中考阅卷之我见——
发散思维培养的重要性
繁昌区芦南九年制学校 杨年新
摘 要:发散思维作为一个新的教研课题,已受到广大师生的高度重视,由于发散思维具有多端性、变通性、独特性的特点,即思考问题时注重多途径、多方案,解决问题时注重举一反三,触类旁通,这与数学知识的思维特征极为相似。因此,在中学阶段,结合数学教学,正确培养和拓展学生的发散思维能力,至关重要。
关键词:数学思维,一题多解,核心素养,数学学习能力。
引 言:由发散思维而演变的一题多解,在近年来中考数学中时常出现,当然它也是安徽省数学中考的热点题型。初中数学教学,尤其是几何教学,发挥学生的发散思维,对一道题目进行多种方法讲解,是我们老师教学的一个重点。
2017——2020年,我有幸连续4年参加了繁昌县教育局组织的中考数学阅卷工作。在阅卷中,我发现除了参考答案给出的解题方法外,考生还提供了其他截然不同的解题方法,甚至有五六种之多。尤其是2018年的第19题、2020年的第20题,这两题我都参与了批阅。本文结合实际教学,经历一道题的多种解法,探索发展学生发散思维能力,同时也注意培养学生学会分析问题,在变化中找到不变的数学性质,努力提高学生的观察能力和创新能力。
我们先来看看这两道中考真题所提供的各种解法,如何发现学生从多方面观察问题、分析问题,从而得出多种解决问题的方法。
一、有关安徽中考数学真题一题多解的发散思维
下面一道题是2018年安徽省中考数学第19题,当年中考阅卷时,我正批阅此题,发现有很多解法。后来我在班级进行该题讲解时,先让学生思考,哪些是已知条件,哪些是未知的。让他们在相互探讨、交流后,学生给出另两种不同于参考答案的解题方法,其中解法一是参考答案提供,解法二、解法三是学生讨论得出的。真题与解题方法如下:
1、(2018安徽第19题)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图1所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB = ∠FED),在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)
解法一:由题意,可得∠FED=45°.
在直角△DEF中,∵∠FDE=90°,∠FED=45°,
∴DE=DF=1.8米,EF=DE=1.8米.
∵∠AEB=∠FED=45°,
∴∠AEF=180°﹣∠AEB﹣∠FED=90°.
在直角△AEF中,∵∠AEF=90°,∠AFE=39.3°+45°=84.3°,
∴AE = EF•tan∠AFE≈1.8×10.02=18.036(米).
在直角△ABE中,∵∠ABE=90°,∠AEB=45°,
∴AB=AE • sin∠AEB≈18.036×≈18(米).
故旗杆AB的高度约为18米.
解法二:由题意,可得∠AEB=∠FED=45°.
∴∠AEF=90°. 又∵∠AFE=39.3°+45°=84.3°,
在直角△DEF中,=tan∠AFE=tan84.3°≈10.02
在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED=45°.
∴△ABE ∽ △FDE ,即=10.02 ,
∴AB=10.02 • FD=10.02 • 1.8=18.036 ≈18(米),
故旗杆AB的高度约为18米.
解法三:如图2,过F作FH⊥AB,垂足为H
由题意,可得∠FED=45°.∵∠AEB=∠FED=45°,
可设AB=BE= x,且HB=FD=DE=1.8
∴AH=AB﹣HB = x ﹣1.8
FH =DB =BE+DE = x +1.8
在直角△AFH中,
∵∠AHF=90°,∠AFH=39.3°,
则tan∠AFH=,即0.82≈,
得:x =18.2 ≈18(米)
故旗杆AB的高度约为18米.
分析:解法一根据平行线的性质得出∠FED=45°,再求出DE=DF=1.8米,算出EF=1.8米,又证明出△AEF为直角三角形,然后运用正弦三角函数知识求出AE≈18.036米,再解直角△ABE,即可求出AB=AE•sin∠AEB≈18米。解法二根据△ABE ∽ △FDE ,即=10.02 ,直接求出AB=18.036 ≈18米。解法三先设AB= x,之后把AH和FH分别用含有 x的代数式表示,再运用正切三角函数知识求出 x即AB的值。解法二、解法三较解法一简单。
下面一道题,我在参加在2020中考阅卷时,特别是第(2)小题,依然发现学生有多种不同思路的解法。我当时一一把写下来,已备在今后教学中,拿出讲解,努力培养学生多角度观察问题、分析问题、解决问题的能力。和上题一样,其中解法一是参考答案提供,解法二、解法三是考生给出的。真题与解题方法如下:
2、(2020安徽第20题)如图3,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.
(1)求证:△CBA ≌△DAB;
(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.
(2)解法一:∵BE=BF,由(1)知BC⊥EF,
∴BC平分∠EBF, 即∠DBC =∠CBE.
∵AB为半圆O的直径,BE为切线,
∴BE⊥AB ,
于是,∠DAC =∠DBC =∠CBE =90°﹣∠E =∠CAB,
∴AC平分∠DAB.
解法二:∵BE=BF,∴∠E =∠BFE =∠AFD ,
∵AB为半圆O的直径,BE为切线,
∴BE⊥AB ,
于是,∠CAB =90°﹣∠E =90°﹣∠AFD =∠CAD,
∴AC平分∠DAB.
