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数学概念的理解与教学(转载)
作者:邱广东 发表时间:2015年04月26日 浏览量:140 分享到空间
数学概念的理解与教学
人民教育出版社中数室 章建跃
为了参加本刊于2010年9月底在河北保定举办的“高效课堂案例分析研修会”,我先在网上“百度”了“有效教学”,立即弹出的条目有“有效教学的含义”、“有效教学心得体会”、“有效教学实施方案”、“有效教学理论”、“有效教学十讲”、“有效教学评价”……,可以搜索到的有效教学论文数以万计,还有许多理论专著出版,有效教学研究真可谓一片繁荣。然而,与之形成鲜明对照的是课堂教学的低效甚至无效。教师视学生为廉价劳动力,让学生做大量机械重复性练习,试图通过“刺激-反应”训练使学生掌握应试技巧,进而在升学考试中得高分。理论与实践的反差足以引起我们思考:我国有效教学的研究成果为什么不能有效地指导课堂教学?难道真的像有的理论家所说的,是因为老师没有转变教学观念?我的直觉是“并非如此”!有效教学研究需要以课堂为阵地、以教学为载体。脱离课堂而给出的有效教学的“概念”“原则”“特征”“定律”……显得苍白无力。本次研修会可以看成一次扎根于课堂和教学的“实践基础上的理论概括”式研究,从现场反响看,这种“教学实践+反思+讲评(观点碰撞)+概括+专家引领”的方式,用眼前发生的鲜活例子说话,让一线教师看得见、摸得着,能够引发参与者对教学实效的深度思考,既有实践的可操作性,又有一定的理论高度,确是“有效教学研究”的有效形式。本文奉献的是我参与研修会的前前后后,对中学数学高效教学的所思所想,希望得到广大数学教育研究同仁的批评指正。
一、关于有效教学的两点思考
1.有效教学的基本前提
课堂教学的有效性需要一定的前提条件,这些条件可以从学生的认知准备、教学环境等各种角度来理解,但从教师专业化发展水平看,这一条件可概括为:理解数学,理解学生,理解教学。
教师“三个理解”水平,主要看如下各方面知识的掌握情况:数学学科知识;中学数学课程的结构体系和教学重点的知识;学生数学学习难点的知识;重点知识的教学解释的知识;评估学生知识理解水平的知识;等。当前,要特别强调“内容所反映的数学思想方法”的理解水平,它是决定数学教学所能达到的高度和效果的关键因素。
2.有效教学的基本标准
数学教学的根本目的是促进学生的发展。因此,有效教学的根本标准是学生在数学知识、数学能力和理性精神等方面所达到的发展水平。具体而言,就是教师以自然的、水到渠成的知识发生发展过程为载体,设计学生的数学活动过程,有效激发学生的好奇心理,充分调动学生的求知欲望,发挥学生学习的主动性、积极性,使学生的数学思维得到充分的展开,深度参与数学知识的理解和探究,达到对数学概念、原理和思想方法的实质性理解,用数学解决问题的能力得到落实。其中,学生的思维展开程度和参与水平是衡量教学有效性的核心指标。
顺便指出,有人认为“花尽量少的时间教尽量多的内容”就是有效,课堂教学“高密度”就是有效,这种观点值得商榷。有深度的思考、实质性的理解、高质量的探究都是需要时间的。
二、数学教学存在的主要问题
在编写人教A版高中数学课标教材时,我们对我国数学教学的现状进行了较全面调查和深入分析,归纳出其中存在的主要问题:
数学教学“不自然”,强加于人,对学生数学学习兴趣与内部动机产生不利影响;
缺乏问题意识,不利于学生创新精神和实践能力的培养;
重结果轻过程,“掐头去尾烧中段” ,关注知识背景和应用不够,导致学习过程不完整,堵塞了数学思想的传播渠道;
重解题技能、技巧,轻普适性思考方法的概括,以“题型+技巧”代替通性通法,模仿、记忆多,理解、探究少,数学思维层次不高;
讲逻辑而不讲思想,关注数学思想、理性精神不够,导致学生数学素养不高,极大损害了数学的育人功能。
经过大量课堂教学观察、调研,我发现上述问题并没有随着课标教材的实施、教改的迅速推进而得到改观,有些问题甚至更严重了。例如,有一位教研员为了了解高中新生的数学水平,进行了一次“摸底测试”,其中包含下面几道题目:
(1)解方程:(x+1)2+1=0;
(2)求方程x+y-1=0的两组解;
(3)已知a,b都是正整数,且2<a<b<6,求的最大值和最小值。
