建立模型思想,培养应用意思

                            --浅析中考题中最值问题

    近年来中考几何动点最值问题频繁出现，而且难度相当大，得分率不高。这类题目立意新颖，构思精巧，考点突出。常与特殊三角形、四边形、轴对称图形、圆、平面直角坐标系、函数图像等知识结合在一起，能很好的体现学生在数学抽象，逻辑推理，数学模型、数学运算、直观想象、数据分析等方面的核心素养，是这几年中考热点、难点。

几何动点最值问题经常用到的重点知识有：（1）两点之间线段最短；（2）垂线段最短；（3）三角形三边的关系；（4）定点到圆上一动点最值问题。

几何动点最值问题涉及到的数学思想主要有：转化化归、特殊与一般、类比联想、形数结合、数学建模等。常见模型有“将军饮马”模型、“曲柄连杆”模型、垂线段最短、三角形三边关系等。下面笔者以近年来安徽省中考试题为例探究几何动点最值问题的解题策略。

中考试题

示例1：2017年安徽省中考选择题压轴题：

  如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足,则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为【      】

A．；      B．；    C．；     D．

解：设△ABC中AB边上的高是h．

∵，∴AB•h=AB•AD，∴h=AD=2，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，

∴=,BE=;

即PA+PB的最小值为

故选D．

考题解读：

本题属于可化归为“将军饮马”模型中的轴对称思想去解决线段和最小问题，解题的关键是解决“河”的位置和“饮马点”的位置（P点的所有符合条件的点的集合-直线即为“河”抓住不变的核心特征，确定“定点”、“动点”、“定直线”的对称点，与“将军饮马”的模型对接。首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．然后在Rt△ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值。

示例2：2016年安徽省中考选择题压轴题：

如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）

 

 

 

 

 

 

 

   A．     B．2       C．      D．

解：

∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴=

∴OC=5，
∴PC=OC=OP=5-3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．

 

考题解读：

此题考查圆外一点与圆上的动点的距离的最值问题，其本质为三角形三边关系的应用，是“两点之间线段最短”的推广，也可以看作是发动机活塞里面的“曲柄连杆”模型(如图)的应用。首先证明点P在以AB为直径的 O上，连接OC与 O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．

解答这类问题的难点在于对题目中运动变化的本质的理解，在这些蕴含运动变化的问题中，并没有显性的圆，如何知道动点的运动路径是圆（圆弧），如何将这个隐身“圆”找出来？研究近几年中考题通常有以下两种方法：（1）观察到定点的距离，即圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合（翻折或旋转中的“隐形圆”）（2）定弦对定角（通常为直径对直角，定角中的“隐形”圆）中考题2。因此要让学生对概念的本质加强理解，仔细分析题目的条件，在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质。如果发现某点的运动路径是圆（圆弧），将会对动点最值问题的解决起着重要作用。`

示例3：2015年安徽省中考数学20题

在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

 

解：（1）连结OQ，如图1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=   ，

∴OP=3tan30°=，

在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

∴PQ= =；

（2）连结OQ，如图2，

在Rt△OPQ中，PQ==，

当OP的长最小时，PQ的长最大，

此时OP⊥BC，则OP=OB=，

∴PQ长的最大值为=．

考题解读：

（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；

（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=。

此题是利用“垂线段最短”的基本模型求最值，其模型特征为“直线外一点+直线上动点”，过定点作直线的垂线段找到动点的特殊位置，将动态问题的位置特殊化，转化为点与线的距离问题，利用线段之间的数量关系将双动点问题转化为单动点问题。尽管动点会引起图中相关量的位置和大小的变化，但其中一定隐含着某种不变的量和关系，这就是从特殊情形求解最值问题的出发点。因此在动态问题中，如果能发现变化中的不变量和不变关系，以不变应万变，可以使问题简单化。

纵观三年中考中几何动点最值问题，笔者对今后此类中考题复习教学有以下三点建议：

首先，回归课本

课本知识是学生解决一切数学问题的本。中考复习的目标就是让学生在梳理课本知识的同时，进一步理清知识本身的前因后果，以及知识间的关联，弄清它们的应用价值从而达到融会贯通，游刃有余的目的。

其次，注重模型

解答这类最值问题，建构和运用基本模型是常用的手段。因此，教师在复习时要善于引导学生从复杂的图形中分解或构造出基本模型，善于引导学生将所学内容归纳出类型和方法。解题时有意向这些模型靠拢，化繁为简，将课本知识转化为自己知识，培养学生知识迁移能力，从而提高学生学习兴趣。

 最后，强化思想

数学思想才是数学的核心和精髓。只有让学生体会和感悟到数学思想，才能真正提高学生的数学核心素养。这就要求我问不断引导学生对解题进行反思、联想、总结，提炼解决问题的策略和方法，渗透数学思想方法，积累基本活动经验，感受解题思维体验。