基于“反比例函数”课例浅谈初中数学概念课教学
孙鑫圣
(马鞍山市博望初中,sxs20030723@)
摘 要:数学概念作为学生理解、掌握和运用概念相关知识的前提和基础,在初中数学的学习中起着无法比拟的重要作用,只有学生真正理解了数学中的概念,才能学好数学,面对习题才会迎刃而解。
关键词:概念教学,理解概念,运用概念
一、初中数学概念课教学的意义
概念教学在数学课堂教学中起着举足轻重的作用,李邦河院士曾在中国数学年会上谈到一个重要的思想:数学玩的是概念,而不是纯粹的技巧。世界著名的数学家华罗庚曾说过:“新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。”数学概念作为学生理解、掌握和运用概念相关知识的前提和基础,在初中数学的学习中起着无法比拟的重要作用,只有学生真正理解了数学中的概念,才能学好数学,面对习题才会迎刃而解。学生真正理解知识,并运用知识,是从理解概念开始的,也就是说,当学生想解决一个问题时,首先应考虑到此题涉及哪些数学概念,和哪些知识点有关。
二、基于“反比例函数”课例谈谈概念课教学的基本环节
【教学设计】 教材:第21章“反比例函数”(沪科版九年级上册).
课题:反比例函数(第1课时)。
【教学目标】
(1)从现实情境和已有的知识经验出发,讨论两个变量之间的关系,加深对函数概念的理解。
(2)经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。
(3)结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
(4)在抽象反比例函数概念的过程,进一步渗透类比、归纳、对应、函数、转化等数学思想方法,发展学生的数学思维,同时进一步体验数学学习活动与人们生活的密切联系性。
【教学重点】
经历抽象反比例函数概念的过程,理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式。
【教学难点】
理解反比例函数的概念和反比例函数的建模。
【教学设计】
(一)、概念的引入
师:请看下面几个问题:
问题1、某村有耕地200hm2,人口数量x逐年发生变化。干村人均占有的耕地面积yhm2与人口数量x之间有怎样的关系?
问题2、某市距省城248km,汽车行驶全程所需的时间th与平均速度vkm/h之间有怎样的关系?
问题3、在一个电路中,当电压一定时,通过电路的电流I与电阻R有怎样的关系?
问题4 妈妈买了元/斤的苹果,如果买n斤,所花钱数y应如何表示?
问题5 妈妈买苹果已经用了27元,还想买5元/斤的葡萄a斤,则总的花费y与a的关系式如何表示?
前三个问题的两个变量之间都满足乘积一定,所以可以分别表示成:,和(U是常数)。后两个问题表示成y=,y=5a+27
师:同学们观察这五个表达式,思考下面几个问题:
(1)每个表达式中有几个变量?
(2)(学生通过观察会发现有两个变量)两个变量之间有联系吗?能具体说一说它们之间的联系吗?研究两个变量之间的关系我们通常用的是哪类数学模型?(函数)每个表达式中出现的两个变量是函数关系吗?
(3)这里有你熟悉的函数吗?(通过问题串学生得到五个具体函数,有正比例函数、b不等于0的一次函数和反比例函数。)
设计意图:学生通过观察、比较、归纳发现三个具体的反比例函数共同特点,顺理成章地从对反比例函数的感性认识上升到理性认识,也自然的运用从特殊到一般的思维方法抽象归纳概括出反比例函数概念。从创设情景的问题串,到学生运用类比、比较等思想方法从多个函数中辨别出正比例函数、一次函数和反比例函数,再到从三个具体的反比函数中归纳出它们共同的特点,抽象出反比例函数的定义的过程,有效地突出重点,使学生领会了反比例函数的意义。
(二)、概念的表述
板书:反比例函数的定义:
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=(k为常数,k≠0 ) 的形式,那么称y是x的反比例函数。
(1)从y=中可知x作为分母,所以x不能为0。
(2) y=kx -1、xy=k、y=(k≠0)这三种表达式实质上是一样的。
(3)有些概念也是以表达式的形式给出的: y=kx+b,y=kx。
(4) y=中的k≠0.
设计意图:运用类比思维方式让学生自己归纳定义,再一次使学生感受函数研究方法的一般性.通过对定义的剖析,使学生对反比例函数的表象认识上升到本质的认识,从而深刻理解反比例函数的概念,突破难点,为后续运用概念解决问题提供扎实的理论基础。
(三)、明晰概念
题1: 下列函数中, y是x的反比例函数的是( ) .
(1) y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=;(5)y=;(6)y= (a为常数 ) .
题2: 已知函数y=(5m-3)x 2-n +(n+m ) .
(1) 当m、 n为何值时, y是x的一次函数?
(2) 当m、 n为何值时, y是x的正比例函数?
(3) 当m、 n为何值时, y是x的反比例函数?
设计意图:复习一次函数和正比例函数,进一步巩固反比例函数的概念,区分反比例函数与一次函数、正比例函数的不同之处.
题3: 沪科版九年级上册P44练习第1题:判断下列各题中的两个变量是否成反比例关系,如果是,请写出这个函数的表达式.
(1) 正三角形的面积S与边长a;
(2) 当圆锥的体积是50时,它的高h与底面积S;
(3) 当矩形的面积为90时,它的一边y与另一边x.
补充
(4)一个游泳池蓄水60立方米,设放完池中的水所需时间为y小时,而每小时放水量为x立方米,写出y与x之间的函数关系式,并指出y是x的什么函数?