第(1)、(2)题主要考查“方程的解”这一概念,第(3)题考查分析问题的能力。测试结果令人震惊:第(1)题,80%以上按照“将方程转化为标准形式,再算判别式Δ的值,发现Δ<0而得方程无解”的程序解答;第(2)、(3)题大部分学生不会做。访谈时学生说:第(2)题“出错了”,因为两个未知数必须有两个方程才能解;第(3)题的题型没见过,所以不知从何处下手。分析学生的表现不难发现,他们会进行程序化操作,但不会用概念作判断;他们习惯于解答“见过的题型”,但灵活应用已有知识分析和解决“未见过的题型”的能力弱。显然,学生的问题是表象,根源是教师没有重视概念教学,而在解题教学中又使“培养用数学概念、原理分析问题和解决问题的能力”退化为“训练机械操作步骤”或“对题型,想技巧”。
高中数学课堂中,“数学教学=解题教学=题型教学=刺激-反应训练”的现象也很普遍。例如,在一次“三角函数性质的应用”课上,讲解“求y=(sinx+2)2+1的最大值与最小值”,教师把重点放在“令t=sinx,将问题转化为求二次函数在区间[-1,1]上的最值”上,并由此推广到“如何解答二次函数y=ax2+ bx + c在给定区间E的最值问题”。课后访谈时,老师认为利用正弦函数的有界性,通过不等式1≤sinx+2≤3直接写出结果“没有挑战性”,不值得重点讲。又如,在一次高三复习课上,讲解“求函数y=+的最大值和最小值”,老师如数家珍地讲了“等式两边平方,转化为二次函数的最值问题”、“令1+x=sint,3-y=cost,转化为三角函数最值问题”、“令u=,v=,转化为解析几何中直线与圆的位置关系问题”等方法,最后才说“当然,这道题还可用导数求解,请同学们自己完成。”课后访谈,问“这道题用导数求解是最自然也是最方便的,而且这是通法,为什么不重点讲?”老师的回答是“用导数解太小儿科,不用讲!”殊不知,大巧若拙!正是老师在日常教学中追求了太多的雕虫小技,把学生带到了解题的泥沼中,使他们陷于题海,在技巧的犄角旮旯中苦苦挣扎,不仅极大加重了学生的学习负担,而且使他们忘记了数学的根本(有的教师自己也不知道“根”在哪里),数学教学的有效性就更是无从谈起了。
三、关于数学概念的教学理解
在《中学数学课改的十个论题》中,我曾对当前数学概念教学中存在的主要问题、概念教学的意义、概念教学的核心、基本环节和注意事项等进行了较详细的分析。必需指出的是,以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学教学的正轨,这是教育功利化在数学课堂上的集中表现,应当坚决纠正.否则,学生在数学上耗费了大量时间、精力,结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少,不仅导致学生对数学的偏见,而且会丧失学习数学的兴趣,“数学育人”终将落空.
产生数学概念教学的偏差,除追逐“功利”外,更深层次的原因恐怕在教师对数学概念的理解不到位,由此而认识不到数学概念及其内涵的数学思想方法的力量,最终而干了舍本逐末的傻事——舍弃数学概念这一数学之本,盲目地追求那些微不足道的技巧,结果导致无效的数学教学。因此,提高数学概念的理解水平是当务之急。
在《中学数学核心概念、思想方法的结构体系和教学设计的理论与实践》课题研究中,我们提出了理解数学概念的方面和过程:
从表面到本质——理解概念的内涵与外延(如定义、名称、例子、属性等),把握概念的深层结构,这是对概念的核心、精髓的理解与把握的过程;
从抽象到具体——对概念的不同表现形式的具体把握,对抽象概念的生动形象描述,解读概念的关键词,把握了概念的细节,掌握了更多的典型、精彩的例子,这是了解概念的丰富细节,把握概念的“七十二般变化”的过程;
从孤立到系统——对概念之间的关系、联系的认识,通过对概念间关系的考察,从概念的联系中把握概念的核心所在,这是在概念系统中认识概念,结果是概念得到充分的整合,概念间的联系更加紧密,将概念组织为具有层次性、立体化的结构体系,概念的灵活迁移能力得到增强。
上述过程是从教学需要出发的,因而又可以称之为“数学概念的教学理解”。下面以函数概念为例阐释这一理解过程。
四、函数概念的理解和教学
1.被扭曲的函数概念教学举例
在中学数学课程里,函数概念是第一重要的。一百年前,国际数学教育委员会的创始人F·克莱因就提出了中学数学教学应“以函数为中心”的主张。然而,时至今日,我国的函数概念教学仍是很不尽如人意。例如:
y
O A x |
在我国的教材、教辅和教学中,类似下面的题目被大量使用:
如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分。图象过点A(3,0),对程轴为x=1。给出下列四个结论:
①b>4ac,②bc<0,③2a+b=0,④a+b+c=0,其中正确的结论是 。
这样的问题,虽然需要用二次函数及其图象的有关知识,但重点在代数变形上。
(2)与平面几何知识点拼凑、叠加,成为一种“数学游戏”
近年中考试卷中,大量出现类似如下的压轴题:
已知抛物线.
