浅谈向量法在立体几何夹角问题中的应用

立体几何问题在高考试题中主要考察线与线，线与面以及面与面的位置关系和夹角问题，在内容上很好少与其他知识点交叉出现，所以结构相对比较单一，但是立体几何知识比较抽象并且有很强的立体感，这就要求学生有必须具备很强的空间想象能力和逻辑推理能力才能解决问题，正是如此，很多学生在遇到立体几何问题时总感觉无从下手，找不到思路，因此本文就高考中出现的夹角问题进行分类，总结讨论其解法，希望今后自己对学生进行本章的复习有帮助。1. 空间角及向量求法

例题1  如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ。当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值。

【解析】AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0）。

当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V（0，0，。

所以＝（－2，0，0），＝（1，1，）。

所以cos〈 ， 〉＝

所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为。

总结提升：利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是（0，]，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|。

例题2  正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为，求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角。

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，a，0），A₁（0，0，a），C₁（－a，，a）。

法一：取A₁B₁的中点M，则M（0，，a）。连结AM，MC₁，有＝（－a，0，0），＝（0，a，0），＝（0，0，a）。

∴·＝0，·＝0，

∴⊥，⊥，

即MC₁⊥AB，MC₁⊥AA₁。

又AB∩AA₁＝A，

∴MC₁⊥平面ABB₁A₁。

∴∠C₁AM是AC₁与侧面A₁ABB₁所成的角。

因为＝（－a，，a），＝（0，，a），

∴·＝0＋＋2a²＝，

||＝a，

||＝＝a，

∴cos〈，〉＝＝。

∴〈，〉＝30°，

即AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°。

法二：＝（0，a，0），＝（0，0，a），

＝（－a，，a）。

设侧面ABB₁A₁的法向量＝（λ，x，y），

∴·＝0且·＝0。

∴ax＝0且ay＝0。

∴x＝y＝0。故＝（λ，0，0）。

∵＝（－a，，a），

∴cos〈，〉＝

∴|cos〈，〉|＝。

∴AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°。

总结提升：求直线与平面的夹角的方法与步骤

思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角（或夹角的某一三角函数值）。

思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量。利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：

（1）建立空间直角坐标系；

（2）求直线的方向向量；

（3）求平面的法向量；

（4）计算：设线面角为θ，则sinθ＝|cos<，>|

例题3 PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝。求二面角A－PB－C的余弦值。

【解析】法一：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），

∴＝（0，0，1），＝（，1，0）。

设平面PAB的法向量为＝（x₁，y₁，z₁），由

得

令x₁＝1，则＝（1，－，0）。

＝（0，－1，1），＝（，0，0）。

设平面PBC的法向量为＝（x₂，y₂，z₂），

由，得

令z₂＝1，则＝（0，1，1）。

∴cos〈，〉＝＝＝－。

∵所求二面角为锐角，

∴二面角A－PB－C的余弦值为。

法二：如图所示，取PB的中点D，连结CD。

∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AC。

∴PC＝＝。

∵PC＝BC＝，∴CD⊥PB。

作AE⊥PB于E，

那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于与的夹角θ。

∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∴PC⊥BC。

∴PB＝＝2。

∴PD＝1，PE＝＝。

∴DE＝PD－PE＝。

又∵AE＝＝，CD＝1，AC＝1，

＝＋＋，

且⊥，⊥，

∴||²＝||²＋||²＋||²＋2||·||·cos（π－θ），

即1＝＋＋1－2··1·cos θ，解得cos θ＝，

故二面角A－PB－C的余弦值为。

总结提升：利用向量法求二面角通常有以下两种方法：

（1）若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角，如图①。

（2）设，分别是平面α，β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是两个平面夹角的大小，如图②。

此方法的解题步骤如下：

①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；

②求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量，；

③计算：求与所成锐角θ，；

④定值：若二面角为锐角，则为角 θ；若二面角为钝角，则为π-θ

1. 两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。

2. 直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，〉|，不要漏了绝对值符号。

3. 利用两平面的法向量求出cos〈〉后，要根据图形判断二面角是锐角还是钝角。