(5)北京市的总面积为平方千米,写出人均占有土地面积s(平方千米/人)与全市总人口n(人)的函数关系式,并指出s是n的什么函数?
设计意图:突出反比例函数与现实世界的密切的联系,加深理解反比例函数是刻画现实世界的重要数学模型.一方面使学生感受现实世界反比例函数大量存在,另一方面体会用反比例函数的知识可以分析和解决实际问题,渗透数学函数建模的思想.
(四)、概念的提升
问题1:y是关于x的反比例函数,当x=时,y=- 6,求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。
教师引导学生类比求一次函数解析式的方法得到求反比例函数的解析式的方法,板书示范,强调规范的解题格式和步骤。
问题:“本题中所用的数学方法是什么方法?”
引导学生思考用简洁的形式概括待定系数法求反比例函数解析式的步骤:设、代、解、写。同时类比归纳出求比例系数只需一对自变量与函数的对应值。
问题2:已知y是x的反比例函数,下表给出了x和y的一些值:
(1)这个反比例函数解析式为 .
(2)根据函数解析式完成上表.
问题3:根据表格中的数据判断y是x的什么函数
x
|
…
|
-5
|
-3
|
-1
|
0
|
2
|
4
|
…
|
y
|
…
|
15
|
9
|
3
|
0
|
-6
|
-12
|
…
|
设计意图:让学生经历函数的三种表示方法中表格法与关系式法的转化过程,理解函数的不同表示形式,深刻体会反比例函数与正比例函数的区别,在解决问题中揭示规律,形成能力。以上三个问题由浅入深、循序渐进的题目,呈现出本节课的知识重点,检验了对重点知识的掌握情况以及对难点的理解程度.通过对问题的解答,使学生对本节课的知识的条理更清晰,理解更加透彻。
(五)、概念的总结
师:本节课我们学了什么知识?什么方法?
设计意图:在独立思考和合作交流中引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法方面的收获,形成知识网络,提升对数学思想方法的理性认识.在总结的同时让学生体验收获知识的快乐,培养敢于展示自我,敢说、敢问、自信的学习品质。
布置作业:课本P48习题 第1、2、3题。
内容分析:本节的内容主要是反比例函数的概念,教材设计的基本思路是从现实生活中大量的反比例关系中抽象出反比例函数概念,让学生进一步感受函数是反映现实世界中变量关系的一种有效数学模型,逐步从对具体反比例函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。同时,本节的学习内容,直接关系到本章后续内容的学习,也是继续学习其它各类函数的基础.另外,其中蕴涵的类比、归纳、对应和函数的数学思想方法,对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展都是非常有益的。无论从一次函数到反比例函数,再到二次函数,甚至高中的幂函数、指数函数等其它各类函数,都是函数的某种具体形式,都是为近一步深刻理解函数的内涵提供了一个平台。
三、反比例函数概念教学反思
概念教学的关键是让学生理解概念,并能灵活应用概念解决问题.本节课教师从几个方面对反比例概念进行了剖析,使学生对反比例概念的内涵和外延有了更加清晰的认识,并能从多角度辨析反比例函数.这样教学设计,既夯实了基础概念,又拓宽了学生数学视野.本节课教师在深化概念教学的前提下,通过高质量的教学问题,渗透了归纳、转化、对应、函数模型等数学思想方法,例如:在合作交流、抽象反比例概念的环节中,教师首先引导分析问题串中得到的一次函数中因变量随着自变量增大而增大,以及得到的几个具体的反比例函数中,因变量随着自变量增大而减小的变化关系,进一步渗透对应数学思想方法,其次教师引导学生进一步分析几个具体的反比例函数的共同特征,从而抽象出反比例函数概念,渗透了由特殊到一般归纳的数学思想方法.
四、概念课教学感悟
现行的初中数学教材知识呈现生活化,语言通俗易懂. 但是,许多重要的概念都是以描述性的语句出现在教材中,致使概念的严谨性体现不足,这种对概念的弱化处理使部分教师对概念教学的认识产生了偏差. 同时,概念的高度概括性和抽象性也给教师以“概念课难上”的印象,于是,面对回避不了的概念课,许多教师采用“一读而过”或“机械性的记忆加大题量的巩固练习”的方式进行应付,造成了学生对数学概念理解肤浅,进而对建立在概念基础上的知识、方法、思想没有深刻感悟的被动局面,更谈不上对学生思维素质的培养。
在初中数学教材中,概念教学每章都有,其重要性不言而喻. 笔者认为,只有让学生真正掌握了数学概念的本质,才能把握数学的知识性,才能够正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象,而高效的数学概念教学,应该遵循“概念的引入—概念的形成—概念的表示—概念的辨析—概念的巩固—概念的提升”这几个基本环节。在初中数学概念教学过程中,让学生探索并总结数学学习的规律,归纳发现数学知识的方法,领悟数学学习过程中所体现的数学思想。概念教学是很好的数学思想方法的承载体。
总之,教师不应该只告诉学生“做什么”和“怎么做” ,更应该考虑让他们知道“为什么”。只有认真研读教材,关注概念的形成过程,从而真正以生为本,激活学生思维,才能设计出有效、高效的教学方案。
参考文献:[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准 ( 2011 年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2011.
[2]章建跃,陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报, 2009 ( 6 )
[3]金克勤.成功的教学是围绕核心概念的教学[J].中国数学教育, 2008 ( 4 )
[4]林渊文 .浅谈中学数学概念教学中的技巧 [J].文学教育(中),2010(03).