(Ⅰ)求抛物线顶点M的坐标;
(Ⅱ)若抛物线与x轴的交点分别为点A、B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(Ⅲ)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
有评论说:这类题目的特点是通过采用宽入口、低起点、层层递进、逐步提高知识的综合程度,利用点和线的图形运动,借助函数知识来研究图形在运动变化过程中的数量关系,同时渗透多种数学思想方法的方式设计题目的问题,为题目的区分度奠定了较好的基础。我不能同意这一评价。这样的问题完全离开了函数的背景,割裂了函数与客观现实的天然联系,未能体现函数概念的本质。人为制造,矫揉造作!
2.关于函数概念的教学理解
(1)说文解字
函数概念是“舶来品”。我国清代数学家李善兰将“function”译为“函数”,据称是借用了“函——信函”的意蕴:传递和交流信息的书面形式,引申为(有顺序的)对应关系。因此,函数不是一种数,而是一种对应关系。
(2)函数的来源
函数来源于运动,是应“科学的数学化”之需而产生的。正如M·克莱因在他的名著《古今数学思想》中所说的:“数学从运动的研究中引出了一个基本概念。在那以后的二百年里,这个概念在几乎所有的工作中占中心位置,这就是函数——或变量间的关系——的概念。”因此,如果离开运动变化现象,函数的教学就将成为无源之水、无本之木。
(3)函数概念的本质
函数概念的本质:两个变量之间的一种特殊的对应关系;
函数概念所反映的基本思想:运动变化的思想;
用函数概念建立模型,研究客观现实的变化规律的基本方法:用数量关系表示变量之间的依赖关系,并通过数及其运算等研究变化规律。
(4)函数概念教学的核心任务
初中:体验“一个量随着另一个量的变化而变化”的过程。值得注意的是,只有数式变形、图形变换是不能有效地让学生形成这种体验的。
高中:学会用集合对应的语言刻画变化过程,理解函数概念,特别是理解对应关系的特征;理解符号y=f(x) 的意义;学会用函数研究变化规律的方法。
教学中,要强调函数模型思想,强调建立函数模型解决问题能力的培养。
(5)选择有利于理解函数概念的题目
在函数教学中,我们对那些形式化的训练,在代数运算上狠下功夫,函数的味道很淡的题目已经习以为常。这样的题目没有体现“变量”、“运动变化”、“对应关系”、“变化规律”等函数概念的核心内涵。如果换一种方法出题,例如[i]:
(Ⅰ)下表中的数据是同学们在做水龙头漏水实验时收集的。量杯的最大容量是100毫升。
时间(秒) |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
漏出的水(毫升) |
2 |
5 |
|
|
14 |
|
|
a. 如果继续试验,多少秒后量杯里的水会满而溢出?
b. 这是一次函数吗?请解释。
(Ⅱ)晓明和晓亮一起做水龙头漏水实验。他们每人将收集的数据描在了直角坐标系中,是什么原因导致了他们所画的图象的不同?
晓明的图象 晓亮的图象
时间
漏水量
时间
漏水量
(Ⅲ) 下图是关于水龙头漏水实验数据的图象,该图象说明了什么?
时间
漏水量
这样的题目,函数味道很浓,“变量”、“一个量随另一个量的变化而变化”、“对应关系”、“变化规律”等,都得到充分体现。问题聚焦于概念的理解和应用,只要理解了概念就能回答,而不是给学生设置“陷阱”,在与函数概念没有太大关系的问题上制造麻烦。例如,理解了斜率k的实际含义就能回答“是什么原因导致了他们所画的图象的不同?”
