用点的变换求一次函数解析式

          繁昌县荻港镇芦南初级中学  杨年新

函数是初中数学的重要组成部分，而一次函数是学生第一次接触函数的内容，所以学好一次函数的重要性也就不言而喻了。

在人教新课标版本里，一次函数是八年级下册的教学内容。在这一章里，求一次函数解析式是非常重要的知识。而在平时的教学中，我发现有时用点的变换来求一次函数解析式，使有些看似不好求得的函数，很容易解决。

下面我来用4道例题，阐述一下用点的变换求一次函数解析式的方法。

例1、如图，是一正比例函数图象，把该图像向左平移2个单位，得函数解析式为                         。

分析：由图1知，该正比例函数过（－1，2），则容易得其解析式为y =－2 x ，它过（0，0）。而把（0，0）向左移动2个单位得点（－2，0）。

又因为是平移，所以它们的k值相等，都为－2。可设所求函数解析式为y =－2 x ＋b，再把（－2，0）代入即可得b = －4。

则所求得的函数解析式为y=－2 x －4 ，如图2。

解：由图1知，函数为正比例函数，设它为y =kx,且过点（－1，2），解得k＝－2，即该正比例函数为y =－2 x，它过点（0，0）。把点（0，0）向左移动2个单位得点（－2，0）。

又∵所求函数是把y =－2 x向左平移2个单位，

∴可设所求函数为y =－2 x ＋b，把（－2，0）代入：0 =－2 ×（-2）＋b，解得b = －4。

则所求得的函数解析式为y =－2 x －4 ，如图2。

例2、已知两直线y=2 x ＋4，y=k x ＋b关于y轴对称，求出y=k x ＋b解析式。

分析：设直线y=2 x ＋4与x轴、y轴交点分别为A、B，很容易得A（－2，0）、

B（0，4）。

再设A、B关于y轴对称的点的坐标为A₁、B₂，易知它们的坐标是A₁（2，0）、B₂（0，4），且这两点都在直线y=k x ＋b上，由待定系数法求出k=－2，b=4。

两直线图象如图3所示。

解：设直线y=2 x ＋4与x轴、y轴交点分别为A、B，解得A（－2，0）、B（0，4）。

再设A、B关于y轴对称的点的坐标为A₁、B_2，。则A₁（2，0）、B₂（0，4）。且这两点都在直线y=k x ＋b上，把A₁（2，0）、B₂（0，4）代入得：

0=k ×2 ＋b

4＝k ×0 ＋b

解得

  k =－2

b=4  

∴所求函数解析式为y =－2 x ＋4，图象如图3所示。

例3、已知直线y= －x ，点A（－2，0）。在该直线上找一点P ，使它到点A（－2，0）距离最短，并求过点P、A的函数解析式。

分析：直线y =－x与x轴、y轴分别都成45 ^O，又因为点A（－2，0）到直线y = －x距离最短，则可过点A作PA⊥直线y = －x，并交直线于点P。由图4知，⊿PAO为直角三角形，∠POA﹦45 ^O，且PA﹦2，所以很容易求得P点坐标为（-1，1）。

又因为所求直线过点P（-1，1）、A（－2，0），把它们代入很容易求得该函数解析式为y = x＋2，如图5所示。

解：直线y= －x与x轴、y轴分别都成45 ^O，又因为点A（－2，0）到直线y= －x距离最短，则可过点A作PA⊥直线y= －x，并交直线于点P；再过点P 作PM⊥x轴交x轴于点M。由图4知，⊿PAO为直角三角形，∠POA﹦45 ^O，OA﹦2，则M落在点（-1,0）处。

∴ P点坐标为（-1，1）。

又因为所求直线过点P（-1，1）、A（－2，0），把它们代入y=k x ＋b得：

  1=k ×（-1）＋b                    k =1

0＝k ×（-2）＋b                   b = 2

∴所求函数解析式为y = x ＋2，图象如图5所示。

例4、已知在直角坐标系内有两点A（－4，2）B（1，3），在x轴上找一点P ,使它到A、B两点间距离之和最短。

分析：在平面直角坐标系内找点A 关于x轴的对称点A₁ ，易知其坐标为（－4，－2）。然后求过点A₁ 、B的直线，该直线与x轴的交点就是我们所要求的点P。

解：在在平面直角坐标系内找一点A₁ ，它与点A（－4，2）关于x轴的对称点，则点A₁坐标为（－4，－2）。

设过点A₁（－4，－2）、B（1，3）的直线解析式为y=k x ＋b，代入得：

  －2= k ×（-4）＋b                   k =1

3＝k ×1＋b                       b = 2

∴所求函数解析式为y = x ＋2，图象如图6所示

当y = 0时，x =－2.

直线 y = x ＋2与 x轴交点P，

则P（－2，0）就是我们所要求的。

通过以上4个例题，我们能做到举一反三，可以用点的变换解决一些和它们相似的习题，已达到求解一次函数解析式的目的，使一些比较复杂的习题，得到快速解答。