构,以及注意数式所研究的图形结构或动点运动变化特征,对可能得到结果做出预测,数式演绎与形态的条件性质呈现要相呼应,数式演绎应考虑避繁就简、降次消元、唯美显果,不能蒙头盲算。因此,既要培养学生对数与形的直觉感悟,又要历练对算法的思辨与优化,培养学生良好的数感与符号感。
五、 强化数学意识,渗透数学思想
数学意识是对数学对象的能动反映,本节课教师很注重挖掘学生的数学意识,视其价值与意义可光大后续圆锥曲线学习。教师善于在特定的课程环境和氛围中,喷流出这些重要的数学意识,希望成之为高品质的数学思维导向。
唯美意识凸显在教师用对称、简约、和谐的观点,指导学生如何选择建系方法以及将定义条件对坐标法的优化处置。又如在课后练习,让学生利用和谐、唯美的意识,自主发现:
,两边平方得到另一有效化简方法;用经济适用意识指导学生怎样“智去”根号,得到椭圆标准方程,避免盲算陷入繁杂困局;利用优化意识促动思考,探寻进一步优化的可能性、合理性,发现在椭圆中的勾股实意;发挥类比意识,帮助学生利用研究圆的方法和经验,将椭圆定义的几何性质坐标化,明确化简整理的思路。再如怎样得到焦点在轴上的椭圆方程?教师让学生类比和(焦点在轴)两式的形式与结构,得出焦点在轴上的方程。正如前面“双观”教学渲染浓郁的数形结合思想,借“圆”的学习研究经验,阐明研究动点轨迹的通性通法:动点几何性质几何等式坐标化的初级方程最简方程,其中渗透化归、等价转化、方程和分类讨论、数形结合等重要的数学思想方法。
教法解读:作为椭圆的第一课时,涉及圆锥曲线的思想方法是有限的,但教师很注重从数学的经验、思维、精神品质层面显化和渗透这些具有核心价值的数学意识和数学思想,深挖课程内涵,集微成势,以近待远。
六、教法多样,通学达艺
本节课虽是借班上课,但教师娴熟地采用情境、演示、实验、设问、提问、对话、小组讨论、自主探究、启发、概括、讨论、指导、竞答、辩论、评价、讲析、练习、归纳、复述、总结、感悟等多种教学手段,使得教与学互动有致,学习氛围浓郁,教学环节顺畅。教师能权衡课程情节,切合学习任务,选择适宜教法,营造适宜学生认知发展的课程环境。比如教师利用情境、演示、实验手段,帮助学生从椭圆感性的心理要素向椭圆的数与形理性的思维要素转移;利用变式设问,凸显椭圆要素数学化,通过学生自主探究,深化椭圆几何性质认识;运用启发,让学生通过圆的学习记忆、联想和类比,让学生很自然地实现几何性质坐标化,为方程化简出谋划策,各抒己见;运用辩论、讲析和评价方法,指导学生理解化简方程的数学动机与意义,借此培养学生对自我数学思维优化、反思和批判;通过启发、点拨和评价,让学生探寻几何意义,对数形结合、动静结合和认识特殊点的重要性形成一定觉悟;通过启发、辩论和评价,让学生自主探究到焦点在轴上的椭圆方程,让学生获得形式类比的学法经验,为今后解决较难解析几何问题,能借助形式类比优化巧算,多长一技;通过梯度设问、变式设问、当堂练习、竞答与评价,让学生巩固所学,诊断教学,评价学习,提炼学法;在课尾的归纳与总结环节,教师让学生复述:学了什么,怎么学的,会了什么,达到什么要求才算会?帮助学生把知识和能力理成线,打成结。一是回顾知识形成与发生的条理性和关联性,为知识的回忆和运用活化形成线索,二是对认知过程重要节点的方法、思想和经验形成感悟的情结,为今后进一步学习储备数学智慧。
教法解读:教无定法,贵在得法。名师得法之道在于通学达艺,以学法定教法。什么才是通学?简言之,什么样的课程能让学生学得多?什么样的学法能让学生学得更快,学得好?怎样教才能让学生少做无用功?知道多、快、好、省地学,教师才算通学。回顾本课,教师确实做到其下几点:
其一,深入解读椭圆第一课时的课程内涵。需要了解学生以怎样的心态关注椭圆?怎样敏感椭圆的要素与条件?怎样抓住椭圆定义中的关键?怎样明白定义的科学性与合理性(浅释椭圆几何性质)?怎样自觉到用坐标法得到椭圆方程?变化椭圆焦点位置与方程形式之间对应关系是什么?本课学习能让学生知道哪些是解析几何通性通法?本课学习能让学生获得哪些重要的数学意识、思想、方法、能力和经验?三维目标分解到过程性目标的具体要求是什么?比如在化简得到椭圆标准方程的过程中,很棘手的两个根号怎样消去?从过程与方法的角度,教师让学生做“不移项”和“移项”平方的效果甄别,否则就产生不了优化巧算,得到避免高次和根式复杂化的觉悟与经验;实现这些具体目标需要的课程环境是什么?即学生形成认知所需心理、思维倾向教师要通过什么活动方式去营造?比如通过学生画出椭圆和用几何画板演示椭圆形成由“形”向“数”的思维倾向,学生才能对椭圆定义理解和认可;临近知识域、有用学习经验怎样引入?调用这些经验手段是什么?如利用圆的经验来帮助学生将定义条件坐标化,教师事先就“画”和“压”,暗设圆与椭圆的区别与联系;实现这些具体目标课程环节是什么?又怎样被关联有序的课程情节组织起来?高效的课堂是经过认真备课剧本化构思,经历教师在头脑里剧情化演绎的思想“实验”。
其二,以学定教,明确学情“坐标”,学生知多少、会多少?难在什么?把握目标距离感,才能谋划教学策略。教学分几步走?每步走的切入点、突破点是什么?这是形成教学预设的依据。如教师在处理当堂练习:方程表示的曲线是椭圆吗?如果是,你能求出焦点坐标和对应、、的值吗?出现以下场景:
学生:不能确定,但我说不出道理。
教师:你能否让各取一个具体数?验证它可以是,也可以不是。
学生:当时,方程为,可以化成椭圆的标准方程,是!当时,方程为,因不含项,不能化成椭圆的标准方程,不是!
教师:很好!你是以能否化成椭圆的标准方程为依据,为了便于判别和讨论,怎样做有用呢?
学生:应当将方程变形为与椭圆的标准方程一样形式,但我不会变。
教师:哦?把化成椭圆的标准方程,你会吗?
学生:会,这不难!第一步方程两边同除以50……
教师:那你成功一半了,你就按照刚才的变法试一试。
显然教师考虑到不同认知水平的学情,依照特殊到一般,具体到抽象的认知规律,做出多种预设,使得 “卡壳”冷场局面扭转为有利于学困生学习的学习环境,再生为新的课程资源。
其三,综合课程要素、学情特征以及以往的教学经验,便可以为学生找到好的学法,以学法定教法。教学活动是学法与教法的具体展现,所谓活动,就是要考虑活在哪里?动在何时、何处?用什么形式动?教师只有把准主导学生导引、启法、猜想、探究、讨论、概括的着力点,才能有效地调动学生心理与思维的积极因素。本课之所以得到评课教师的赞誉关键在于:情境得力,探究得法,互动高效,知能同建,思想方法兼得……在于授课教师对综合课程要素、学情把握准确,教学经验深厚,通学达艺。
参考文献:
[1]人民教育出版社.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1.