我认为,两种题目的教育功能很不相同。后一类题目更有助于学生理解函数概念的本质;能让学生感受数学的作用;对学生的能力的培养也更全面。
3.函数概念的教学要点
函数概念的教学,关键是要为学生铺设概括函数概念的通道。如下几个方面值得特别注意:
精选实际例子,以实例为载体进行函数概念的教学,在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段都要注重使用实例,为学生提供理解函数概念的“参照物”,一个好例子胜过一千次说教;
不在字面含义、形式化“应用”等方面纠缠,多让学生用函数观点解释具体问题;
围绕运动变化、变量、一个量随另一个量的变化而变化(对应关系)等,以实例为载体开展教学,加强函数的思想方法、建立函数模型解决实际问题的教学。
函数y=f(x)非常抽象,但它的现实背景又随处可得。如果把它当作没有具体内容的抽象物,并从形式上去强调“三要素”“唯一性”“确定性”之类的内容,学生是无法真正理解的,因此要特别强调具有现实背景的例子的重要性。例如,直接从抽象层面上让学生研究函数,就不如先赋予它实际背景:
自由落体运动中,落体的运动规律是(路程s是时间t的函数);
质量一定的运动物体的能量E是速度v的函数;
电阻为R的导线中,电流通过时单位时间内产生的热量Q与电流强度I有确定的对应关系;
给定锐角A的Rt△ABC的面积S是角A的邻边长x的函数;等。
然后再概括它们的共同特征而得到,使学生有机会从具体变量s,t,E,v,Q,I等过渡到一般变量x,y;从具体的对应关系过渡到它们的一般形式。在充分经历类似过程的基础上,再给出一般的抽象表达y=f(x),这样才是水到渠成的,才能为学生提供理解函数概念本质的充分保证。
五、对数函数的教学设计
1.目标及其解析
高中课标规定的对数函数教学要求是:
(1)理解对数的概念及其运算性质,换底公式(一般对数化成自然对数或常用对数);对数的发现历史以及对简化运算的作用。
(2) 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助信息技术画具体对数函数图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
(3)知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数(a > 0, a≠1)。
分析上述规定,主要是要让学生在理解对数概念和运算性质的基础上,以具体实例为载体了解对数函数的对应关系,借助图象探索并了解对数函数的单调性等性质。实际上,限于高一学生的数学水平,对数函数的研究只能停留在粗糙的直觉水平。只有建立在微积分理论的基础上,把对数定义为,其几何意义是介于u=1与u=x之间的双曲线下面的面积,才能得到严谨的研究。尽管如此,我们还是应设法在学生现有智力发展阶段上,借助于指数函数,把对数函数的概念(主要是对应关系)、图象和简单性质等直观地讲清楚。
2.内容及其解析
从“函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型”观点出发,以“感受运用函数概念建立对数函数模型的过程和方法”、“通过对数函数的研究加深函数概念的理解”为定位,将教学聚焦于如下内容:
刻画一类问题(对数增长)变化规律的函数模型——面对某一变化现象,选择适当的函数模型研究其变化规律;
理解函数概念的一个载体——以一般函数概念为指导,同时加深函数概念理解,因此要让学生经历研究一个(类)函数的完整过程。
3.教学问题诊断
本课内容的认知基础是:一般函数概念、性质及研究过程与方法;指数函数概念、性质及研究过程与方法;对数的概念、运算的知识,对数与指数的关系;等。
教学问题诊断:对应关系的特征(与指数函数对应关系的关系);符号logax的理解(这是一个整体,对于给定的正数x,logax是一个唯一确定的实数);对数函数刻画的问题类型(对数增长的趋势不常见,不好描述);等。
为了化解问题,应当注意利用指数函数的研究经验和结果。
4.教学过程
教学过程的设计,强调如下三点:聚焦对应关系,体现概括过程,强调函数模型思想。
(1)概念的背景和引入
两条思路——实际问题或对数运算。从加强函数与现实的联系角度,倾向于前者,但实际上是两者的结合。
问题1 由碳-14测年代,借助相应的指数函数图象,观察对应关系(发挥信息技术的作用),得到“任给一个P,就有唯一确定的t与之对应”。
追问:给一个P,如何求对应的t的值?你认为这一变化规律可以用哪个函数模型刻画?