解法三:∵BE=BF,∴∠E =∠BFE =∠AFD,
且∠D =∠ABE =90°
∴△ADF ∽ △ABE ,
∴∠DAF =∠BAE,
∴AC平分∠DAB.
分析:后两种解法中,解法二和参考答案提供的解题方法,思路大致差不多,主要运用等角的余角相等、对顶角相等一类的性质;解法三运用了相似三角形△ADF ∽ △ABE 方法解题,解法较简单。其实在阅卷中,我发现有很多学生运用了△BCE ∽ △ABE 、△ADF ∽ △ACB 等相似三角形的方法,种类很多,不再一一举例。
通过上述两题解法的研究,就告诉了我们教师,在平时教学中,应采用自主、合作、探究性学习的方式,以问题教学为中心,培养和拓展学生的发散思维能力,并培养他们提出问题、分析问题、解决问题的能力,注重一题多解,举一反三。
正因如此,我在课堂习题讲解教学中,特别注重培养学生一题多解的发散思维能力。下面是我从中抽取讲解的两道习题,我让学生从多方面观察问题、互相交流,并对他们进行一题多解的尝试,扩散学生的思维能力。
二、有关课堂教学中一题多解发散思维的尝试
第3题,是在讲解圆的基本性质时,所做的一次发挥学生发散思维能力的尝试。学生在相互探讨、交流后,给出两种不同的解题方法。习题与解题方法如下图:
3、如图4,等腰梯形ABCD内接于半圆O,且AB = 1,BC = 2,求半径OA长。
解法一:如图5,过B作BE⊥AD于E,OF⊥BC于F,连接OB.
由图知OE =BF =BC =1
∵ OA =OB =r,且△ABE与△OBE都为直角三角形
∴ AB 2 - AE 2 = OB 2 - OE 2
即1 2-(r -1) 2 = r 2 - 1 2
解得:r = 或 r =(舍去)
解法二:如图6,作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,连结BD,
∵四边形ABCD为等腰梯形,
∴AE = DF,且EF = BC =2,
∵AD为直径,
∴∠ABD= 90°,
∴∠ABE+∠DBE = 90°,
而∠ADB+∠DBE = 90°,
∴∠ABE =∠ADB,
∴Rt△ABE ∽ Rt△ADB,
∴
即
解得AE = 或AE = (舍去).
∴OA =AD =(BC+2AE) = [2+(-1+)]
即OA =
分析:解法一运用了勾股定理, 即BE是△ABE的一条直角边,也是△OBE的一条直角边,从而得出AB 2 - AE 2= BE 2 = OB 2 -OE 2,最后求出半径OA长。解法二由于所做辅助线不同,使用了Rt△ABE ∽ Rt△ADB知识,先求出AE的长,最后再求出半径OA长。
两种解法思路完全不一样,但都求出了半径的长。这就是培养和拓展学生的发散思维能力的效果,让学生从多角度思考,使他们在运用自身数学知识解决相关知识的同时,将对自身数学知识进行更深度地巩固,从而也使学生自身的数学思想达到良性发展。
第4题是一道有关三角形的习题。在教学中,我仍然让学生进行小组合作,进行分析、讨论后,他们也提供了几种截然不同的解题方法。习题与解题方法如下图:
4、如图7,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是45°时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上).求教学楼AB的高度.(参考数据:sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)
解法一:如图8,过点E作EM⊥AB,垂足为M.
设AB为x(m).
∵Rt△ABF中,∠AFB=45°,
∴BF=AB=x,
∴BC=BF+FC=x+13;
∵在Rt△AEM中,∠AEM=22°,
AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2,
∴tan22°=, =, x=12.
即教学楼的高为12m.
解法二:如图9,延长AE、BC交于点G ,由题意知∠G =22°
声明tan∠G =tan22°=,
即由= ∴CG =5
∵Rt△ABF中,∠AFB=45°,
∴BF=AB,
∴BG=BF+FC+CG=AB +13+5=AB +18;
∵tan22°=, 即= AB=12.
即教学楼的高为12m.
分析:解法一首先构造直角三角形△AEM,利用tan22°=,求出即可教学楼AB的高度。解法二通过延长构造直角三角形△AGB,利用tan22°=,直接求出教学楼AB的高度。当然,还有部分学生运用△ECG ∽ △ABG ,求出AB值,和解法二解题思路大致一样。在课堂教学中,我们教师本着培养学生核心素养的目标,充分发挥学生的发散思维,鼓励学生自学,让他们自己解决问题。
总而言之, 数学学科的核心素养是以数学课程教学为载体,而基于一题多解的发散思维,它是在数学知识技能的学习过程中形成的,也有助于学生深刻理解与掌握数学知识技能。
我们教师在课堂教学中,紧扣初中数学科学标准,以课本习题为基础,围绕各种发散思维形式,加以改造设置。在关注知识科学传授的同时,更关注学生信息收集和筛选能力的培养,培养学生一题多解的发散思维学习意识。
参考文献
[1]2020年安徽省初中学业水平考试纲要•数学学科
[2]王静:学科核心素养的培养与课堂教学转型,天津教育出版社
[3]宏宇:中学数学发散思维辅导,安徽教育出版社