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第三讲 求函数的定义域与值域的常用方法
作者:汪春杰 发表时间:2014年08月19日 浏览量:252 分享到空间
年 级 |
高一 |
科目 |
数学 |
主讲老师 |
汪春杰 |
第三讲 求函数的定义域与值域的常用方法
【同步教育信息】
一、本讲主要内容:
求函数的解析式,求函数的定义域 ,求函数的值域,求函数的最值
二、学习目标
1、进一步理解函数的定义域与值域的概念;
2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式;
3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变数函数的定义域和值域和最值;
4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题,重视函数单调性在确定函数最值中的作用;
5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题;
6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。
三、知识要点
(一)求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;
3、求函数解析式的一般方法有:
1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法解之;
4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;
5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,所以最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;
4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由y=g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;
(三)求函数的值域
1、函数值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;
2、在函数f:A→B中,集合B未必就是该函数值域,若记该函数值域为C,则C是B的子集;若C=B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;
3、分段函数值域是各个区间上值域的并集;
4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;
5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;
6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;
(四)求函数的最值
1、设函数y=f(x)定义域为A,则当x∈A时总有f(x)≤f(xo)=M,则称当x=xo时f(x)取最大值M;当x∈A时总有f(x)≥f(x1)=N,则称当x=x1时f(x)取最小值N;
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;
3、闭区间的连续函数必有最值。
四、考点分析与典型例题
考点一 求函数解析式
1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1 已知函数y=f(x)由满足xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。
解:由4x2-9y2=36可解得:
。
说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成的形式。
2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。
例2 已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
解:设,代入x,y的值可求得反比例系数k=780m3/s,故所求函数关系为.
2、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
例3 已知,试求。
解:设,则,代入条件式可得:,t≠1.故得:。
说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。
3、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。
例4 1)已知,试求;
2)已知,试求;
解:1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:。
2)由条件式,以-x代x则得:,与条件式联立,消去,则得:。
说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。
4、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。
例5 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程,y表示PA的长,求y关于x的函数。
解: 由题意知:当x∈[0,1]时:y=x;
当x∈(1,2]时:;
当x∈(2,3]时:;
故综上所述,有
考点二 求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例6 求的定义域。
解:由题意知:,从而解得:x>-2且x≠±4.故所求定义域为:
{x|x>-2且x≠±4}。
2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。
例7 已知函数由下表给出,求其定义域
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y |
22 |
3 |
14 |
35 |
-6 |
17 |
解:{1,2,3,4,5,6}。
3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f(u)的定义域可以确定内函数g(x)的范围,从而解x∈I1,又由g(x)定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
解:
又由于x2-4x+3>0 **
联立*、**两式可解得:
例9 若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域。
解:由f(2x)的定义域是[-1,1]可知:2-1≤2x≤2,所以f(x)的定义域为[2-1,2],故log2x∈[2-1,2],解得,故定义域为。
4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。
例10 求函数定义域。
解:若,则x∈R;
若,则;
若,则;
故所求函数的定义域:
当时为R,当为,当时为。
说明:此处求定义域是对参变量a进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述。
考点三、求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
例11 求函数的值域。
解:,因为,故y≠2,所以值域为{y|y≠2}.
说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行求解。
2、配方法
例12 求函数y=2x2+4x的值域。
解:y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。
说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如y=af2(x)+bf(x)+c。
3、判别式法
例13 求函数 值域。
解:可变形为:(4y-1)x2+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ≥0可解得:。
说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两点:第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0。
4、单调性法
例14 求函数,x∈[4,5]的值域。
解:由于函数为增函数,故当x=4时,ymin=;当x=5时,ymax=,所以函数值域为.
5、换元法
例15 求函数的值域。
解:令,则y=-2t2+4t+2=-(t-1)2+4,t≥0,故所求值域为{y|y≤4}。
6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。
例16 求函数的值域。
解:当x∈[1,2]时,y∈[1,2];当x∈(2,3]时,y∈(4,9];当x∈(3,4]时,y∈(5,7]。综上所述,y∈[1,2]∪(3,9]。
五、本讲所涉及主要数学思想方法
1、分类讨论的数学思想:对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解,一般情况下都要对参变量进行分类讨论,在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。
2、换元的思想:对复合函数定义域、值域及最值的求解,以及对某些无理函数(根号中含有自变量的函数)的处理,通常可以考虑换元,以达到化繁为简的目的。
3、方程的思想:对某些函数解析式的求解,以及某些函数值的求解,均渗透了方程的思想,主要思路是改变原来的变量之间的角色,重新确定主元,依此主元构造方程进行求解。
【模拟试题】
一、选择题
1、函数y=f(x)的值域是[-2,2],则函数y=f(x+1)的值域是( )
A、[-1,3] B、[-3,1] C、[-2,2] D、[-1,1]
2、已知函数f(x)=x2-2x,则函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( )
A、2 B、4 C、6 D、8
3、一等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数,那么其解析式和定义域是( )
A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10) C.y=20-2x(4≤x<10) D.y=20-2x(5
4、二次函数y=x2-4x+4的定义域为[a,b](a,值域也是[a,b],则区间[a,b]是( )
A、[0,4] B、[1,4] C、[1,3] D、[3,4]
5、函数y=f(x+2)的定义域是[3,4],则函数y=f(x+5)的定义域是( )
A、[0,1] B、[3,4] C、[5,6] D、[6,7]
6、函数的值域是( )
7、(2007安徽)图中的图像所表示的函数的解析式是( )
二、填空题
8、若f(x)=(x+a)3对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1-x), 则f(2)+f(-2)= ;
9、若函数的值域为,则其定义域为 ;
三、解答题
10、求函数的定义域。
11、已知,若f(a)=3,求a的值。
12、已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=-x2+4x,试求f(x)的表达式。
13、某人买来120m竹篱笆,想靠墙围成一个矩形养鸡场,一边靠墙,三边用竹篱笆。设鸡场的面积为y,与墙连接一边的长为x。
1)将y表示成x的函数;
2)与墙连接的一边多长时,鸡场的面积最大?
参考答案
一、CDDAA CB
二、8、-26;
9、[-4,2);
三、10、解:由5-x≥0解得:x≤5;又由x+2≠0解得:x≠-2;故所求函数定义域为:(-∞,-2)∪(-2,5]。
11、解:若|a|≤2,则可解得a=;若|a|>2,则可解得a=-3。
12、解:由条件式,以-x替换x可得:2f(-x)-f(x)=-x2-4x,联立两式可解得:f(x)=.
13、解:1)y=x(60-x),x∈(0,60).
2)y=x(60-x)=-(x-30)2+900≤900,当x=30时取等号,故当x=30米时,鸡场面积最大为900平方米。