问题2 细胞分裂问题,单位时间内,每个细胞一分为二。从1个细胞开始,得到2,4,8…个细胞各需多少时间?你能用列表的方法解决吗?能画出图象吗?能用函数模型(解析式)表示吗?
问题3 填写下表:
对数式 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
值 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
表中,从对数式与对应值的角度看,有什么特征?你能借助函数y=3x的对应关系说明“对于任意x>0,都有唯一的log3x与之对应”吗?你能给出一个相应的函数模型吗?说明理由。
(2)定义及其辨析
通过阅读教科书或教师讲解方式给定义。
概念的辨析:明确定义域、值域和对应关系——与指数函数的关系(不讨论图象的对称性),借助指数函数中对底数a的限制说明对数函数中对a的限制。
(3)对数函数的性质
两种思路:画图象并观察图象,结合代数式,得出性质;借助指数函数的性质。采用第一种思路:
• 画图象的过程——由特殊到一般,注意具体函数的代表性,一定要让学生动手画,有条件的要借助信息技术画图,帮助学生感受a的不同取值对图象特征的影响;
• 观察图象的过程——关键是以1为分界线,将底数a分为两类,对图象特征进行形象描述;
• 注意与指数函数性质的比较。
六、关于有理数及其运算的理解[ii]
在数及其运算的学习中,学生需要通过大量经验的累积来认识:数系的加、乘和指数运算满足一系列普遍成立的运算律。
小学生通过大量数数,积累经验,通过2+3=3+2,2×3=3×2等而直观地认识到,对于正整数a,b,c,有
(1)a + b= b + a;(2)a b= b a;(3)a +(b+ c)=(a + b)+ c;
(4)(ab)c= a(bc);(5)a(b+ c)= ab + ac。
自然数是从计算有限集合中元素个数的过程中抽象出来的。但在实践中,不仅要数单个的对象,而且也需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。为了能自由地度量这种能任意细分的量,需要对算术的范围进行扩张:
第一步,先要把度量的问题变为计数的问题:先任意地选择一个度量单位(如米、千克、时等),并规定它为1,然后数一数被度量的那个量包含多少个单位。
第二步,由于被度量的量不一定恰好是单位的整数倍,大多数情况下是介于这个单位的两个相邻倍数之间,这时就把原单位分成n等分,引进一个新的小单位。例如1米分成100厘米,1千克分成1000克,1小时分为3600秒,等。在数学中,把1个单位n等分而得到的小单位,用符号表示。如果被度量的量恰好包含m个小单位,那么它的度量就用符号表示,这个符号被称为分数。数学发展史上,符号脱离度量的具体背景而变成与自然数有同等地位的纯粹的数,经历了几个世纪。
当m,n是整数时,符号成为有理数。引进一个新的量就要研究关于它的运算;引进一种运算,就要研究它的运算律。引进有理数概念后,定义有理数的加法、乘法和相等:对整数a,b,c,d,有
(*)
。
在这样的定义下,关于自然数的加法和乘法的运算律在有理数范围内继续成立。
上述关于有理数及其加、乘运算的定义是根据度量长度、面积等的实际情况而给出的,但它是数学的创造,即(*)式是按数学家的意志给出的。实际上我们也可以规定,不过这种规定符合逻辑但却没有意义。在定义有理数的运算规则时,数学家的思维正是顺应了“创造一个适合于度量的工具”这样要求而展开的。
另一方面,从数学内部对有理数的需要来考察,下述原因是更加内在的、本质的。
在自然数集内,对加法和乘法是封闭的,但对“逆运算”减法和除法是不封闭的。两个整数a,b的差b-a是一个使a+c=b的整数c,即方程a+x=b的解。但在自然数的范围内,符号b-a仅在b>a时有意义。通过a-a=0引进符号0而消除了这个限制,从而取得突破,更重要的是由此引进了符号-1,-2,-3…以及对b<a时的定义
b-a=-(a-b)。
这样就保证了减法在整数集内的封闭性。为了在一个扩大了的既包括正整数又包括负整数的算术中引进新的符号-1,-2,-3,…,我们要定义这些新符号的运算,使已有的算术运算的运算律保持不变。例如,规定
(-1)(-1)=1, (**)
是希望保持分配律a(b+ c)= ab + ac的结果。不然,如果让(-1)(-1)=-1,令a=-1,b=1,c=-1,就会有
-1·(1-1)=-1-1=-2;
而另一方面又有
-1·(1-1)=-1·0=0。
数学史上,经过很长时间数学家才认识到,“符号规则”(**)以及负数、分数所服从的其他定义是一种数学创造,为的是在保持算术运算律的条件下使运算能和谐自如,它们是不能“证明”的。能够并且必须加以证明的是:在这些定义的基础上,算术的交换律、结合律和分配律保持不变。
正如引进负整数和0扩张了减法运算的范围一样,分数的引进为除法消除了类似的算术上的障碍。用方程
ax=b (***)
定义两个整数a,b的比x=,仅当a是b的一个因子时才是一个整数,否则,引进新的符号,称为分数,并规定
,
使得“按照定义”是(***)的解。这样就发明了分数作为一个新数的符号,使得除法可以不受限制地进行(当然,0作除数时除外)。
上述从自然数到整数再到有理数的扩张中,不仅使结合律、交换律和分配律在扩大了的数的范围内仍然成立,而且方程a+x=b和ax=b不受限制地总有解x=b-a和x=(a≠0),即加、减、乘、除运算在有理数集中是封闭的。
通过引进新的符号而扩充范围,使在原来范围内成立的规律在这个更大的范围内仍然成立,这是数学推广过程的一个特点。从自然数到有理数的扩张,既满足去掉减法和除法的限制这一理论上的需要,又满足用数来表示度量结果的实际需要。由于适应了这两方面的需要,就使有理数有了它真正的重大意义。数的概念的这种扩充,可以通过创造0,-2,这样抽象符号的新数来实现。今天看来这是非常自然的,但在数学史上,直到十七世纪,其合法性还不能像正整数那样被普遍认可,人们在使用它们时仍感到犹豫和不安。其原因主要是因为人的天性倾向于依赖直观和具体。
从上所述可知,表示度量结果和数学理论的内在发展这两方面的需要促使数的概念从自然数扩张到有理数。扩张的基本指导思想是:所定义的运算应当使自然数范围内的运算律在有理数范围内继续成立。在扩张过程中,人们对新符号0,和“-”(负号)等的认可都经历了较长时间;对“负负得正”以及负数、分数服从的其他定义都是一种人为创造而不能加以证明的认识也经历了很长时间。这些都成为学习难点。由于从纯理论角度理解有理数及其运算,对于初中学生存在很大困难,所以他们主要是从表示度量结果的角度入手,依赖直观和具体来理解有理数及其加、乘定义,并从大量具体数字的运算中获得直觉而发现和接受关于整数的加、乘运算的运算律在有理数范围内也成立这个原理,从而实现关于数系的加、乘运算的交换律、结合律和分配律的新扩张。
鉴于此,我认为像(-1)(-1)=1这样的规定,作为数学的一种“思维创造”,出发点是数学内部的和谐性,在初中生的认知水平上是无法讲清这个道理的。对这种和谐性的体验和把握需要经历长期的数学训练才能完成。因此,在初中阶段,先告诉学生这些规定,并借助于学生的生活经验让他们体验这种规定的合理性,可能是一种理智的选择。实际上,对数系及其运算和运算律的理解在后续的学习中还有许多机会。因此,这里不必操之过急。
结束语
数学概念的教学理解是一个永无止境的过程。在数学教育发展的历史上,德国的F·克莱因为我们做出了榜样,他在《高观点下的初等数学》中提出“保持一流大师的遗风:回到固有的生动活泼的思考,回到自然!”并身体力行地对对数函数、指数函数、角函数(即三角函数)等一个个地研究,阐释它们的历史和应用,并提出思想深刻的教学建议。华裔数学家项武义教授也撰写了四卷本的《基础数学讲义》,并亲自为中学老师授课。我们期待我国高水平的数学家也能为我国中学数学教育做出像克莱因那样的贡献。我们中学数学教师也应有“会当凌绝顶,一览众山小”的气概,领会从高观点来看待自己所教数学知识的重要意义,在数学概念的教学理解上下一番苦功,掌握从大量知识(如数学学科知识、数学概念发展史的知识、各数学领域相互联系的知识、学生数学学习心理的知识、数学与日常生活及其他学科联系的知识、可用于教学的日常经验等)中汲取促进数学教学营养的能力,从而使自己进入数学教学的自由王国。
[i] 聂必凯等,美国现代数学教育改革,北京:人民教育出版社,2010
[ii] R·柯朗,H·罗宾,什么是数学,左平,张饴慈译,复旦大学出版社,2005。